2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 教案 (2)

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則aob就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|·cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos

2、 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·bb·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)；(3)分配律：a·(bc)a·ba·c.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos aba

3、·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·1平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(ab)·(ab)a2b2；(2)(a±b)2a2±2a·bb2.2兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角a·b0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角a·b0且a，b不共線一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(3)由a·b0可得

4、a0或b0.()(4)(a·b)ca(b·c)()答案(1)(2)(3)×(4)×二、教材改編1已知a·b12，|a|4，a和b的夾角為135°，則|b|為()a12b6c3 d3ba·b|a|b|cos 135°12，所以|b|6.2已知|a|5，|b|4，a與b 的夾角120°，則向量b在向量a方向上的投影為 2由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4×cos 120°2.3已知|a|2，|b|6，a·b6，則a與b的夾角 .cos .又因?yàn)?，所以.4已知

5、向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m .8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)·b122m4162m0，即m8.考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解(1)(2019·全國卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，則·()a3b2c2d3(2)一題多解(2019·

6、;天津高考)在四邊形abcd中，adbc，ab2，ad5，a30°，點(diǎn)e在線段cb的延長線上，且aebe，則· .(1)c(2)1(1)(1，t3)，|1，t3，·(2,3)·(1,0)2.(2)法一：bad30°，adbc，abe30°，又eaeb，eab30°，在eab中，ab2，eaeb2.以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ad為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則a(0,0)，d(5,0)，e(1，)，b(3，)，(2，)，(1，)，·(2，)·(1，)1.法二：同法一，求出ebea2，以，為一組基底，則，

7、83;()··2·2×5×2×12×251.逆向問題已知菱形abcd的邊長為6，abd30°，點(diǎn)e，f分別在邊bc，dc上，bc2be，cdcf.若·9，則的值為()a2b3c4d5b依題意得，因此··22·，于是有×62×62×cos 60°9，由此解得3，故選b.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標(biāo)法，定義法可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡后再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形

8、中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)；坐標(biāo)法要建立合適的坐標(biāo)系1.(2019·昆明模擬)在abcd中，|8，|6，n為dc的中點(diǎn)，2，則· .24法一：(定義法)·()·()·22×82×6224.法二：(特例圖形)：若abcd為矩形，建立如圖所示坐標(biāo)系，則n(4,6)，m(8,4)所以(8,4)，(4，2)所以·(8,4)·(4，2)32824.2在abc中，ab4，bc6，abc，d是ac的中點(diǎn)，e在bc上，且aebd，則·()a16 b12 c8 d4a建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a(4,0)，

9、b(0,0)，c(0,6)，d(2,3)設(shè)e(0，b)，因?yàn)閍ebd，所以·0，即(4，b)·(2,3)0，所以b，所以e，所以·16，故選a.考點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的模求向量模的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2a·a|a|2或|a|；(2)|a±b|；(3)若a(x，y)，則|a|.(1)一題多解(2019·全國卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，則|ab|()a. b2 c5 d50(2)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在abc中，2a2b，2a6b，d為b

10、c中點(diǎn)，則|等于()a2 b4c6 d8(3)已知在直角梯形abcd中，adbc，adc90°，ad2，bc1，p是腰dc上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為 (1)a(2)a(3)5(1)法一：a(2,3)，b(3,2)，ab(1,1)，|ab|，故選a.法二：a(2,3)，b(3,2)，|a|213，|b|213，a·b12，則|ab|.故選a.(2)因?yàn)?)(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22b·ab2)4×4，則|2.(3)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則a(2,0)，設(shè)p(0，y)，c(0，b)，則b(1，b)，則3(2，y)3(

11、1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時(shí)，|3|min5.在求解與向量的模有關(guān)的問題時(shí)，往往會(huì)涉及“平方”技巧，注意對結(jié)論(a±b)2|a|2|b|2±2a·b，(abc)2|a|2|b|2|c|22(a·bb·ca·c)的靈活運(yùn)用另外，向量作為工具性的知識，具備代數(shù)和幾何兩種特征，求解此類問題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，從而加快解題速度平面向量的夾角求向量夾角問題的方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cos 求得(2)坐標(biāo)法：若已知a(x

12、1，y1)與b(x2，y2)，則cosa，b，a，b0，(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解(1)(2019·全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()a. b.c. d.(2)(2019·全國卷)已知a，b為單位向量，且a·b0，若c2ab，則cosa，c .(1)b(2)(1)法一：因?yàn)?ab)b，所以(ab)·ba·b|b|20，又因?yàn)閨a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故選b.法二：如圖，令a，b，則ab，因?yàn)?ab

13、)b，所以oba90°，又|a|2|b|，所以aob，即a，b.故選b.(2)法一：|a|b|1，a·b0，a·ca·(2ab)2a2a·b2，|c|2ab|3.cosa，c.法二：不妨設(shè)a(1,0)，b(0,1)，則c2(1,0)(0,1)(2，)，cosa，c.逆向問題若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是 因?yàn)?a3b與c的夾角為鈍角，所以(2a3b)·c0，即(2k3，6)·(2,1)0，所以4k660，所以k3.若2a3b與c反向共線，則6，解得k，此時(shí)夾角不

14、是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是.(1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”；兩個(gè)非零共線向量的夾角可能是0°或180°；求角時(shí)，注意向量夾角的取值范圍是0°，180°；若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接利用公式cos 求解(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角如本例的逆向問題兩向量垂直問題aba·b0x1x2y1y20.已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為 因?yàn)椋?#183;0.又，所以()·()0，即(

15、1)·220，所以(1)|cos 120°940.所以(1)×3×2×940.解得.1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可2已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)1.(2019·南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|1，|b|，則a2b與b的夾角是()a. b. c. d.a因?yàn)閨a 2b|2|a|24|b|24a·b114

16、5;1××cos 3，所以|a2b|.又(a2b)·ba·b2|b|21××cos 2×，所以cosa2b，b，所以a2b與b的夾角為.故選a.2(2019·青島模擬)已知向量|3，|2，mn，若與的夾角為60°，且，則實(shí)數(shù)的值為()a. b. c6 d4a因?yàn)橄蛄縷3，|2，mn，與夾角為60°，所以·3×2×cos 60°3，所以·()·(mn)(mn)·m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故選a.3設(shè)向量a，b

17、滿足|a|2，|b|ab|3，則|a2b| .4因?yàn)閨a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22a·b|b|2492a·b9，所以a·b2，所以|a2b|4.考點(diǎn)3平面向量的應(yīng)用平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解決此類問題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問題，進(jìn)而利用向量方法求解(1)在abc中，已知向量(2,2)，|2，·4，則abc的面積為()a4 b5 c2 d3(2)已知abc是邊長為2的等邊三角形，p為

18、平面abc內(nèi)一點(diǎn)，則·()的最小值是()a2 b c d1(1)c(2)b(1)(2,2)，|2，·|cos a2×2cos a4，cos a，又a(0，)，sin a，sabc|sin a2，故選c.(2)建立坐標(biāo)系如圖所示，則a，b，c三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(0，)，b(1,0)，c(1,0)設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，·()(x，y)·(2x，2y)2(x2y2y)22×.當(dāng)且僅當(dāng)x0，y時(shí)，·()取得最小值，最小值為.故選b.用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?/p>