專題10 數(shù)列 10.2等比數(shù)列 題型歸納講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

1、專題十 數(shù)列講義10.2 等比數(shù)列知識梳理.等比數(shù)列1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(q0，nn*)(2)等比中項如果a、g、b成等比數(shù)列，那么g叫做a與b的等比中項即：g是a與b的等比中項g2ab“a，g，b成等比數(shù)列”是“g是a與b的等比中項”的充分不必要條件2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1(2)前n項和公式：sn3等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，sn是其前n項和(m，n，p，q，r，kn*)(1)若mnpq2r

2、，則am·anap·aqa(2)數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列(3)數(shù)列sm，s2msm，s3ms2m，仍是等比數(shù)列(此時an的公比q1)常用結(jié)論4記住等比數(shù)列的幾個常用結(jié)論(1)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列(2)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(3)sn，s2nsn，s3ns2n，也成等比數(shù)列。題型一. 等比數(shù)列的基本量1（2013北京）若等比數(shù)列an滿足a2+a420，a3+a540，則公比q2；前n項和sn2

3、n+12【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a2+a4a2（1+q2）20a3+a5a3（1+q2）40兩個式子相除，可得到a3a2=4020=2即等比數(shù)列的公比q2，將q2帶入中可求出a24則a1=a2q=42=2數(shù)列an時首項為2，公比為2的等比數(shù)列數(shù)列an的前n項和為：sn=a1(qn1)q1=2×(2n1)21=2n+12故答案為：2，2n+122（2010遼寧）設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3s3a42，3s2a32，則公比q（）a3b4c5d6【解答】解：sn為等比數(shù)列an的前n項和，3s3a42，3s2a32，兩式相減得3a3a4a3，a44a3，公比q4故選：

4、b3（2017江蘇）等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為sn，已知s3=74，s6=634，則a832【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q1，s3=74，s6=634，a1(1q3)1q=74，a1(1q6)1q=634，解得a1=14，q2則a8=14×27=32故答案為：32題型二. 等比數(shù)列的性質(zhì)1已知正項等比數(shù)列an中，a3=a4a2，若a1+a2+a37，則a8（）a32b48c64d128【解答】解：由a3=a4a2，得a1q2=q2，所以a11，又因為a1+a2+a37，得1+q+q27，所以q2，故a8=27=128，故選：d2已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n

5、項和為sn，anan+1，nn*，a4a149，a8+a1010，則數(shù)列an的公比為（）a12b13c2d3【解答】解：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為sn，anan+1，nn*，a4a149，a8+a1010，a1q3a1q13=9a1q7+a1q9=10q1，解得數(shù)列an的公比為q3故選：d3（2014廣東）若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a122e5，則lna1+lna2+lna2050【解答】解：數(shù)列an為等比數(shù)列，且a10a11+a9a122e5，a10a11+a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1+lna2+lna20ln（a1a2a20

6、）ln（a10a11）10ln（e5）10lne5050故答案為：50題型三.等比數(shù)列的前n項經(jīng)典結(jié)論1各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為sn，若s102，s3014，則s40等于（）a80b30c26d16【解答】解：由題意知等比數(shù)列an的公比q0，且q1，則有a1(1q10)1q=2a1(1q30)1q=14，得1+q10+q207，即q20+q1060，解得q102，則q4016，且代入得a11q=2，所以s40=a1(1q40)1q=2×（116）30故選：b2設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若s6s3=12，則s9s3=（）a12b23c34d13【解答】解：由題意，設(shè)

7、s32m，那么s6m，（m0），那么：s3，s6s3，s9s6，成等比數(shù)列即2m×（s9m）（m2m）2，解得：s9=32m，則s9s3=32m×12m=34，故選：c3在等比數(shù)列an中，已知nn+，且a1+a2+an2n1，那么a12+a22+an2為（）a23(4n+1)b23(4n1)c13(4n1)d13(4n+1)【解答】解：a1+a2+an2n1，n2時，a1+a2+an12n11，可得an2n1n1時，a1211對于上式也成立an2n1an2=（2n1）24n1那么a12+a22+an2=4n141=13(4n1)故選：c題型四. 證明等比數(shù)列1已知數(shù)列an，

8、sn是其前n項和，并且sn+14an+2（n1，2，），a11（1）設(shè)數(shù)列bnan+12an（n1，2，）求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列cn=an2n（n1，2，）求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列an的通項公式及前n項和【解答】解：（1）由題意得，sn+14an+2 ， 當(dāng)n2時 sn4an1+2 ，得，an+14an4an1，當(dāng)n2時，bnbn1=an+12anan2an1=4an4an12anan2an1=2an4an1an2an1=2，且b1a22a13，bn是以2為公比，3為首項的等比數(shù)列，（2）由（1）得bnb1qn132n1，則an+12an32n1，an2an132

9、n2，當(dāng)n2時，cncn1=an2nan12n1=an2an12n=32n22n=34，且c1=a12=12，n為34為公差，以12為首項的等差數(shù)列，（3）由（2）得nc1+（n1）d=3n14，即an2n=3n14，an（3n1）2n2（nn*）sn+14an+2，sn+14（3n1）2n2+2（3n1）2n+2即sn（3n4）2n1+2（nn*）2數(shù)列an的前n項和為sn，已知a1=1，an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)（1）試寫出a2，s2，a3；（2）設(shè)bn=snn，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（3）求出數(shù)列an的前n項和為sn及數(shù)列an的通項公式【解答】解：（1）數(shù)列an的前n

10、項和為sn，a1=1，an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)，則：a23，s24，a38；（2）由an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)，可得：sn+1sn=n+2nsn，整理sn+1=n+2nsn+sn=2n+2nsnsn+1n+1=2snn，所以bn+12bn，又有b1=s11=a11=10，所以數(shù)列bn是首項是1，公比為2的等比數(shù)列（3）由（2）可知bn=2n1，且bn=snn，進(jìn)而snn=2n1，所以數(shù)列an的前n項和sn=n2n1(nn+)，當(dāng)n2，an=snsn1=n2n1(n1)2n2=2n2n2(n1)2n2=(n+1)2n2，當(dāng)n1時，a11也滿足上式an=(n+1)

11、2n1所以：an=(n+1)2n1題型五. 等差、等比綜合1等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為（）a24b3c3d8【解答】解：等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0a2，a3，a6成等比數(shù)列，a32=a2a6，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且a11，d0，解得d2，an前6項的和為s6=6a1+6×52d=6×1+6×52×(2)=24故選：a2設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，前n項和為sn，且s5s615，則d的取值范圍是(，2222，+)，若a17，則d的值為3或3310【解答】解：s

12、5s615，(5a1+5×42d)(6a1+6×52d)=15，化為：2a12+9da1+10d2+10，則81d28（10d2+1）0，化為：d28，解得d22或d22則d的取值范圍是(，2222，+)若a17，則10d263d+990，解得d3或3310故答案為：(，2222，+)，3或33103設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a75，s555，則nsn的最小值為343【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a75，s555，a1+6d5，5a1+5×42=55，聯(lián)立解得：a119，d4sn19n+n(n1)2×4=2n221n則nsn2n321n2

13、，令f（x）2x321x2，（x1），f（x）6x242x6x（x7），可得x7時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，n7時，nsn取得最小值，2×7321×72343故答案為：3434已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a3a25，則a4+8a2的最小值為（）a40b20c10d5【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若a3a25，則a2qa25，即a2（q1）5，變形可得a2=5q1，a4+8a2a2（q2+8）=5q1×（q2+8）=5q1×（q1）2+2（q1）+95×（q1）+9q1+25（2×(q1)×

14、;9q1+2）5×840，當(dāng)且僅當(dāng)q13時等號成立，即a4+8a2的最小值為40；故選：a5已知正項等比數(shù)列an的前n項和sn，滿足s42s23，則s6s4的最小值為（）a14b3c4d12【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，若s42s23，則有s42s2a1+a2+a3+a42（a1+a2）（a3+a4）（a1+a2）（q21）（a1+a2）3，又由數(shù)列an為正項的等比數(shù)列，則q1，則（a1+a2）=3q21，則s6s4（a5+a6）q4×（a1+a2）=3q21×q43（q21）+1q21+26+3×2×(q21)&#

15、215;1q21=12，當(dāng)且僅當(dāng)q22時等號成立；即s6s4的最小值為12；故選：d6數(shù)列an滿足a1=12，an+1=11an，那么a2018（）a1b12c1d2【解答】解：a1=12，an+1=11an，a2121，a31+12，a4112=12，故數(shù)列an是周期數(shù)列，周期是3，則a2018a3×672+2a21，故選：a7已知數(shù)列an的首項為1，第2項為3，前n項和為sn，當(dāng)整數(shù)n1時，sn+1+sn12（sn+s1）恒成立，則s15等于（）a210b211c224d225【解答】解：結(jié)合sn+1+sn12（sn+s1）可知，sn+1+sn12sn2a1，得到an+1an2a

16、12，所以an1+2（n1）2n1，所以a1529，所以s15=(a1+a15)152=(29+1)152=225，故選：d8已知數(shù)列an和bn首項均為1，且an1an（n2），an+1an，數(shù)列bn的前n項和為sn，且滿足2snsn+1+anbn+10，則s2019（）a2019b12019c4037d14037【解答】解：an1an（n2），an+1an，anan+1an，anan+1，另外：a1a2a1，可得a2a11，an12snsn+1+anbn+10，2snsn+1+bn+10，2snsn+1+sn+1sn0，1sn+11sn=2數(shù)列1sn是等差數(shù)列，首項為1，公差為21sn=1+

17、2（n1）2n1，sn=12n1s2019=14037故選：d9已知數(shù)列an的通項公式為an3n，記數(shù)列an的前n項和為sn，若nn*使得（sn+32）k3n6成立，則實數(shù) k的取值范圍是23，+)【解答】解：數(shù)列an的通項公式為an3n，數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為3，首項為3sn=3(3n1)31=3n+1232，（sn+32）k3n6化為：k2n43n，nn*使得（sn+32）k3n6成立，k(2n43n)min令bn=2n43n，則bn+1bn=2n23n+12n43n=104n3n+1，n2時，bn+1bn；n3時，bn+1bnb1b20，b3b4b50(2n43n)min=b1=23

18、k23故答案為：23，+)10已知數(shù)列an滿足a1=12，an+1=12an(nn)設(shè)bn=n2an，nn*，且數(shù)列bn是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（，32）【解答】解：由題設(shè)可知數(shù)列an是首項、公比均為 12的等比數(shù)列，an=12n，bn=n2an=（n2）2n，又?jǐn)?shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，bn+1bn（n+12）2n+1（n2）2n（n+22）2n0恒成立，即n+220恒成立，2（n+2）min3，32，故答案為：（，32）11已知an是首項為32的等比數(shù)列，sn是其前n項和，且s6s3=6564，則數(shù)列|log2an|前10項和為58【解答】解：an是首項為32的等比數(shù)列，sn是其前n項

19、和，且 s6s3=6564，32(1q6)1q32(1q3)1q=6564，1+q3=6564，q=14，an32（14）n1272n，|log2an|72n|，數(shù)列|log2an|前10項和為5+3+1+1+3+5+7+9+11+1358，故答案是：5812已知數(shù)列an滿足2a1+22a2+23a3+2nann（nn*），若bn=1log2anlog2an+1，則數(shù)列bn的前n項和snnn+1【解答】解：因為2a1+22a2+23a3+2nann（nn*），所以2a1+22a2+23a3+2n1an1n1（n2），兩式相減得2nan1（n2），當(dāng)n1時也滿足，故an=12n，bn=1log2

20、anlog2an+1=1n(n+1)=1n1n+1，故sn112+1213+1n1n+1=11n+1=nn+1故答案為：nn+1課后作業(yè). 等比數(shù)列1記sn為等比數(shù)列an的前n項和若a5a312，a6a424，則snan=（）a2n1b221nc22n1d21n1【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，a5a312，a6a4q（a5a3），q2，a1q4a1q212，12a112，a11，sn=12n12=2n1，an2n1，snan=2n12n1=221n，故選：b2已知an是首項為1的等比數(shù)列，sn是an的前n項的和，且9s3s6，則數(shù)列1an的前5項的和為（）a158或5b3116c3116或5d158【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比是q，且首項為1，若q1時，9s327、s66，則不滿足9s3s6，所以q1不成立；若q1，由9s3s6得，9×1q31q=1q61q，化簡得，q69q3+80，解得q38或q31，所以q2或q1（舍去），則an2n1，所以1an=12n1，則數(shù)列1an的前5項的和s1+12+14+18+116=1125112=2（1125）=3116，故選：b3已知等比數(shù)列an的前n