有限體積法介紹

1、.有限體積法1 有限體積法基本原理上一章講到的有限差分法將數(shù)值網(wǎng)格的節(jié)點上定義為計算節(jié)點，并在網(wǎng)格節(jié)點上對微分形式的流體基本方程進(jìn)行離散，用網(wǎng)格節(jié)點上的物理量的代數(shù)方程作為原PDE 的近似。在本章所要學(xué)習(xí)的有限體積法則采用了不同的離散形式。 首先，有限體積法離散的是積分形式的流體力學(xué)基本方程：v ndsndsq d ?(1)SS計算域用數(shù)值網(wǎng)格劃分成若干小控制體。和有限差分法不同的是，有限體積法的網(wǎng)格定義了控制體的邊界，而不是計算節(jié)點。有限體積法的計算節(jié)點定義在小控制體內(nèi)部。一般有限體積法的計算節(jié)點有兩種定義方法，一種是將網(wǎng)格節(jié)點定義在控制體的中心，另一種方法中，相鄰兩個控制體的計算節(jié)點到公共

2、邊界的距離相等。第一種方法的優(yōu)點在于用計算節(jié)點的值作為控制體上物理量的平均值具有二階的精度；第二種方法的好處是在控制體邊界上的中心差分格式具有較高的精度。積分形式的守恒方程在小控制體和計算域上都是成立的。 為了獲得每一個控制體上的代數(shù)方程，面積分和體積分需要用求面積公式來近似。2 面積分的近似采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在二維情況下，每一個控制體有4 個面，二維情況，每一個控制體有6 個表面。計算節(jié)點用大寫字母表示，控制體邊界和節(jié)點用小寫字母表示。為了保證守恒性，控制體不能重疊，每一個面都是相鄰兩個控制體的唯一公共邊界。控制體邊界上的積分等于控制體個表面的積分的和：fdSfds(2)SSkk上式中， f

3、可以表示un 或。n.NNNWNNEnwnneWWWwPeEEEswsseSWSSESS顯然，為了獲得邊界上的積分，必須知道 f 在邊界上的詳細(xì)分布情況，這是不可能實現(xiàn)的，由于只是計算節(jié)點上的函數(shù)值，因此必須采用近似的方法來計算積分。整個近似過程分成兩步第一步：用邊界上幾個點的近似積分公式第二步：邊界點上的函數(shù)值用計算節(jié)點函數(shù)值的插值函數(shù)近似面積分可采用以下不同精度的積分公式：二階精度積分：Fefds f eSe f e Se(3)Se上式中 f e 為邊界中點出的函數(shù)值。近似為方格中心點的值乘以方格的面積。三階精度積分：Fefdsf nef seSe(4)Se2四階精度積分：Fefdsf n

4、e4 f ef se Se(5)Se6應(yīng)該注意的是， 采用不同精度的積分公式， 在相應(yīng)的邊界點的插值時也應(yīng)采用相應(yīng)精度的插值函數(shù)。積分公式的精度越高，近似公式就越復(fù)雜。3 體積分的近似和面積分相似，體積分也有不同精度的近似公式二階精度積分公式Qqdsq Se qP(6)Se采用雙二次樣條函數(shù)q( x, y) a0a1x a2 y a3 x2a4 y 2a5 xy a6 x 2 y a7 xy 2a8 x2 y 2(7).可以得到四階精度的積分公式：Qqds16qP 4qs 4qw 4qn 4qs 4qse 4qsw 4qne 4qnw (8)Se364 函數(shù)的插值在上節(jié)講到的積分的近似公式中用

5、到了非計算節(jié)點上的函數(shù)值，被積函數(shù)f 中包含了多個物理量及其偏微分，如對流項f cv n ,擴散項 f dn，在源項中也有類似情況，這里假定流場和流體的物性參數(shù)是已知的，物理量及其偏導(dǎo)數(shù)在控制面上的值需要通過計算節(jié)點上物理量的插值得到。下面已e 面為例進(jìn)行討論。4.1 迎風(fēng)插值（ UDS ）e 用上游計算節(jié)點的函數(shù)值近似相當(dāng)于對一階偏導(dǎo)數(shù)采用迎風(fēng)格式，因此用 UDS 來表示這種近似方法，在UDS 中：PeEifv nifv nee0(9)0UDS 是唯一無條件滿足有界性要求的近似格式，在數(shù)值過程中不會產(chǎn)生數(shù)值振蕩。UDS 存在數(shù)值粘性。根據(jù)Taylor 公式，該格式具有一階精度，并具有數(shù)值粘性

6、：numu ex / 2(10)e在多維問題中， 如果流動方向和網(wǎng)格是斜交的，截斷誤差會在垂直于流動方向以及流線方向產(chǎn)生擴散， 這是一種非常嚴(yán)重的誤差， 函數(shù)的峰值或函數(shù)值的快速變化會被抹平，為了得到高精度結(jié)果需要采用非常精細(xì)的網(wǎng)格。4.2 線性插值（ CDS ）eE E(1E ) P(11)xexP(12)ExPxE線性插值具有二階精度，線性插值相當(dāng)于FDM 中的 CDS 格式，因此用CDS 表示。 CDS 格式會產(chǎn)生數(shù)值振蕩。對于擴散項EP(13)xexExP.4.3 三階迎風(fēng)格式（QUICK ）和 UDS 類似， QUICK 格式也和流動方向有關(guān)g1 Eg2 W(1 g1g2 ) Peg

7、4 EE(1 g3g 4 ) Eg3 P其中：ifv nifv nee0(14)0121e,P 12e,We, Pe,Wg1； g 21(15a)1e,Pe,We, Pe,W1e,W 122e,Pe,Ee, Pg3； g 41(15b)1e,Ee, Pe,Ee, P4.4 高階格式（ 4 階精度 CDS ）采用三次曲線可擬合出四階精度的中心插值公式，在均勻網(wǎng)格中，四階公式為：27 P27 E3 W3 EE(16)e4827E 27PWEE(17)x e24 x5 邊界的處理對于對流項， 在入口處一般給出了流量或函數(shù)值， 在邊界和對稱面上流量為零， 在出口處假設(shè)和出口的法向坐標(biāo)無關(guān)， 因此可采用

8、迎風(fēng)格式。 對于擴散項則可能需要采用偏心格式。6 有限體積法應(yīng)用舉例例：考慮一標(biāo)量在已知流場中的輸運過程（如圖4.4 所示），輸運方程為：v ndSndS(18)SS邊界條件：0 ；北部入口邊界1y ；西部壁面邊界對稱條件；南部邊界梯度為 0；東部出口條件.u xx ， u yy ，流線方程xyc入口，0(y)壁面對稱邊界對流項： Fecv ndSme eSemev ndSux ey 為質(zhì)量通量。SeFecmax(me ,0) Pmin(me ,0) Efor UDSm（e1e )me E Efor CDSP若采用 UDS 格式，代數(shù)方程組中各項系數(shù)為：AEcmin( me ,0) ； AWc

9、min( mw ,0)ANcmin( mn ,0) ； AScmin( ms ,0)APc(AEcAWcANcASc )若采用 CDS 格式，代數(shù)方程組中各項系數(shù)為AEcme e ； AWcmw wANcmn n ； AScms sAPc(AEcAWcANcASc )根據(jù)連續(xù)性方程：memwm nms0相鄰 CV 之間的關(guān)系：mw ,Pme,W ；w, P1e,W其余相鄰 CV 有類似關(guān)系.流 線 ，xy=c出口n0(19)(20)(21)(22)(23)(24).擴散項采用CDS 格式FecSendSyyEP(25)x exE xP代數(shù)方程組中擴散項系數(shù)為：AEdxEy； AWdyxPxPx

10、WANdxNx； AWdxPx(26)xPxSAPd( AEdAWdANdASd )對于任意控制體AW WAS SAPP ANNAEE QP(27)Al AlcAld， l 為任意指標(biāo)P，E，W， S，N。(28)邊界條件的處理：對于西部和北部邊界， 由于給定了函數(shù)值， 對流項可直接代入函數(shù)值而無需插值， 擴散項則采用一側(cè)差分PW(29)xWxPxW這里， W 點和 P 的 w 邊中點重合。南邊和西邊的梯度為零，以南邊為例，由于梯度為零，PS ，代數(shù)方程變?yōu)椋篈WW(AS AP)P ANN AEE QP(30)6 SIMPLE方法考慮定常不可壓流動問題，控制方程為：連續(xù)性方程：vndS0(31

11、)SV動量方程：vvndSn vdSpndSbd(32)SVSVSVCV不可壓縮問題求解的困難在于壓力場的求解。主要原因在于壓力p 沒有獨立的方程組。先考慮一維問題：對于動量方程：.uu euupe pw(33)uu wxx ew若采用 CDS 格式uu Puu Euu Puu WuE uPuP uWpP pEpP pW22xx22簡化后得：uu Euu Wu E uw2u PpEpW(34)2x2根據(jù)連續(xù)性方程，ui 1uiui 1c ，則有 pi 1pi 1 ，由于相鄰節(jié)點之間的壓力沒有聯(lián)系方程，容易造成壓力交錯現(xiàn)象。為了解決這一問題，可采用交錯網(wǎng)格技術(shù)，即速度場和壓力場采用不同的網(wǎng)格。以

12、二維問題為例，交錯網(wǎng)格的布置如下圖所示：NvnWuwPueEvsS主控制體為壓力控制體（黑色實線網(wǎng)格）， u的控制體（紅色虛線網(wǎng)格）的計算節(jié)點在主控制體的 e 邊，控制體的 e， w 邊界通過主控制體的計算節(jié)點，v 控制體（藍(lán)色雙點劃線網(wǎng)格）的計算節(jié)點在主控制體的n 邊，該控制體的n， s 面經(jīng)過主控制體的計算節(jié)點。在 u 的控制體中，采用有限體積法離散可得u 的代數(shù)方程：ae ueanb unbQ ( pPpE ) Ae(35)anvnanb vnbQ ( p PpN ) Ae壓力場的求解采用壓力校正方法。即采用預(yù)估的壓力場求速度，再用連續(xù)性方程校正壓力場。當(dāng)連續(xù)性方程得到滿足時，壓力場就是

13、真實的壓力場。具體步驟如下1 預(yù)測壓力場p2 將預(yù)測壓力場代入動量方程，分別求解速度場u, vae ueanb unbQ ( pPpE ) Ae(36)anvnanb vnbQ ( p PpN ) Ae3 用連續(xù)性方程校正壓力.設(shè)方程的精確解為u， v， puuu ； vvv ； ppp(37)其中 u , v , p 為校正量。則校正量滿足方程：ae ueanb unbQ ( pPpE ) Ae(38)anvnanb vnbQ ( p PpN ) Ae略去相鄰節(jié)點速度校正量的影響，可得：ueAepPpEdepPpE(39a)aevnAnpP pNd npPpN(39b)an代入連續(xù)性方程：(ueue ) Ae(uwuw )Aw( vnvn ) An(vs vs ) As0(40)整理得：de, P Ae, Pp PpEde,W Ae,WpWpPdn, P Ae,P pPpNdn, S An ,S pSpPue Ae,Puw Aw ,Pvn An, pvs A