淺談《高等數(shù)學(xué)》與《線性代數(shù)》課程的相通性

1、淺談高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)課程的相通性一數(shù)學(xué)論文高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)這兩門課的內(nèi)容差異大,但也有不少知識(shí)點(diǎn)具有 相同性，很多方法和結(jié)論相互滲透，本文探討了高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)課 程內(nèi)容的一些相通性。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用”高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的作用越來(lái)越重要，它們是高等院校培養(yǎng)應(yīng)用型人才重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。高等 數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)的是微積分方面的知識(shí)，線性代數(shù)主要學(xué)習(xí)的是幾何方面的 知識(shí)。由于課程內(nèi)容的不同,部分高校在課程安排上往往一個(gè)教師要么只教高 等數(shù)學(xué)，要么只教線性代數(shù)，從而在教學(xué)時(shí)往往忽略了引導(dǎo)學(xué)生去思考這兩 門課程中的一些相通性。實(shí)際上，看似兩門完全不同的課程之間實(shí)有許多相通之 處，而讓

2、學(xué)生了解和掌握這些相通性不但有利于更好地掌握這兩門課程，而且還幾年來(lái)，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、思考和總結(jié)的能力，所學(xué)知識(shí)真正做到融會(huì)貫通。筆者一直在教學(xué)一線，既承擔(dān)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，也承擔(dān)線性代數(shù)的教學(xué)。在教學(xué)實(shí)踐中篤者發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了一些這兩門課程的相通性，下面介紹幾點(diǎn)。一、高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程中部分定義和結(jié)論的相通性4.方程解的結(jié)構(gòu)。 在線性代數(shù)中，當(dāng)非齊次線性方程組ax二b有無(wú)窮解時(shí)z其解可以表示為對(duì) 應(yīng)齊次方程組ax=o的通解加上非齊次線性方程組ax=b的一個(gè)特解。在高 等數(shù)學(xué)中,非齊次線性微分方程的通解也有類似的結(jié)構(gòu),即也可表示成對(duì)應(yīng)齊 次微分方程的通解加上非齊次微分方程的特解。線性方程組和線

3、性微分方程除了 解結(jié)構(gòu)類似外，解的性質(zhì)也完全一樣。二、高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程中 部分量運(yùn)算的相通性在線性代數(shù)中有一個(gè)重要的量矩陣,故對(duì)矩陣的運(yùn)算作了大量的介紹，有矩陣的加法、矩陣的減法、矩陣的乘法，但是沒(méi)有矩陣 的除法這一說(shuō)法。在高等數(shù)學(xué)中，極限部分有個(gè)關(guān)鍵量無(wú)窮小，兩個(gè)無(wú)窮小 相加、相減、相乘仍然是無(wú)窮小，但是兩個(gè)無(wú)窮小相除不一定是無(wú)窮小。這個(gè)特點(diǎn)和矩陣的運(yùn)算特點(diǎn)類似，即對(duì)除法運(yùn)算的特殊性。矩陣無(wú)除法運(yùn)算，無(wú)窮小相除不一定為無(wú)窮小，它們雖然沒(méi)有除法運(yùn)算或性質(zhì)對(duì)除法運(yùn)算的不成立性，但是它們都有特殊的運(yùn)算來(lái)代替，矩陣有矩陣的逆運(yùn)算，無(wú)窮小可以通過(guò)相除來(lái)比較無(wú)窮小的階數(shù)。命題1 :三、高等數(shù)學(xué)和線

4、性代數(shù)課程對(duì)學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的相通性逆向 思維是從原問(wèn)題的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向進(jìn)行思考的一種思 維。它反映了思維過(guò)程的間斷性、突變性和多向性，有利于培養(yǎng)思維的靈活性, 常?？梢詭椭鷮W(xué)生尋找新的思路、新的方法,開拓新的知識(shí)領(lǐng)域。在高等數(shù)學(xué) 和線性代數(shù)課程中，都大量存在對(duì)走理、結(jié)論的逆否命題的采用，因而兩門 課程在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面具有相通性。我們來(lái)看幾個(gè)例子。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則齊次線性方程組只有零解。而在 實(shí)際的解題過(guò)程中，往往用其逆否命題：如果齊次線性方程組有非零解，則齊次 線性方程組的系數(shù)行列式等于0。命題2 :如果向量組中有一部分向量倍盼組

5、） 線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。在向量組中相關(guān)性判斷中,也常常用到其逆否命題形式。線性無(wú)關(guān)的向量組中的任何一部分組皆線性無(wú)關(guān)。再比如，若向量 組線性無(wú)關(guān)，則其升維組也線性無(wú)關(guān)。其逆否命題:若一個(gè)向量組線性相關(guān),則 其降維組也線性相關(guān)。這些結(jié)論在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中是比較難以區(qū)分的，若弄清楚 兩兩之間的關(guān)系，不但有利于逆向思維的培養(yǎng)，而且學(xué)習(xí)起來(lái)也會(huì)事半功倍。上 面只是列舉了這兩門課程中的幾個(gè)例子，實(shí)際這種逆向思維的訓(xùn)練在兩門課程中 還有很多。文獻(xiàn)1中還介紹了利用反例、反問(wèn)題等來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。線 性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的兩門重要基礎(chǔ)課，雖然這兩門課解題方法有些差 異，卻密切相關(guān)。除了上面介紹的幾個(gè)方面外，還在很多方面都有內(nèi)在的滲透2-7o例如二次型在函數(shù)極值、不等式中有著重要的應(yīng)用,線性空間理論也可 用于數(shù)列極限的求解矩陣、行列式在高等數(shù)學(xué)中的向量積、混合積、旋度、stokes 公式等知識(shí)點(diǎn)中都有具體的應(yīng)用。而另一方面,高等數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，譬如函 數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等都可廣泛