高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)含答案：圓的方程(基礎(chǔ))知識梳理

1、圓的方程【考綱要求】1. 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2. 能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.掌握圓的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；4.能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程【知識網(wǎng)絡(luò)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的方程【考點(diǎn)梳理】圓的一般方程簡單應(yīng)用點(diǎn)與圓的關(guān)系【高清課堂：圓的方程 405440 知識要點(diǎn)】 考點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程( x -a )2+( y -b )2=r2，其中(a，b)為圓心，r為半徑.要點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時a =

2、0，b =0，圓的方程就是x2 +y 2 =r 2.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在 x 軸上：b=0；圓與 y 軸相切時：| a |=r；圓與 x 軸相切時：| b |=r；與坐標(biāo)軸相切時：| a |=|b |=r；過原點(diǎn)：a2 +b 2 =r 2.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2 Û圓心為(a，b)，半徑為r，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個圓的方程，只需要 a、 b、r 這三個獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.考點(diǎn)二：圓的一般方程當(dāng)D2+E2-4 F

3、>0時，方程x2 +y 2+Dx +Ey +F =0叫做圓的一般方程 .æçè-D E, -2 2ö÷ø為圓心，12D 2 +E 2 -4 F為半徑.2 2ç ÷ ç ÷÷展開垐 垐 ?要點(diǎn)詮釋：由方程x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0æ D ö æ E ö 得 x + + y + =è 2 ø è 2 øD 2 +E 2 -4 F4(1)當(dāng)D2 +E 2-4 F =0時，方程只有實(shí)數(shù)解x

4、=-D E D E , y =- .它表示一個點(diǎn) ( - , - )2 2 2 2.(2)當(dāng)D2+E2-4 F <0時，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形(3)當(dāng)D2 +E 2-4 F >0時，可以看出方程表示以æçè-D E ö 1 , - 為圓心，2 2 ø 2D2+E2-4 F為半徑的圓.考點(diǎn)三：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2，圓心為C(a，b)，半徑為r，則有(1)若點(diǎn)M (x，y0 0)在圓上Û| CM |=r Û (x0-a )2+(y-b)

5、2=r02(2) 若點(diǎn)(3) 若點(diǎn)M (x，y0 0 M (x，y0 0)在圓外在圓內(nèi)Û| CM |>r Û (x -a )2+(y-b)2>r0 0Û| CM |<r Û (x -a )2+(y-b)2<r0 022考點(diǎn)四：幾種特殊位置的圓的方程條件標(biāo)準(zhǔn)方程方程形式一般方程圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn)x 2 +y 2 =r 2 (r¹0)( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =a 2 +b 2x 2 +y 2 -r 2 =0 (r¹0)x 2 +y 2 +Dx +Ey =0圓心在 x 軸上( x -a )2+y2

6、=r2(r¹0)x 2 +y 2 +Dx +F =0圓心在 y 軸上x2+( y -b)2=r2(r¹0)x 2 +y 2 +Ey +F =0圓心在 x 軸上且過原點(diǎn)( x -a )2+y2=a2(a¹0)x2+y2+Dx =0圓心在 y 軸上且過原點(diǎn)x2+( y -b)2=b2(b¹0)x2+y2+Ey =0x2+y2+Dx +Ey +F =0與 x 軸相切( x -a )2+( y -b )2=b2(D2-4 F =0)x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0與 y 軸相切( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =a 2(E2-4 F =0

7、)要點(diǎn)詮釋：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：標(biāo)準(zhǔn)方程噲 垐 ? 一般方程.配方【典型例題】ç ÷2( )2ç ÷ïî類型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 1. 已知圓與 y 軸相切，圓心在直線 x-3y=0，且這個圓經(jīng)過點(diǎn) A(6，1)，求該圓的方程.【思路點(diǎn)撥】已知圓與 y 軸相切，圓心在直線 x-3y=0，因此可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法解決 問題.解析：設(shè)圓心為æ a öa， ，r =|a | è 3 øæ a ö 6 -a + 1 - =aè 3 ø2 a =

8、3或a =111圓心為(3，1)(111，37)圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112.總結(jié)升華：圓心或半徑的幾何意義明顯，則可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程.舉一反三：【變式 1】若圓 C 的半徑為 1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0 和 x 軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 是（ ）A.( x -2)2 +( y -1)2 =1 B. ( x -2) 2 +( y +1)2=1C.( x +2)2 +( y -1)2=1D.( x -3)2 +( y -1)2=1解析：依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為( a ,1)，其中a >0，則有| 4 a -3| 5=1，由此

9、解得a =2，因此所求圓的方程是( x -2)2 +( y -1)2=1，選 A.類型二：圓的一般方程例 2.求過三點(diǎn) A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圓的方程，并求出圓的圓心與半徑，作出圖形. 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳A過三個定點(diǎn)，故可以設(shè)圓的一般方程來求圓的方程.解:設(shè)所求的圓的方程為x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0，ì1+144 +D +12 E +F =0, ï依題意有 í49 +100 +7 D +10 E +F =0, 81 +4 -9 D +2 E +F =0.解得 D=-2，E=-4，F(xiàn)=-95.于是所求圓的方程為 x2+y2-

10、2x-4y-95=0.將上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圓的圓心 D 的坐標(biāo)為(1，2)，半徑為 10，圖形如圖所示.222總結(jié)升華：求過三個定點(diǎn)的圓的方程往往采用待定系數(shù)法來求解.利用圓經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)的 條件，由待定系數(shù)法求出圓的一般式方程，并由此討論圓的幾何性質(zhì)，這是解題的捷徑.對于由一般式給出的圓的方程，研究其幾何性質(zhì) (圓心與半徑等 ) 時，?？捎门浞椒ɑ蚬椒右郧蠼?.如由公式可得r =12( -2) +( -4) +( -4) -4( -95) =10.舉一反三：【變式 1】圓與y軸相切，圓心P在直線x -3 y =0上，且直線y =x截圓所得弦

11、長為2 7，求此圓的方程?！敬鸢浮浚涸O(shè)圓方程為：( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2且圓心( a, b)在直線x -3 y =0上，a =3b圓與y軸相切，r =|a |=3| b |故圓方程為( x -3b) 2 +( y -b ) 2 =9b 2，又因?yàn)橹本€y =x截圓得弦長為2 7，則有(| 3b -b | 2) 2 +( 7) 2 =9b 2，解得b =±1故所求圓方程為：( x -3) 2 +( y -1)2 =9或( x +3) 2 +( y +1)2 =9。【變式 2】求經(jīng)過點(diǎn) M (1,2) 、 N (3,4) 且在 x 軸上截得的弦長為 6 的圓

12、C 的方程?！敬鸢浮浚悍椒ㄒ唬涸O(shè)圓心( a , b )，半徑長 r ，由垂徑定理可以得到圓 C 與 x 軸兩交點(diǎn)為P ( a -3,0) 、 Q ( a +3,0),由 M (1,2) 、 N (3,4) 得 k =1 且 MN 的中點(diǎn)坐標(biāo) (2,3) ，MN則 MN 的垂直平分線方程為 y -3 =-(x -2) ，PQ 的垂直平分線方程為 x =a 。ì 解方程組： íîx =ay -3 =-(x -2)得圓心C (a ,5 -a ).由| CP |=|CM |得32+(5 -a )2=( a -1)2+(3 -a )2，解出a =-6, a =4 1 2.當(dāng)

13、a =-61時，圓心C ( -6,11)1,r 2 =1301, 圓C的方程為：( x +6) 2 +( y -11)2 =130當(dāng)a =42時，圓心C (4,1)2,r 2 =102，圓C的方程為( x -4) 2 +( y -1)2 =10故所求圓的方程為：( x +6) 2 +( y -11)2 =130 或 ( x -4) 2 +( y -1)2 =10.方法二：設(shè)所求圓為x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0.令 y =0 得 x2+Dx +F =0, 在 x 軸上截得弦長為：將| x -x |= ( x +x ) 2 -4 x x = D 2 -4 F =6 1 2 1 2

14、1 2M (1,2) 、 N (3,4) 代入圓方程可得方程組：.1 2F =7 F =27D-4 F -36 =02D F2 22222ìD +2 E +F +5 =0 ìD =-8 ìD =12 ï ï ïí3D +4 E +F +25 =0 ，解出 íE =-2 或 íE =-221 2ï ï ïî î 1 î 2所求圓方程為x 2 +y 2 -8 x -2 y +7 =0或x 2 +y 2 +12 x -22 y +27 =0.【變式 3

15、】根據(jù)下列條件分別寫出圓的方程： (1)圓過三個點(diǎn)(2，2)，(5，3)，(6，0)；(2)圓過三個點(diǎn)O (0,0), M (1,1), N (4,2).思路點(diǎn)撥：已知圓過三個點(diǎn)，且圓心、半徑不明確，故可用一般方程來求解.解析：(1)設(shè)圓的方程為：x2+y2+Dx +Ey +F =0ìï ，解得： íD =-8E =-2ïîF =12 所求圓方程為：x2 +y 2-8 x -2 y +12 =0；(2)設(shè)所求的圓的方程為：x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0O (0,0), M (1,1), N (4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的

16、解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D , E , F的三元一次方程組，ìï即 íïîF =0D +E +F +2 =0 4 D +2 E +F +20 =0解此方程組，可得：D =-8, E =6, F =0.所求圓的方程為：x2 +y 2-8 x +6 y =0.r =12D 2 +E 2 -4 F =5； - =4, - =-3.2 2得圓心坐標(biāo)為(4，-3).總結(jié)升華：(1) 圓的一般方程的形式要熟悉，并且能和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式區(qū)分開；(2) 在求解圓的方程時要分析設(shè)哪種形式更簡單.類型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例 3.寫出以點(diǎn) A(

17、2，-3)為圓心，5 為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn) M(5，-7)，N(2，-1)與該圓的位 置關(guān)系.【思路點(diǎn)撥】求點(diǎn)與圓之間的距離是關(guān)鍵.解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x -2)+(y+3)=25Q | MA |=(2-5)+(-3+7)=5 =r，點(diǎn) M 在圓上；Q | NA |=(2-2)+(-3+1)=2 <r，點(diǎn) N 在圓內(nèi).2 2222222Q6總結(jié)升華：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就是判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系. 舉一反三：【變式 1】已知圓的方程為(x-5)+(y-6)=10 圓內(nèi)還是圓外？解析：分別計算點(diǎn)到圓心的距離：，試判斷點(diǎn) M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓

18、上、| CM |=| CN |=(6-5)+(9-6) (3-5)+(3-6)= 10;= 13 > 10;| CQ |=(5-5)+(3-6)=3 < 10;所以，點(diǎn) M 在圓上，點(diǎn) N 在圓外，點(diǎn) Q 在圓內(nèi). 類型四：與圓有關(guān)的軌跡問題【高清課堂：圓的方程 405440 典型例題六】例 4.已知點(diǎn) Q (10,0) ，點(diǎn) P 是圓x2 +y 2=16上的動點(diǎn)，求線段 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找出點(diǎn) M 與點(diǎn) P 之間的聯(lián)系（實(shí)際是坐標(biāo)間的關(guān)系）解析：設(shè)P ( x , y ) ， M ( x, y) 1 1ì，則 íîx

19、+10 =2 x 1y =2 y1ì，所以 íîx =2 x -10 1y =2 y1又因?yàn)辄c(diǎn)P ( x , y ) 1 1在圓上，所以x12+y12=16即(2 x -10)2 +(2 y ) 2 =16 ，整理得 ( x -5) 2 +y 2=4所以線段 PQ中點(diǎn) M 的軌跡方程為( x -5) 2 +y 2 =4.y543216 5 4 3 2 1O1234.5PM1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x例 5【2015 廣7東高考】. 已知過原點(diǎn)的動直線 錯誤!未找到引用源。 與圓 錯誤!未找到引用源。 相交于 不同的兩點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。，錯

20、誤!未找到引用源。(1) 求圓 錯誤!未找到引用源。 的圓心坐標(biāo)；(2) (2)求線段 錯誤!未找到引用源。 的中點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。 的軌跡 錯誤!未找到引用源。 的方 程；(3) (3)是否存在實(shí)數(shù) 錯誤!未找到引用源。，使得直線 錯誤!未找到引用源。 與曲線 錯誤!未找到引用 源。 只有一個交點(diǎn)？若存在，求出 錯誤!未找到引用源。 的取值范圍；若不存在，說明理由【解析】(1) 把圓 錯誤!未找到引用源。 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。 圓 錯誤!未找到引用源。 的圓心坐標(biāo)為 錯誤!未找到引用源。(2) 設(shè) 錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。

21、為過原點(diǎn)的直線 錯誤!未找到引用源。 與圓 錯誤!未找到引用源。 的交點(diǎn)，且 錯 誤!未找到引用源。 為 錯誤!未找到引用源。 的中點(diǎn)，錯誤!未找到引用源。 由圓的性質(zhì)知 錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。又 錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。 由向量的數(shù)量積公式得 錯誤!未找到引用源。易知直線 錯誤!未找到引用源。 的斜率存在，錯誤!未找到引用源。 設(shè)直線 錯誤!未找到引用源。 的方 程為 錯誤!未找到引用源。，當(dāng)直線 錯誤!未找到引用源。 與圓 錯誤!未找到引用源。 相切時，錯誤!未找到引用源。，解得 錯誤!未 找到引用源。把相切時直線 錯誤!未找到引

22、用源。 的方程代入圓 錯誤!未找到引用源。 的方程化簡得 錯誤!未找到引 用源。，解得 錯誤!未找到引用源。當(dāng)直線 錯誤!未找到引用源。 經(jīng)過圓 錯誤!未找到引用源。 的圓心時，錯誤!未找到引用源。 的坐標(biāo)為 錯 誤!未找到引用源。又直線 錯誤!未找到引用源。 與圓 錯誤!未找到引用源。 交于 錯誤!未找到引用源。 兩點(diǎn)，錯誤!未找 到引用源。 為 錯誤!未找到引用源。 的中點(diǎn)，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。 點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。 的軌跡 錯誤!未找到引用源。 的方程為 錯誤!未找到引 用源。，其中 錯誤!未找到引用源。，其軌跡為一段圓弧(3) 法一：由題可知，直線 錯誤!未找到

23、引用源。 恒過定點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。，結(jié)合（2）可作出圖 象如下圖，由（2）知，點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。 、 錯誤!未找到引用源。 的橫坐標(biāo)為 錯誤!未找到引用源。，因此， 代入曲線 錯誤!未找到引用源。 的方程得 錯誤!未找到引用源。 、 錯誤!未找到引用源。，結(jié)合圖象， 可知當(dāng) 錯誤!未找到引用源。 介于直線 錯誤!未找到引用源。 和 錯誤!未找到引用源。 的斜率之間時， 直線 錯誤!未找到引用源。 與曲線 錯誤!未找到引用源。 只有一個交點(diǎn)，又 錯誤!未找到引用源。，錯 誤!未找到引用源。，所以 錯誤!未找到引用源。；另外，當(dāng)直線 錯誤!未找到引用源。 與曲線 錯誤!未找到引用源。

24、相切時，只有一個交點(diǎn)，又曲線 錯誤! 未找到引用源。 的圓心為 錯誤!未找到引用源。，直線方程為 錯誤!未找到引用源。，所以 錯誤!未找到 引用源。，解得 錯誤!未找到引用源。；綜上所述，錯誤!未找到引用源。 的取值范圍是 錯誤!未找到引用源。 或 錯誤!未找到引用源。 方法二：由題意知直線 錯誤!未找到引用源。 表示過定點(diǎn) 錯誤!未找到引用源。，斜率為 錯誤!未找到引 用源。 的直線，把直線 錯誤!未找到引用源。 的方程代入軌跡 錯誤!未找到引用源。 的方程 錯誤!未找到引用源。，其 中 錯誤!未找到引用源。，化簡得 錯誤!未找到引用源。，其中 錯誤!未找到引用源。，記 錯誤!未找到引用源。，其中 錯誤!未找到引用源。若直線 錯誤!未找到引用源。 與曲線 錯誤!未找到引用源。 只有一個交點(diǎn)，令 錯誤!未找到引用源。 當(dāng) 錯誤!未找到引用源。 時，解得 錯誤!未找到引用源。，即 錯誤!未找到引用源。，此時方程可化為 錯 誤!未找到引用源。，即 錯誤!未找到引用源。，解得 錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。 滿足條件當(dāng) 錯誤!未找到引用源。 時，1 若 錯誤!未找到引用源。 是方程的解，則 錯誤!未找