數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、    數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用    翟克修【內(nèi)容摘要】數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)解題中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文介紹了初中數(shù)學(xué)中數(shù)軸、有理數(shù)的計(jì)算、圖形與式的探究、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等多方面內(nèi)容中所蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想，以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的方法。從而發(fā)展學(xué)生的思維能力、空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 實(shí)踐性 探究性 創(chuàng)新意識(shí)在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們往往的數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩部分知識(shí)。代數(shù)主要研究數(shù)與式的運(yùn)算而幾何主要研究圖形的轉(zhuǎn)換與性質(zhì)。這樣就把數(shù)與形區(qū)分開來。殊不知如果把數(shù)與形結(jié)合在一起往往在解題中取

2、得事半功倍的效果。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚就曾經(jīng)說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?？梢姅?shù)與形之間存在著十分密切的聯(lián)系。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的基本思想是數(shù)與形之間相互應(yīng)用，利用代數(shù)的方法來處理圖形問題，也借助于幾何圖形來解決代數(shù)問題。在初中數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一次聯(lián)姻是在數(shù)軸中。數(shù)軸使數(shù)與直線的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，提示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此在為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。數(shù)軸可以清楚明了的將相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義表示出來，從而利用它們來解決問題。例如，已知|m|<|n|，m>0，n<0，把m、n、-m、-n按順序由小到大排列起來。對(duì)于

3、這道題要比較四個(gè)數(shù)的大小，只需根據(jù)條件給養(yǎng)數(shù)軸上表示出來，就能確定它們的大小順序。如圖：從而得到n<-m<m<-n。 < p>我們也常常借助幾何圖形來推導(dǎo)理解代數(shù)中計(jì)算公式，尋找解題思路。例如我們完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2我們可以用正方形和矩形的面積來表示如圖：通過這樣的幾何圖形可以直觀的反映出公式等號(hào)兩邊的關(guān)系，使老師便于講解，學(xué)生易于記憶，這充分展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的好處。利用數(shù)形結(jié)合還可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化，從而獲得簡(jiǎn)單易行的成功方案。例如，求 的值。這道題如果直接計(jì)算很難下手，但如果我們利用幾何圖形來解決就

4、很容易得出結(jié)果。通過觀察圖形我們很快就能發(fā)現(xiàn)上式的值為1- 。這樣就避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，簡(jiǎn)化了解題過程。在直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)p建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使函數(shù)與其圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個(gè)函數(shù)可以用圖形來表示，而借助這個(gè)圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)。在一次函數(shù)中，k決定著直線y=kx+b（k0）所經(jīng)過的象限和它的增減性；反過來，如果已知坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線及其它上面的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們就可以求出它的解析式。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）中，a決定著拋物線的開口方向，a>0時(shí)開口向上，a<0時(shí)開口向下。其圖象的對(duì)稱軸為直線x=- ，拋物

5、線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）。我們還可以根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（- ， ）求二次函數(shù)的極值，從而解決實(shí)際問題，這也是歷年來函數(shù)中必考的題型。另外，我們還可以利用函數(shù)圖象來求方程和不等式的解。這為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。隨著多媒體技術(shù)在課堂教學(xué)中應(yīng)用，我們可以利用計(jì)算機(jī)制作教學(xué)課件，通過動(dòng)態(tài)的畫面將數(shù)與形完美的結(jié)合。例如，在講解圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以利用多媒體技術(shù)在電腦中制作兩個(gè)圓，通過移動(dòng)某一個(gè)圓探究?jī)蓤A的圓心距d，兩圓的半徑r、r之間的關(guān)系。學(xué)生通過動(dòng)態(tài)的畫面很容易就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)d>r+r時(shí)，兩圓外離；當(dāng)d=r+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)

6、r-r<d<d< p>在各類的考試中，有關(guān)數(shù)形結(jié)合探究的試題也屢見不鮮。例如，觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）請(qǐng)你在和后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式： 4×0+1=4×1-3 4×1+1=4×2-3 4×2+1=4×3-3（2）通過猜想，寫出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式。本題通過已知的點(diǎn)與式的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化。我們只需將點(diǎn)陣中不同圖形的點(diǎn)數(shù)運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，很容易就能得出結(jié)果中填4×3+1=4×4-3，中填4×4+1=4×5-3，最終結(jié)論為4×（n-1）+1=4n-3。由此，我們?cè)诮虒W(xué)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸