淺談切線的求法及綜合應(yīng)用

1、淺談切線方程的求法及綜合應(yīng)用在初中時(shí)就學(xué)過(guò)圓的切線，高中又學(xué)過(guò)切線方程的求法，由丁這一內(nèi)容比較單一，方法 簡(jiǎn)單，在高考中出現(xiàn)不多。但教材改革以后，弓i入了導(dǎo)數(shù)的概念，切線的內(nèi)容得到巨大的豐 富和充實(shí)，且靈活多樣，迅速成為高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，成為高考的 個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。認(rèn)真全 面學(xué)習(xí)切線知識(shí)，靈活學(xué)握切線方程的各種求法，成為我們平時(shí)學(xué)習(xí)的巫要內(nèi)容，也是高考 備考復(fù)習(xí)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。曲線的切線方程的求法主要分為切線過(guò)曲線上一點(diǎn)和切線過(guò)曲線外一點(diǎn)兩種情況。_過(guò)曲線上一點(diǎn)求曲線的切線方程 過(guò)曲線i二一點(diǎn)求曲線的切線方程，上要在丁求切線的斜率，這類題口方法比較簡(jiǎn)單明了，但不同方法的計(jì)算量相差很大。例1已知

2、拋物線的方程為y = /求過(guò)點(diǎn)a (1, 1)的拋物線的切線方程。法1：已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線的方程，關(guān)鍵是求直線的斜率。設(shè)直線方程為y-可意義就是相應(yīng)l=k(x-l)lwy = kxk+l,代入拋物線的方程得因?yàn)閍是切點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,xkx + k1=0即冇重根，貝ij判別式a=k2 -4(k-l) = 0 得 k = 2所以所求切線方程為y l=2(x 1)即2xy 1= 0法2：h丁學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率，它的曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，所以可以利川導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線的斜率，這種力法計(jì)算量要小很多。t y =2x , y lx=i=2 即 k = 2所以所求切線

3、方程為y-l=2(x-l)即2x-y-l= 0例2曲線y = 2x-x3在橫朋標(biāo)為一1的點(diǎn)處的切線為/,則i的方程為a x + y +2 = 0 b xy = 0 c x + y2 = 0 d xy + 2 = 0 分析：.° x=1 ,二y=1即切點(diǎn)為(一1, 1) 乂t y =2_3x2, .i y'lx=_i= 1 即 k= 1 所以所求切線方程為y +l=-(x +1) up x + y +2= 0即答案為a 二過(guò)曲線外一點(diǎn)求曲線的切線方程這類問(wèn)題的求解往往沒有前類題目那么r(接，它要充分考慮題目已知條件，抓住切線 的疋義，挖掘題廿的隱含條件，尋找解題的等量關(guān)系。例3

4、求過(guò)點(diǎn)p (2, 4)和圓(x1+(y1)2=1相切的宜線方程。法1：垃接設(shè)玄線方程為y4 = k(x2),將垃線方程代入圓的方程。因?yàn)橹本€和圓相切，所以所得方稈有重根，先由判別式=()求出k,再求得切線方程。但這-方法計(jì)算量較大。法2設(shè)直線方程為y4 = k(x2),即kx-y + 4-2k = 0,兇為直線和i員i相切，貝ui員i心(1, 1)到切線的距離等于半徑，得2j得4k 二一3所以切線方程為y4(x2)即4x3y + 4 = 0但從圖形對(duì)知切線冇兩條，怎么少了條呢？實(shí)際上前而假設(shè)直線方程的而提條件是直 線仔在斜率，但當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為x = 2,它也是|員i的切線。因此所求

5、i員i的切線方程為 x = 2 或 4x3y + 4 = 0。例4求過(guò)a (1, 0)的拋物線x2= 2y的切線方程法1利用切線性質(zhì)求解設(shè)切線方程為y = k(x1),代入拋物線的方程得 x2-2kx + 2k=0由切線性質(zhì)可知方程有巫根，則 = (-2k) 2-4x2k = 0 得 k = 2 或 k = 0 所以所求切線方程為y = 0或y = 2(x-l)法2利用導(dǎo)數(shù)求解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,y°),切線的斜率為kk = y l=x 0二勿則切線方程為y = x°(x1),得yo=x()x(xo-l),但這只有個(gè)方程，還要尋找其它關(guān)系。由于切點(diǎn)是切線和拋物線的交點(diǎn)，它既

6、在切線上，也在拋物線上，得yo=-xo2得 x()=0 或 x()= 2 即 k = 0或 k=2y0 =xox(xo-l)所以所求切線方程為y=0或y = 2(x1)說(shuō)明：在這兩種方法中，反而利用舊方法計(jì)算方便些。(2004天津高考)例5已知函數(shù)f(x) = a x3 + bx23x在x = ±1處取得極值，過(guò)點(diǎn)a (0, 作曲線y = f(x)的切線，求此切線的方程。分析：這題就只能利川導(dǎo)數(shù)來(lái)求解。*.* f(x) = ax3 + bx23x f' (x) = 3ax2+ 2 bx3依題鮒 f、(l) = f、(一 1) = 0即3a + 2b 3 = 03ch3 = o

7、解得 a=l, b = ()f(x) = x3-3x,貝ij點(diǎn)a不在該曲線匕 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),切線的斜率為k, *.* f' (x) = 3x2 一3 ：k 二 f' (xo) = 3xq2 3則切線方程為y-16 = 3(xo2-l)x,由丁切點(diǎn)(&,旳)既在切線上，又在拋物線上得一 16 = 3(吋-l)x0得 &)=2 貝ij k = 3x(-2)2-3 = 9所以所求則切線方程為y16 = 9x即9xy+ 16 = 0 三切線的綜合應(yīng)用 引入導(dǎo)數(shù)后，切線方程的綜合性明顯加強(qiáng)，極易和其它數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，成為新iii知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，極大地豐富了

8、和切線方程相關(guān)的題空，擴(kuò)大考查的知識(shí)點(diǎn)和解題方法，也 頻頻出現(xiàn)在高考等各類考試中。2(2(x)4濟(jì)南統(tǒng)考題)例6點(diǎn)p在曲線y = x3-x + -上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)p切線的斜率的取值范圍是o分析：此題是切線方程和二次函數(shù)的綜合應(yīng)jij,利川導(dǎo)數(shù)求解非常簡(jiǎn)便。 *.* y =3x2131.k 二 y'n 1例7i2知點(diǎn)a (0, -4), b (3, 2),在拋物線y = x?上找一點(diǎn)，使它至育線ab的距 離呃分析：此題是切線方程和最值的綜合應(yīng)川。從拋物線的性質(zhì)吋知，當(dāng)直線ab平行移動(dòng)到和拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線ab的距 離繪短.。* y'=2x° k = y'lx=

9、x()=2x<)=2 得 xo=i, yo=xo2=l所以拋物線y = x?上點(diǎn)(1, 1)至i直線ab的距離最短。(2004黃岡、荊州聯(lián)考題)例8設(shè)曲線y = x?與曲線y =-x2+x+l(x >0),在它們交點(diǎn)處 的兩切線的夾角為則tan 0=()分析：此題是切線方程和兩育線的夾角的綜合應(yīng)用。 y = x解方程組7?(x>0)y = -x +x + l由曲線y = x?得y'=2x貝i它的斜率k尸y'lm=2由曲線 y=x2+x+l(x>0)得 y'=2x+l 則它的斜率 k2=y'l=i=ltan 0 二k k21 + £

10、;&22-(-1)l-2x(-l)二3,即答案為b(2003天津高考)例9設(shè)a>0r f(x) = ax2+bx + c,曲線y = f(x)在點(diǎn)(xo, f(勺)處切線c0,1 1 1d2a2a則p到曲線y = f(x)對(duì)稱軸距離的取值范用為(分析：此題是切線方程和點(diǎn)至怕線距離的綜合應(yīng)用。切線的傾斜角的取值范殉為o,彳切線的斜率k的取值范圍為0,1又因?yàn)?x) =2ax + b,則 k = r (勺)=2axo+ b0w2ax()+bwlp到曲線y二f(x)對(duì)稱軸距離h i 2axn + h i1 = 1x(- (- )1=2a2ci gdw ,即答案為b(2004廣東高考)例10設(shè)函數(shù)f(x)=l-丄,x0,點(diǎn)p(xo,yo)x(0xol)在曲線y = f(x)上，求曲線在點(diǎn)p處的切線與x軸和y軸的止方向圍成的三角形血 積表達(dá)式(用xo表示)分析：此題是切線方程和三角形血積的綜合應(yīng)用，用新舊兩種方法都育味解，但是用導(dǎo) 數(shù)求解要方便簡(jiǎn)單些。*.* ovxvl, y = f(x)= 1 - = 1x xf(x)=丄,則切線的斜率"(勺)=丄x兀0.*曲線在點(diǎn)p處的切線方程為yy0= (xxo)v切線與x軸和y軸的正方向的交點(diǎn)為(xo(2xo),0)和(0, (2-xo)尢o所以所求二角形ifl積表達(dá)式