淺談物理奧賽中的天體運動

1、淺談物理奧賽中的天體運動問題射洪中學(xué)黃勇天體，是宇宙間各種星體的通稱。太陽系中的天體包括太陽、行星、衛(wèi)星、彗星、 流星以及行星際微小天體等。銀河系中的天體有恒星、星團、星云以及星際物質(zhì)等。 河外星系是和銀河系同樣龐大的天體。還冇近年利用最新觀測手段發(fā)現(xiàn)的紅外源、射 電源、x射線源、y射線源等。以上都屬于自然天體。而人造衛(wèi)星、宇宙火箭、宇宙 飛船、空間探測器、空間實驗室等都是人造天體。犬體運動，是在宇宙大爆炸發(fā)生后，形成空間犬體運動的本原動力，也就是物質(zhì) 運動的動力源。宇宙的原木動力構(gòu)成了物質(zhì)引力場的形成以及電場和磁場的誕生，隨 后也產(chǎn)生了天體運動的離心力和天體之間的斥力場。宇宙吋空是在大爆炸后

2、形成的， 在萬有引力的作用下，讓我們?nèi)祟惪吹搅瞬煌奶祗w星系團，星系團中包括無數(shù)的恒 星系和恒星系中的行星。天體在本原動力以及引力場的作用下產(chǎn)生了天體運動的公轉(zhuǎn) 和自傳，包括銀河系在內(nèi)的諸多星系除去自傳外還要圍繞寧宙中心做公轉(zhuǎn)運動。在我 們的銀河系屮，太陽系的天體運動就是一個很好的例了，太陽系屮的九人行星除去自 傳外還要圍繞a陽進行公轉(zhuǎn)，而在銀河星中，我們的a陽系則圍繞著銀河中心運轉(zhuǎn)， 也叫作太陽系的公轉(zhuǎn)運動。我們?nèi)祟愃幼〉奶祗w地球，其自轉(zhuǎn)一周需要23小時56 分的一天時間，而地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)一周則需要一年（365 li 6時6分9秒）。犬體運動構(gòu)成了寧宙太空繽紛多彩的星空世界，在天體引力場

3、的作用下也形成了 宇宙空間物質(zhì)的時空變遷，使我們的宇宙物質(zhì)空間變得越來越神秘。當(dāng)而，人們對天體也越來越重視，髙考里而涉及天體運動，物理奧賽更是對天體 運動情有獨鐘，是每年必考的題型。一、對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的簡化1. 犬體通常相距很遠(yuǎn)，故可將大體處理為質(zhì)點.2. 很多時候，某天體的所受其他諸天體引力屮僅有一個是主要的：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動，這 時問題很簡單（我們通常討論的就是這種情況）.二、天體運動的機械能守恒天體系統(tǒng)的機械能e為系統(tǒng)的萬有引力勢能與各天體的動能之和。僅有一個天體在運動時，則e為系統(tǒng)的萬冇引

4、力勢能與其動能z和。由于沒冇其他外力作用, 系統(tǒng)內(nèi)萬有引力屬丁保守力，故有機械能守恒，e為一恒量，如圖所示， 設(shè)m天體不動，m天體繞m天體轉(zhuǎn)動，則山機械動能守恒，有-一 gmm 12- gmm 1e =f 當(dāng)運動天體背離不動天體運動時，丘戶不斷增人，而ek將不斷減小，可達(dá)無窮遠(yuǎn)處,-gmm此時ep=q而ek 20,則應(yīng)滿足e20,即例如從地球發(fā)射人造1j星要掙脫地球束縛必何我們稱v=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為血倍。三、天體運動的角動量守恒天體系統(tǒng)中，由于萬有引力加于有心力，所以對m而言，遵循角動量守恒或 mvr x sin 9 彳旦量規(guī)v與廠方向的夾角。它實質(zhì)可變換得

5、到開普勒第二定律，即行星與恒星連線在相等時間內(nèi)掃過面積等。四、天體運動的軌道與能量談及天體運動的軌道問題，我們自然會想到物理科學(xué)家牛頓關(guān)于軌 道的概述：如圖所示，在離地面高度水平拋出一物體，當(dāng)初速度較小吋, 物體沿橢圓曲線a落地；當(dāng)初速度較大時，物體沿橢圓曲線a落地；落 地點較遠(yuǎn)；當(dāng)初速度達(dá)到笫一宇宙速度時，物體沿圓軌道b運行；當(dāng)初 速度達(dá)到第二宇宙速度時，物體沿拋物線軌道d離開地球不再冋來；當(dāng) 初速度大于此速度時，物體沿雙曲線e離開地球。物體在有心力場屮的運動軌跡是圓錐illi線，地球的屮心是illi線的焦 點，如圖所示兒天軌道中，圓軌道b是一個臨界軌道，在b以內(nèi)的橢圓（如小，拋出點是 橢圓

6、的遠(yuǎn)地點，在b以外的橢圓（如c）,拋出點是橢圓的近地點。拋物線軌道d 乂是一個 臨界軌道，在d以內(nèi)的軌道（如abc）是封閉的橢圓，在b以外的軌道（如e）是不封閉的 雙曲線。牛頓的這張草圖不僅對于任何一個繞地球運動的衛(wèi)星是適用的，而對于任何一個 繞小心天體運動的星體都適用。在物理奧賽中我們常常把天體軌道簡化為三種模型：若m天體固定，ni天體在萬有引力作川下運動，其闘錐曲線町能是橢闘（包括闘）、拋物線或雙曲線。1.橢圓軌道c廣 b(a>b)如圖所示，設(shè)橢圓軌道方程為則橢圓長，短半軸為a、b,焦距c二異，近地點速度兒，遠(yuǎn)地點速度匕貝怖-1? gmm 1? gmme = mv.= mv?2a-c

7、 2a + cmvx (a-c) = mv2 (a + c)或由開普勒第二定律：-vi（a-c） = v2（a + c）可解得vl =+ c)gm /(a c) av2 = yl(a-c)gm /(tz + c)-tz代入e得沁02a2.拋物線設(shè)拋物線方程為y = ax20,太陽在其焦點（4a）處，則m在拋物線頂點處能量為gmm-4 ag mm1 p = 可以證明拋物線頂點處曲率半徑24/ p = gmm/()2 則侑4a得到v0 = yjsagm拋物線軌道能量e = m8agm）-4agm =03. 雙曲線設(shè)雙曲線方程為x2y2 a2焦距c二,太陽位于焦點（0 0）,星體m在雙曲線正半支上運

8、動。如圖所示,其漸近線0e方程為y=bx/a,考慮m在d處為無窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有-1? gmm 1?e = znv0= mv2c - x 2考慮到當(dāng)廠too,運動方向逼近漸近線，焦點與漸近線距fc為fc = cb / j/ +b，= b故有乩(c_q) = 2% b或 mvd(c-a) = mv /?聯(lián)解得= yjgm/a雙曲線軌道能量口 gmm ne => 02a五. 天體運動中常用的幾種物理模型處理犬體運動問題，不僅需耍必要的有關(guān)大體運動規(guī)律的知識（如開普勒定律，牛頓力 學(xué)），而且需要掌握解決這類問題的有用的模型與方法，常用的有以下兒種模型：類型一，應(yīng)用開普勒定律的問題，解這類問題時一定要注意運動的軌道、面積、周期, 但三者z間也是有關(guān)聯(lián)的，正因為如此，解題時耍特別注意“面積速度”。類型二，天體質(zhì)量（密度）的計算問題往往是山萬有引力定律和向心力公式建立天體計 算的基本方程，解題時一般要注意屮心大體與運動衛(wèi)星關(guān)系的建立，同時還要注意忽略微小 量（次要因數(shù)）的問題，這是解決這類問題的兩個非常重要的因數(shù)。類型三，天體運動的能量問題要注意在軌運行的衛(wèi)星的機械能，然后利用機械能的改變 及功能原理來解題，這是因為衛(wèi)星的運行軌道變化既要注意其變軌機理,乂要符合能量原理。類型四，天體運動的