注重?cái)?shù)學(xué)思想彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

1、注重?cái)?shù)學(xué)思想，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)評(píng) 2017 浙江紹興中考數(shù)學(xué)卷浙江省紹興市柯橋區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)新校區(qū)錢(qián)衛(wèi)娣電話 2017 中考剛剛落下帷幕， 今年的試題給我們一線教師上了生動(dòng)的一課： 數(shù)學(xué)除了學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維 . 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單純靠題海是很難獲得理想成績(jī)的， 我們必須運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)武裝自己并有效的指導(dǎo)解題，才能做到處變不驚，游刃有余 . 以下筆者從考查數(shù)學(xué)思想的角度對(duì)試題進(jìn)行剖析，供參閱 .一 . 用函數(shù)與方程的思想武裝自己在解決問(wèn)題的過(guò)程中把變量之間的聯(lián)系用函數(shù)關(guān)系反映出來(lái)， 便形成了函數(shù)思想，把一系列字母或待求的量通過(guò)列方程求值， 就是方程的思想， 方程是從算術(shù)方法

2、到代數(shù)方法的一種質(zhì)的飛躍， 從而顯化函數(shù)關(guān)系， 轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系， 構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)換方程形式， 構(gòu)造方程形式， 聯(lián)用函數(shù)與方程思想來(lái)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題 .例 1. (2017 紹興中考第7 題 ) 均勻地向一個(gè)容器注水，最后把容器注滿.在注水過(guò)程中，水面高度h 隨時(shí) t 變化規(guī)律如圖所示( 圖中 OABC 為折線 ) ，這個(gè)容器的形狀可以是（）ABC.D (2017 紹興中考第9 題) 矩形 ABCD 的兩條對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為2,1 . 一張透明紙上畫(huà)有一個(gè)點(diǎn)和一條拋物線，平移透明紙，使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A 重合，此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2 ，再次平移透明紙， 使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn) C 重合，則該

3、拋物線的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋ǎ〢 y x28x 14 B y x28x 14 C. y x24x 3 D y x24x 3 (2017 紹興中考第13 題) 如圖， R t ABC 的兩個(gè)銳角頂點(diǎn) A, B 在函數(shù) ykx 0 的圖象上， AC / / x 軸， AC 2 .x若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 2,2，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為評(píng)注：第 7 題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象， 從折線圖的傾斜度出發(fā)， 根據(jù)注水的速度不變，而容器水里的高度除了與時(shí)間有關(guān)，且與容器里的底面積有關(guān)，則底面積越大的， 水的高度增加的越慢， 在解決問(wèn)題的過(guò)程中把變量之間的聯(lián)系用函數(shù)關(guān)系反映出來(lái) . 第 9 題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象

4、，題中的意思就是將拋物線 y=x2 平移后，點(diǎn) A 平移到了點(diǎn) C，由 A 的坐標(biāo)不難得出 C的坐標(biāo)，由平移的性質(zhì)可得點(diǎn) A 怎樣平移到點(diǎn) C，那么拋物線 y=x2 ， 就怎樣平移到新的拋物線，從而顯化函數(shù)關(guān)系， 易求出答案 . 第 13 題考查的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出 k 的值，而點(diǎn) B 也在反比例函數(shù)上， 所以只要求出B 的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可解出，由 AC/x 軸， AC=2，得到 C（4，2），不難得到 B 的橫坐標(biāo)與 C 的橫坐標(biāo)相同，可得 B 的橫坐標(biāo) . 這題轉(zhuǎn)換方程形式，構(gòu)造方程形式，聯(lián)用函數(shù)與方程思想來(lái)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.二 . 用分類(lèi)討

5、論的思想武裝自己在解題時(shí)，我們常遇到這樣一種情況， 解到某一步之后， 不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了， 因?yàn)檫@時(shí)被研究的問(wèn)題包含了多種情況， 這必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)， 正確劃分若干個(gè)子區(qū)域， 然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這里集中體現(xiàn)的是由大化小， 由整體化為部分， 由一般化為特殊的解決問(wèn)題的方法，其研究方向基本是“分” ，但分類(lèi)解決問(wèn)題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合分合”的解決問(wèn)題過(guò)程就是分類(lèi)討論的思想方法.例 2 (2017 紹興中考第 16 題) 如圖， AOB45 ，點(diǎn) M， N 在邊 OA上，OM x, ON x 4 ，點(diǎn) P 是邊 OB上的點(diǎn) . 若使點(diǎn)

6、P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn) P恰好有三個(gè)，則 x 的值是 (2017 紹興中考第 22 題) 定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形. （2）如圖 2P是對(duì)角線BD上一點(diǎn).且BP2PD，過(guò)點(diǎn) P作直線分別交AD, BC 于點(diǎn) E, F ，使四邊形 ABEF是等腰直角四邊形 . 求 AE的長(zhǎng) .，矩形ABCD中，AB5, BC9,點(diǎn)(2017 紹興中考第 24 題 ) 如圖 1，已知ABCD , ABx 軸， AB6, 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 1, 4 ,點(diǎn) D 的坐標(biāo)為3,4 ，點(diǎn) B 在第四象限，點(diǎn) P 是ABCD 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) . （2）若點(diǎn) P 在邊 AB, A

7、D 上，點(diǎn) P 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q，落在直線yx1 上，求點(diǎn)P 的坐標(biāo) .(3)若點(diǎn) P 在邊AB, AD， CD上，點(diǎn) G 是 AD 與 y 軸的交點(diǎn)，如圖 2 ，過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線 PM ，過(guò)點(diǎn) G 作 x 軸的平行線 GM ，它們相交于點(diǎn) M ，將 PGM 沿直線 PG 翻折，當(dāng)點(diǎn) M 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案） .評(píng)注：第 16 題考查的知識(shí)點(diǎn)是相交兩圓的性質(zhì)，以 M，N， P 三點(diǎn)為等腰三角形的三頂點(diǎn)，則可得有 MP=MN=4，NP=MN=4，PM=PN這三種情況，而 PM=PN這一種情況始終存在； 當(dāng) MP=MN時(shí)可作以 M為圓心 MN為半

8、徑的圓，查看與 OB的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；以 N 為圓心 MN為半徑的圓，查看與 OB的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；則可分為當(dāng) x=0 時(shí)，符合條件；當(dāng) 0<x<4 時(shí)，圓 M與 OB只有一個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)圓 N 與 OB相切時(shí)，圓 N 與 OB只有一個(gè)交點(diǎn)，符合，求出此時(shí)的 x 值即可；當(dāng) 4x 時(shí)，圓 N 與 OB沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng) x 的值變大時(shí)，圓 M會(huì)與 OB相切，此時(shí)只有一個(gè)相點(diǎn)，求出此時(shí) x 的值，則 x 在這個(gè)范圍內(nèi)圓 M與 OB有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上即可求答案 . 這題在求解時(shí)需要正確劃分若干個(gè)子區(qū)域， 然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題， 這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分的思想 . 第 22 題考

9、查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的判定，第（ 2）小題分類(lèi)討論：若 EF與 BC垂直，明示有 AEEF，BFEF，即 EF 與兩條鄰邊不相等； 由 A=ABC=90°，可分類(lèi)討論 AB=AE時(shí)，AB=BF時(shí)去解答 .第 24 題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問(wèn)題） ，第（ 2）小題首先要分點(diǎn) P 在邊 AB，AD上時(shí)討論，根據(jù)“點(diǎn) P 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn) Q”，即還要細(xì)分“點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) Q和點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) Q”討論，根據(jù)關(guān)于 x 軸、y 軸對(duì)稱點(diǎn)的特征（關(guān)于 x 軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于 y 軸對(duì)稱時(shí)，相反；）將得到的點(diǎn) Q

10、 的坐標(biāo)代入直線 y=x-1 ，即可解答；第（ 3）小題在不同邊上，根據(jù)圖象，點(diǎn) M翻折后，點(diǎn) M落在 x 軸還是 y 軸，可運(yùn)用相似求解 . 第 22、 24 兩題由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問(wèn)題的方法，其研究方向基本是“分” ，但分類(lèi)解決問(wèn)題之后，還必須把它們總合在一起 .三用數(shù)形結(jié)合的思想武裝自己華羅庚教授指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)， 形少數(shù)時(shí)難入微 . 數(shù)形結(jié)合百般好， 隔裂分家萬(wàn)事非 . ”數(shù)學(xué)結(jié)合的思想就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合， 通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法.例 3(2

11、017 紹興中考第 7 題) (2017 紹興中考第 13 題) (2017 紹興中考第 24 題 ) (2017 紹興中考第 18 題) 18. 某市規(guī)定了毎月用水 18 立方米以內(nèi)（含 18 立方米）和用水 18 立方米以上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) . 該市的用戶毎月應(yīng)交水費(fèi) y（元）是用水量x （立方米）的函數(shù)，其圖象如圖所示.（ 1）若某月用水量為 18 立方米，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？（2）求當(dāng) x 18 時(shí)，y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式 . 若小敏家某月交水費(fèi) 81元，則這個(gè)月用水量為多少立方米？評(píng)注：第 18 題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用， （1）從圖中即可得到橫坐標(biāo)為 18 時(shí)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)

12、；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè) y=kx+b，代入兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出 k 和 b，并將 y=81 時(shí)代入求出 x 的值即可 . 第 7、13、 18、24 題充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀， 將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)， 使抽象思維和形象思維結(jié)合在一起 .四 . 用化歸與轉(zhuǎn)化的思想武裝自己“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙 . 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化， 復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化， 新知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化， 命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)對(duì)于壓軸題的解答， 關(guān)鍵是如何順藤措瓜，順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

13、. 熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、 基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、 機(jī)敏細(xì)微的觀察、 比較、類(lèi)比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁 . 轉(zhuǎn)化常用策略有：熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等.例 4 (2017 紹興中考第 7 題 ) (2017 紹興中考第 24 題 ) (2017 紹興中考第 21 題 ) 某農(nóng)場(chǎng)擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室， 飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻 （墻足夠長(zhǎng)），已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻的總長(zhǎng)度為 50m . 設(shè)飼養(yǎng)室為長(zhǎng)為 x m ，占地面積為 y m 2.(1)如圖 1 ，問(wèn)飼養(yǎng)室為長(zhǎng) x 為多少時(shí)，占地面積y最大？（ 2）如圖 2 ，現(xiàn)要求在圖中所示位置留 2

14、m 的門(mén)，且仍使飼養(yǎng)室占地面積最大 . 小敏說(shuō)：“只要飼養(yǎng)室長(zhǎng)比（ 1）中的長(zhǎng)多 2m 就行了 . ”請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷小敏的說(shuō)法是否正確 .評(píng)注：第 7 題是平面向空間的轉(zhuǎn)化 . 第 21 題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的應(yīng)用 ，（1）根據(jù)矩形的面積 =長(zhǎng)×高，已知長(zhǎng)為 x，則寬為 ，代入求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，配成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可求出 x 的值時(shí)， y 有最大值；（2）長(zhǎng)雖然不變，但長(zhǎng)用料用了（ x-2 ） m，所以寬變成了 ，由（ 1）同理，代入求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，配成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可求出 x 的值時(shí)， y 有最大值 . 此題是函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化 . 第 24 題在解題是需要將新知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，對(duì)于壓軸題的解答，關(guān)鍵是如何順藤措瓜，順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化 .五綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想武裝自己數(shù)學(xué)解題沒(méi)有具體的思維模式， 但有一般的思維趨勢(shì)， 這種思維趨勢(shì)即解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的通性通法 . 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)獲得，與此同時(shí)，它們又直接對(duì)知識(shí)的形成起到指導(dǎo)作用 . 在學(xué)習(xí)中，應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行認(rèn)真的梳理與總結(jié)， 逐個(gè)認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征， 逐步做到自覺(jué)地、靈活地用于需要解決的問(wèn)題之中 .例 5 (2017 紹興中考第 10 題) 一塊竹條編織物， 先將其按如圖所示繞直線 MN 翻