考點(diǎn)24 數(shù)列的綜合應(yīng)用-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過(guò)

1、考點(diǎn)24 數(shù)列的綜合應(yīng)用能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法考向一 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系：（1）如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來(lái)，研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系；（2）如果兩個(gè)數(shù)列是通過(guò)運(yùn)算綜合在一起的，就要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解典例1 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)

2、列是公差為2的等差數(shù)列，若數(shù)列成等比數(shù)列，則a27b81cd【答案】d【解析】由成等比數(shù)列，得，又因?yàn)檎龜?shù)的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，解得或（舍去），所以，因?yàn)閿?shù)列成等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以，所以.故選d【名師點(diǎn)睛】本題考查了等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由成等比數(shù)列，結(jié)合是公差為2的等差數(shù)列，得，進(jìn)而求出，即可得答案.典例2 已知等差數(shù)列中，.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即. 又由，可得.故，依題意，因?yàn)椋ǔ?shù)），故是首項(xiàng)為4，公比的等比數(shù)列.（2）因?yàn)榈那绊?xiàng)和為

3、，的前項(xiàng)和為，故的前項(xiàng)和為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差、等比數(shù)列的求和的應(yīng)用，其中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解本題時(shí)，（1）設(shè)的公差為，由題意求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得的前項(xiàng)和和的前項(xiàng)和，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.1已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和考向二 數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用1數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，

4、所以我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)：（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn)（2）轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問(wèn)題（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化2數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題；（3）考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題在解決這些問(wèn)題時(shí)，要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用到數(shù)列的單

5、調(diào)性的時(shí)候，可以通過(guò)比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷在與不等式的證明相結(jié)合時(shí)，注意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式典例3 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，又為等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，.又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，從而，即，公比.（2），.【名師點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出函數(shù)解析式、以及考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.2已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.考向三 等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

6、1數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型等差模型：增加或減少的量是一個(gè)固定的常數(shù)，是公差；等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的常數(shù)，是公比；遞推數(shù)列模型：題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，由此列遞推關(guān)系式2解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的步驟審題：仔細(xì)閱讀題干，認(rèn)真理解題意；建模：將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；求解：求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；還原：將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般有兩種途徑：從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解典例4 某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美

7、元,以后每年比上一年增加4萬(wàn)美元,每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元,設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).（1）從第幾年開(kāi)始獲得純利潤(rùn)?（2）若五年后,該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目,決定出售該廠,現(xiàn)有兩種方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí),以48萬(wàn)美元出售該廠；純利潤(rùn)總和最大時(shí),以16萬(wàn)美元出售該廠.問(wèn)哪種方案較合算?【解析】由題意,知每年的經(jīng)費(fèi)構(gòu)成了以12為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,則f(n)=50n-12n+×4-72=-2n2+40n-72.（1）獲得純利潤(rùn)就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2<n<18.又nn*,故

8、從第三年開(kāi)始獲得純利潤(rùn).（2）年平均利潤(rùn)為f(n)n=40-2(n+36n)=16-2(n-6n)216,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).故此方案獲利6×16+48=144萬(wàn)美元,此時(shí)n=6.f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,當(dāng)n=10時(shí),f(n)max=128.故此方案共獲利128+16=144萬(wàn)美元.比較兩種方案,在獲利相同的前提下,第種方案只需六年,第種方案需要十年,故選擇第種方案.3某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績(jī)效工資組成，2010年每月的基礎(chǔ)工資為2100元、績(jī)效工資為2000元，從2011年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元，績(jī)效工資為上一年的照此推算，此

9、人2019年的年薪為_(kāi)萬(wàn)元(結(jié)果精確到).考向四 數(shù)列中的探索性問(wèn)題對(duì)于數(shù)列中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答此類問(wèn)題的一般策略是：（1）先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合題意的數(shù)值或取值范圍，則能得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果典例5 已知數(shù)列an滿足a1=0，且對(duì)任意m，nn*都有（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(nn*)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，是否存在正整數(shù)p，q，且1<p<q，使得s1，sp，sq成等比

10、數(shù)列？若存在，求出p，q的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）由題意，令m=2，n=1，則，解得a3=1令m=3，n=1，則，解得a5=5（2）以n+2代替m，得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+3則a2(n+1)+1-a2(n+1)-1-(a2n+1-a2n-1)=3，即bn+1-bn=3所以數(shù)列bn是以3為公差的等差數(shù)列b1=a3-a1=1，bn=1+(n-1)×3=3n-2因?yàn)?，所以，則s1=14，sp=p3p+1，sq=q3q+1因?yàn)閟1，sp，sq成等比數(shù)列，所以，即又1<p<q，所以，則，解得又1<p，且pn*，則p=2，q=16所以存在正整數(shù)p=

11、2，q=16，使得s1，sp，sq成等比數(shù)列4已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.如果是，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.考向五 數(shù)列的求和求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，通常有以下幾種方法：（1）公式法，即直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）裂項(xiàng)相消法，即將數(shù)列的通項(xiàng)拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，然后消去相同的項(xiàng)求和.使用此方法時(shí)必須注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)

12、稱的特點(diǎn).常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法有：（4）錯(cuò)位相減法，若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，求的前項(xiàng)和時(shí)，常用錯(cuò)位相減法求和.基本步驟是：列出和式，兩邊同乘以公比，兩式相減并求和. 在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，要將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，便于準(zhǔn)確寫(xiě)出的表達(dá)式.在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：合理選取乘數(shù)（或乘式）；對(duì)公比的討論；兩式相減后的未消項(xiàng)及相消項(xiàng)呈現(xiàn)的規(guī)律；相消項(xiàng)中構(gòu)成數(shù)列的項(xiàng)數(shù).（5）分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.典例6 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析

13、】（1）由題意知，則，又，且成等比數(shù)列，則，解得.則.（2）由可得，則，兩式相減得，則.典例7 已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由和，成等比數(shù)列，得， 解得，或.當(dāng)時(shí)，與成等比數(shù)列矛盾，舍去，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）=，.5設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和1在等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，則a7b8c9d102已知是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是，若，成等比數(shù)列，則a，b，c，d，3已知等比數(shù)列中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則a36b28c45d324在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的

14、和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的公和已知等和數(shù)列an中，公和為5，則a2b2c3d35中國(guó)人在很早就開(kāi)始研究數(shù)列，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)、算法統(tǒng)宗中都有大量古人研究數(shù)列的記載.現(xiàn)有數(shù)列題目如下：數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列滿足， ，則a4b5c9d166如圖所示的三角形數(shù)陣滿足：其中第一行共有一項(xiàng)：，第二行共有二項(xiàng)：，第三行共有三項(xiàng)：，依此類推，第行共有項(xiàng)，若該數(shù)陣的第15行中的第5個(gè)數(shù)是，則a105b109c110d2157已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則的最小值為a98b99c100d1018已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足：，則_9在等比數(shù)列

15、中，成等差數(shù)列，則_.10已知函數(shù)，且，則_11設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式，并判斷，是否成等差數(shù)列？12已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，（1）求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和13已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.15已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式成立的正整數(shù)組成的集合.1（2018浙江）已知成等比數(shù)列，且若，則abcd2（2017新課標(biāo)

16、全國(guó)理科）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為a bc3 d83【2017年高考全國(guó)i卷理數(shù)】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)n：n>100且該數(shù)列的前n項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是a440b330c220d1104（2017北京理科）

17、若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則=_5（2019年高考全國(guó)ii卷理數(shù)）已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0，.（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項(xiàng)公式.6（2017天津理科）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和7（2019年高考浙江卷）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記 證明：8（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列已知（）求和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足其中（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求變式拓展1【答案】（1）；（2

18、）.【解析】（1）由，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.所以.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，即，所以.所以.（2）由（1）知，所以的前項(xiàng)和為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式即可，屬于?？碱}型.（1）先由題中條件得到，再設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出公差，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出公比，即可得出的通項(xiàng)公式；（2）先由（1）的結(jié)果，得到，再由分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可得出結(jié)果.2【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，

19、所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以.【名師點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是熟悉式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）.此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.3【答案】【解析】由題意可得，基礎(chǔ)工資構(gòu)成以2100元為首項(xiàng)，以210元公差的等差數(shù)列，績(jī)效工資構(gòu)成以2000元為首項(xiàng)，以公比為的等比數(shù)列，則此人2019年每月的基礎(chǔ)工資為元，每月的績(jī)效工資為元，則此人2019年的年薪為萬(wàn)元，故答案為：【名師點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題4【答案】（1）；（

20、2）是，.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，解得（舍）或，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式即可，屬于?？碱}型.（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出公差，即可得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可判斷出為以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.5【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由n1得，因?yàn)?，所以?dāng)n2時(shí)，由兩式作商得：（n1且nn*），又因?yàn)榉仙鲜?，所以（nn*）（2）設(shè)，則b

21、nnn·2n，所以snb1b2bn（12n）設(shè)tn22·223·23+（n1）·2n1n·2n，所以2tn222·23+（n2）·2n1（n1）·2nn·2n1，得：tn222232nn·2n1，所以tn（n1）·2n12所以，即【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.求解時(shí)，（1）在中，將代得： ，由兩式作商得：，問(wèn)題得解.（2）利用（1）中結(jié)果求得bnnn·2n，分組求和，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)

22、和公式及乘公比錯(cuò)位相減法分別求和即可得解.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】c【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），所以，故選c.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)的應(yīng)用，以及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.由成等比數(shù)列，求得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.2【答案】b【解析】，不妨令，.故選b.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)等比中項(xiàng)列方程，然后利用基本元的思想，將已知轉(zhuǎn)化為的形式，用特殊值法選出正確選項(xiàng).3【答案】b【解析】由題可得：，所以，故，所以是以公差為1的等差數(shù)列，故，故選b【名師點(diǎn)睛

23、】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，先求出q=3，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)，可以先求出公比q，然后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到，從而得到為等差數(shù)列，再根據(jù)等差求和公式即可.4【答案】c【解析】根據(jù)題意，等和數(shù)列an中，公和為5，則，可得，又由an1+an5，則，則3.故選c【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí)，考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題.5【答案】c【解析】由題意可得：，則等比數(shù)列的公比，故.本題選擇c選項(xiàng).6【答案】b【解析】由題中三角形數(shù)陣中可知，第一行有1個(gè)數(shù)字，第二行有2個(gè)數(shù)字，第三行由3個(gè)數(shù)字，第行有個(gè)數(shù)字，由等差數(shù)列的前項(xiàng)

24、和公式可得前行共有個(gè)數(shù)字，即第14行的最后一個(gè)數(shù)字為，所以第15行的第1個(gè)數(shù)字為，第15行的第5個(gè)數(shù)字為，故選b【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的應(yīng)用，其中根據(jù)數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的數(shù)字排列規(guī)律，合理利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.解本題時(shí)，根據(jù)三角形數(shù)陣的數(shù)字的排列規(guī)律，利用等差數(shù)列的求和公式，可計(jì)算得出第14行的最后一個(gè)數(shù)字，從而求得第15行的第5個(gè)數(shù)字的值.7【答案】c【解析】化簡(jiǎn)，得到通項(xiàng)公式為：，根據(jù)遞推式，列出如下式子：，則有，由于，則的最小值為100.故選c.【名師點(diǎn)睛】本題考查累加法求和，

25、屬于基礎(chǔ)題.對(duì)于本題，化簡(jiǎn)，利用累加法直接求得值即可.8【答案】【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，即；.故答案為.9【答案】【解析】，成等差數(shù)列，即，解得：，.本題正確結(jié)果：.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠求解出等比數(shù)列的基本量，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)三項(xiàng)成等差數(shù)列可構(gòu)造方程求得等比數(shù)列的公比滿足，將所求式子化為和的形式，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.10【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了分類思想及分組求和方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.求解時(shí)，對(duì)的取值分奇數(shù)、偶數(shù)求得，再利用分組求和法求和即可.11【答案】（1）見(jiàn)解析；（2

26、）見(jiàn)解析.【解析】，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，即，成等差數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列：，再根據(jù)等比數(shù)列的定義給予證明；（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)分組求和法得，最后判斷是否成立.12【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，得，則，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）由（1）得，所以，所以的前項(xiàng)和【名師點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.13【答案】（1）；（2）.【解析】（1）把點(diǎn)代入得，

27、則時(shí)，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，也滿足，所以.（2）由（1）得，所以，則，得故.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，以及數(shù)列前項(xiàng)和的方法.求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等.求數(shù)列前項(xiàng)和常用的方法有：錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、公式法、分組求和等.屬于中等題.14【答案】（1）an=2n1；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由成等差數(shù)列，可知,即由得：，聯(lián)立解得.因此，.（2）令，則， ， ,得，所以【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的公差及首項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得當(dāng)時(shí)

28、，；當(dāng)時(shí)，代入已知有，即又，故（舍），或即，由定義得是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則.（2）由題得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.因?yàn)?，所以即，所?所以正整數(shù)組成的集合為1,2.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差、等比數(shù)列求和，考查數(shù)列分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.求解時(shí)，（1）由數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，進(jìn)一步得到是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，代入求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再代入不等式解不等式即得解.直通高考1【答案】b【解析】令則，令得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此. 若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，故選

29、b.【名師點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個(gè)有效方法.如2【答案】a【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a2，a3，a6成等比數(shù)列可得，即，整理可得，又公差不為，則，故前6項(xiàng)的和為.故選a【名師點(diǎn)睛】（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.3【答案】a【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，有，此時(shí)，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時(shí)，所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選a.【名師點(diǎn)睛】本題非常巧妙地將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.4【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，那么【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組