精品解析：2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國(guó)卷）使用省份：海南遼寧重慶一選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】a【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：a.2. 設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：b.3. 拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）a. 1b. 2c. d. 4

2、【答案】b【解析】【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：b.4. 北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）將地球看作是一個(gè)球心為o，半徑r為的球，其上點(diǎn)a的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則s占地球表面積的百分比約為（ ）a 26%b. 34%c. 42%d. 50%【答案】c【

3、解析】【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，s占地球表面積的百分比約為：.故選：c.5. 正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：d.6. 某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）a. 越小，該物理量在一

4、次測(cè)量中在的概率越大b. 越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5c. 越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等d. 越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】d【解析】【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于a，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故a正確；對(duì)于b，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故b正確；對(duì)于c，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故c正確；對(duì)于d，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，

5、所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故d錯(cuò)誤.故選：d.7. 已知，則下列判斷正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：c.8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）a b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：b二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分

6、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9. 下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（ ）a. 樣本的標(biāo)準(zhǔn)差b. 樣本的中位數(shù)c. 樣本的極差d. 樣本的平均數(shù)【答案】ac【解析】【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；故選：ac.10. 如圖，在正方體中，o為底面的中心，p為所在棱的中點(diǎn)，m，

7、n為正方體的頂點(diǎn)則滿足的是（ ）a. b. c. d. 【答案】bc【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得bc的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷ad的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于a，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故a錯(cuò)誤.對(duì)于b，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，則，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面，而平面，故，故b正確.對(duì)于c，如圖（3），連接，則，由b的判斷可得，故，故c正確.對(duì)于d，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱

8、長(zhǎng)為2，故，故不是直角，故不垂直，故d錯(cuò)誤.故選：bc.11. 已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）a. 若點(diǎn)a在圓c上，則直線l與圓c相切b. 若點(diǎn)a在圓c內(nèi)，則直線l與圓c相離c. 若點(diǎn)a在圓c外，則直線l與圓c相離d. 若點(diǎn)a在直線l上，則直線l與圓c相切【答案】abd【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓c上，則，所以，則直線l與圓c相切，故a正確；若點(diǎn)在圓c內(nèi)，則，所以，則直線l與圓c相離，故b正確；若點(diǎn)在圓c外，則，所以，則直線l與圓c相交，故c錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即

9、，所以，直線l與圓c相切，故d正確.故選：abd.12. 設(shè)正整數(shù)，其中，記則（ ）a. b. c. d. 【答案】acd【解析】【分析】利用的定義可判斷acd選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷b選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，所以，a選項(xiàng)正確；對(duì)于b選項(xiàng)，取，而，則，即，b選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于c選項(xiàng)，所以，所以，因此，c選項(xiàng)正確；對(duì)于d選項(xiàng)，故，d選項(xiàng)正確.故選：acd.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由雙曲線離心率公式可得，再由漸近線方程即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，所以，所以該雙曲線的漸

10、近線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的應(yīng)用及漸近線的求解，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)_；當(dāng)時(shí)，；是奇函數(shù)【答案】（答案不唯一，均滿足）【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足，時(shí)有，滿足，的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，滿足.故答案為：（答案不唯一，均滿足）15. 已知向量，_【答案】【解析】【分析】由已知可得，展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.16. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于m，n兩點(diǎn)，則取值范圍是_【答案】【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，

11、結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.四解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟17. 記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可

12、得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18. 在中，角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、，.（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出

13、，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，所以，銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，故.19. 在四棱錐中，底面是正方形，若（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，則，而，故.在正方形中，因

14、為，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.20. 已知橢圓c的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為（1）求橢圓c的方程；（2）設(shè)m，n是橢圓c上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切證明：m，n，f三點(diǎn)共線的充要條件是【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線

15、與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若m，n，f三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，m，n，f三點(diǎn)共線，充分性成立；所以m，n，f三點(diǎn)共線的充要條件是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性

16、是解題的重中之重.21. 一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)x表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用公式計(jì)算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)

17、的理解說(shuō)明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.22. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2

18、）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)；【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單