2022屆高三數學一輪復習（原卷版）第3節(jié) 隨機事件的概率 教案

1、1第三節(jié)第三節(jié)隨機事件的概率隨機事件的概率最新考綱1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式1事件的相關概念2頻率與概率的關系在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件 a 發(fā)生的頻率 fn(a)nan會在某個常數附近擺動，則把這個常數記作 p(a)，稱為事件 a 的概率，簡稱為 a 的概率3事件的關系與運算名稱定義符號表示包含關系如果事件 a 發(fā)生，則事件 b 一定發(fā)生，這時稱事件 b 包含事件 a(或稱事件 a 包含于事件 b)ba(或 ab)相等事件若 ba，且 ab，則稱事件 a 與事件 b 相等ab并(和)

2、事件若某事件發(fā)生當且僅當事件 a 或事件 b 發(fā)生，則稱此事件為事件 a 與事件 b 的并事件(或和事件)ab(或 ab)交(積)事件若某事件發(fā)生當且僅當事件a發(fā)生且事件b發(fā)生， 則稱此事件為事件 a 與事件 b 的交事件(或積事件)ab(或 ab)互斥事件若 ab 為不可能事件，則稱事件 a 與事件 b互斥ab2對立事件若 ab 為不可能事件，ab 為必然事件，那么稱事件 a 與事件 b 互為對立事件ab且 abu(u 為全集)4.概率的基本性質(1)任何事件 a 的概率都在0， 1內， 即 0p(a)1， 不可能事件的概率為 0，必然事件的概率為 1.(2)如果事件 a，b 互斥，則 p(

3、ab)p(a)p(b)(3)事件 a 與它的對立事件 a 的概率滿足 p(a)p(a)1常用結論如果事件 a1，a2，an兩兩互斥，則稱這 n 個事件互斥，其概率有如下公式：p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的()(2)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值()(3)兩個事件的和事件發(fā)生是指兩個事件都得發(fā)生()(4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()a至多有一次中靶b兩次都中靶c只有一次

4、中靶d兩次都不中靶d“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”2容量為 20 的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)頻數234542則樣本數據落在區(qū)間10，40)的頻率為()a0.35b0.45c0.55d0.65b由表知10，40)的頻數為 2349，3所以樣本數據落在區(qū)間10，40)的頻率為9200.45.3如果從不包括大、小王的 52 張撲克牌中隨機抽取一張，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，則取到紅色牌的概率是_12p1(1414)12.4一個地區(qū)從某年起幾年之內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下：時間范圍

5、1 年內2 年內3 年內4 年內新生嬰兒數 n554496071352017190男嬰數 m2883497069948892這一地區(qū)男嬰出生的概率約是_(保留四位小數)0517 3男嬰出生的頻率依次約是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.由于這些頻率非常接近 0.517 3，因此這一地區(qū)男嬰出生的概率約為 0.517 3.考點 1事件關系的判斷判斷互斥、對立事件的 2 種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件； 兩個事件， 若有且僅有一個發(fā)生， 則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各個事件

6、所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥事件 a 的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件 a 所含的結果組成的集合的補集1.從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取 2 個球，以下給出了四組事件：至少有 1 個白球與至少有 1 個黃球；至少有 1 個黃球與都是黃球；恰有 1 個白球與恰有 1 個黃球；恰有 1 個白球與都是黃球4其中互斥而不對立的事件共有()a0 組b1 組c2 組d3 組b中“至少有 1 個白球”與“至少有 1 個黃球”可以同時發(fā)生， 如恰有1 個白球和 1 個黃球，中的兩個事件不是互斥事件中“至少有 1 個黃球”說明可以是 1 個白球和 1 個黃球或 2 個黃球

7、，則兩個事件不互斥中“恰有 1個白球”與“恰有 1 個黃球”，都是指有 1 個白球和 1 個黃球，因此兩個事件是同一事件 中兩事件不能同時發(fā)生， 也可能都不發(fā)生， 因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，故選 b.2在 5 張電話卡中，有 3 張移動卡和 2 張聯(lián)通卡，從中任取 2 張，若事件“2 張全是移動卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()a至多有一張移動卡b恰有一張移動卡c都不是移動卡d至少有一張移動卡a“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”， “兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2 張全是移動卡”的對立事件判斷含有“至多、至少”等關鍵詞的事件關系，可先借助枚舉法分析

8、每個事件包含的基本事件，然后再借助定義做出判斷考點 2隨機事件的頻率與概率1.概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值2隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率(2017全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶 4 元，售價每瓶 6 元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶 2 元的價格5當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：)有關 如果

9、最高氣溫不低于 25， 需求量為 500 瓶； 如果最高氣溫位于區(qū)間20， 25)，需求量為 300 瓶；如果最高氣溫低于 20，需求量為 200 瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過 300 瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為 y(單位：元)當六月份這種酸奶一天的進貨量為 450 瓶時，寫出 y 的所有可能值，并估計 y 大于零的概率

10、解(1)這種酸奶一天的需求量不超過 300 瓶，當且僅當最高氣溫低于 25，由表格數據知，最高氣溫低于 25 的頻率為21636900.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過 300 瓶的概率的估計值為 0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為 450 瓶時，若最高氣溫不低于 25，則 y64504450900；若最高氣溫位于區(qū)間20， 25)， 則 y63002(450300)4450300；若最高氣溫低于 20，則 y62002(450200)4450100.所以，y 的所有可能值為 900，300，100.y 大于零當且僅當最高氣溫不低于 20，由表格數據知，最高氣溫不低于 20的頻率為362

11、574900.8，因此 y 大于零的概率的估計值為 0.8.求解本題第(2)問的關鍵是讀懂題設條件，并從中提取信息，明確一天銷售這種酸奶的利潤 y 與氣溫變化的關系教師備選例題(2019北京高考)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月 a，b 兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的 1000 名學生中隨機抽取了 100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中a，b 兩種支付方式都不使用的有 5 人，樣本中僅使用 a 和僅使用 b 的學生的支付金額分布情況如下：6支付金額支付方式不大于 2000 元大于 2000 元僅使用 a27 人3 人僅使用 b24

12、人1 人(1)估計該校學生中上個月 a，b 兩種支付方式都使用的人數；(2)從樣本僅使用 b 的學生中隨機抽取 1 人，求該學生上個月支付金額大于2000 元的概率；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用 b 的學生中隨機抽查 1 人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2000 元結合(2)的結果，能否認為樣本僅使用 b 的學生中本月支付金額大于 2000 元的人數有變化？說明理由解(1)由題知，樣本中僅使用 a 的學生有 27330 人，僅使用 b 的學生有 24125 人，a，b 兩種支付方式都不使用的學生有 5 人故樣本中 a，b 兩種支付方式都使用的學生有 100302

13、5540 人估計該校學生中上個月 a， b 兩種支付方式都使用的人數為401001000400.(2)記事件 c 為“從樣本僅使用 b 的學生中隨機抽取 1 人，該學生上個月的支付金額大于 2000 元”，則 p(c)1250.04.(3)記事件 e 為“從樣本僅使用 b 的學生中隨機抽查 1 人，該學生本月的支付金額大于 2000 元”假設樣本僅使用 b 的學生中，本月支付金額大于 2000 元的人數沒有變化，則由(2)知，p(e)0.04.答案示例 1：可以認為有變化理由如下：p(e)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于 2000 元的人數發(fā)生了變

14、化，所以可以認為有變化答案示例 2：無法確定有沒有變化理由如下：事件 e 是隨機事件，p(e)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，7所以無法確定有沒有變化1.我國古代數學名著數書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米 1 534 石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得 254 粒內夾谷 28粒，則這批米內夾谷約為()a134 石b169 石c338 石d1 365 石b282541534169(石)2(2016全國卷)某險種的基本保費為 a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯(lián)如下：上年度出險次數012345保費0.85aa1.

15、25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的 200 名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數012345頻數605030302010(1)記 a 為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求 p(a)的估計值；(2)記 b 為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的 160%” ，求 p(b)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值解(1)事件 a 發(fā)生當且僅當一年內出險次數小于 2.由所給數據知， 一年內出險次數小于 2 的頻率為60502000.55，故 p(a)的估計值為 0.55.(2)事件 b 發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于 1 且小于

16、4.由所給數據知，一年內出險次數大于 1 且小于 4 的頻率為30302000.3，故 p(b)的估計值為 0.3.(3)由所給數據得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調查的 200 名續(xù)保人的平均保費為 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.8因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為 1.192 5a.考點 3互斥事件與對立事件的概率復雜事件的概率的 2 種求法(1)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運用互斥事件的概率求和公式計算(2)間接求法，先

17、求此事件的對立事件的概率，再用公式 p(a)1p(a)求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便(1)(2018全國卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為 0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為 0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()a0.3b0.4c0.6d0.7(2)某商場有獎銷售中，購滿 100 元商品得 1 張獎券，多購多得.1 000 張獎券為一個開獎單位，設特等獎 1 個，一等獎 10 個，二等獎 50 個設 1 張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為 a，b，c，求：p(a)，p(b)，p(c)；1 張獎券的中獎概率；1 張獎券不中特等獎且不中

18、一等獎的概率(1)b由題意知不用現(xiàn)金支付的概率為 10.450.150.4.(2)解p(a)11 000， p(b)101 0001100，p(c)501 000120.故事件 a，b，c 的概率分別為11 000，1100，120.1 張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎設“1 張獎券中獎”這個事件為 m，則 mabc.a，b，c 兩兩互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c)110501 000611 000，故 1 張獎券的中獎概率約為611 000.設“1 張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件 n，則事件 n 與“1 張獎9券中特等獎或中一等獎”為對立事件，p(n)1p(ab

19、)111 0001100 9891 000，故 1 張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為9891 000.求解本題的關鍵是正確判斷各事件之間的關系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來教師備選例題一盒中裝有 12 個球，其中 5 個紅球，4 個黑球，2 個白球，1 個綠球從中隨機取出 1 球，求：(1)取出 1 球是紅球或黑球的概率；(2)取出 1 球是紅球或黑球或白球的概率解法一：(利用互斥事件求概率)記事件 a1任取 1 球為紅球，a2任取 1 球為黑球，a3任取 1 球為白球，a4任取 1 球為綠球，則 p(a1)512，p(a2)41213，p(a3)21216，p(a4)112，根據題意知，事件a1，a2，a3，a4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是紅球或黑球的概率為p(a1a2)p(a1)p(a2)51241234.(2)取出 1 球是紅球或黑球或白球的概率為p(a