簡述非標(biāo)準(zhǔn)分析在其他學(xué)科中的應(yīng)用

1、    簡述非標(biāo)準(zhǔn)分析在其他學(xué)科中的應(yīng)用    韓嬋張彥馬婷摘 要：非標(biāo)準(zhǔn)分析法理論的研究直接或間接的影響著其他學(xué)科的發(fā)展。為了說明非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的科學(xué)價值，首先簡述了非標(biāo)準(zhǔn)分析產(chǎn)生的背景和發(fā)展現(xiàn)狀；其次研究了非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論、拓撲學(xué)、概率論、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)中的若干應(yīng)用。所得到結(jié)論為今后利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法研究其他相關(guān)學(xué)科奠定了一定的基礎(chǔ)。最后，希望非標(biāo)準(zhǔn)分析對其他學(xué)科產(chǎn)生更深遠的影響。關(guān)鍵詞：非標(biāo)準(zhǔn)分析；圖論；拓撲空間 ；概率論；物理學(xué)：g64 ：a ：1673-9132（2017）13-0013-02doi：10.16657/ki.issn1673-

2、9132.2017.13.005一、 非標(biāo)準(zhǔn)分析概述牛頓與 leibnizi在創(chuàng)建微積分時，虛構(gòu)了無窮小數(shù)及無窮大數(shù)。他們打破常規(guī)的想法，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 但是，那時對無窮小的解釋相當(dāng)含糊，因此一些數(shù)學(xué)家不信任無窮小量這種方法。許多學(xué)者認為：無窮小缺乏必要的理論基礎(chǔ)。后來，柯西等終于尋找到“？著-？啄方法”，回避了無窮小，解決了微積分的內(nèi)在的根本的矛盾，也顯示了有限和無限的關(guān)系，但此方法仍有瑕疵，因為傳統(tǒng)的阿基米德域r是容納不了無窮小數(shù)，所以必須想辦法將數(shù)學(xué)從阿基米德的性質(zhì)中解放出來，數(shù)學(xué)才會有更長遠的發(fā)展。經(jīng)過學(xué)者們不斷地探索，1960年羅賓遜發(fā)現(xiàn)：模型論中的一些成果和分析學(xué)中的無窮小數(shù)有

3、著內(nèi)在的聯(lián)系，因此他將實數(shù)域擴張為超實數(shù)域，從而建立了一門新的學(xué)科非標(biāo)準(zhǔn)分析，使300年來一直被大家爭論的無窮小數(shù)問題得到了解決，進而為微積分奠定了一定的理論基礎(chǔ)。我國學(xué)者李邦河院士運用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法建立了廣義函數(shù)理論；馮漢橋教授利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，對隱函數(shù)及內(nèi)超實度量空間結(jié)構(gòu)等進行了探索，他們所取得的成果對國際非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究做出了突出的貢獻。從整個非標(biāo)準(zhǔn)分析的產(chǎn)生過程可以看出，非標(biāo)準(zhǔn)分析實際上是微分學(xué)逐漸完善的產(chǎn)物。二、 非標(biāo)準(zhǔn)分析的應(yīng)用隨著非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的完善，非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論、概率論、物理學(xué)、 拓撲學(xué)等都有著廣泛的應(yīng)用。（一）非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論中的應(yīng)用圖論的快速發(fā)展使得有限圖備受大家關(guān)

4、注，其研究成果也不斷涌現(xiàn)。一般來說，標(biāo)準(zhǔn)圖論只限于有限圖，方法也多為有限群、有限組合等。但近年來，學(xué)者逐漸重視了對無限圖的研究，這是由于無限圖的若干理論對數(shù)學(xué)的分支學(xué)科有著極為廣泛的應(yīng)用，而將非標(biāo)準(zhǔn)分析用于圖論的研究，為圖論的發(fā)展提供了更好的方法。首先可以運用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法定義*-有限圖，得到一類為*-有限圖的充要條件，利用轉(zhuǎn)換原理把有限圖的部分理論應(yīng)用到*-有限圖，將給定的無限圖嵌入到某個*-有限圖中，從而為無限圖的理論研究提供了一種新的想法。（二） 非標(biāo)準(zhǔn)分析在拓撲空間中的應(yīng)用1. 在模糊拓撲空間中的若干應(yīng)用國內(nèi)外許多學(xué)者們首先對模糊集合及其相關(guān)運算進行了非標(biāo)準(zhǔn)擴張，從而把非標(biāo)準(zhǔn)分析的部

5、分理論應(yīng)用到了模糊數(shù)學(xué)中。在此基礎(chǔ)上，隨后又通過共點原理，將非標(biāo)準(zhǔn)擴大的模型應(yīng)用到了模糊數(shù)學(xué)里，使非標(biāo)準(zhǔn)的擴大模型具備了模糊運算的若干表現(xiàn)形式，還定義了模糊拓撲空間的定義， 運用非標(biāo)準(zhǔn)分析的一個重要工具轉(zhuǎn)換原理， 對模糊濾子的極限點及其模糊濾子的收斂性進行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫，證明了n-單子、r-單子和q-單子對應(yīng)的逼近定理及其相互間的關(guān)系，最后部分學(xué)者還對模糊拓撲空間中的緊性等進行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫及證明，這些刻畫深刻的體現(xiàn)了非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的好處，也使模糊拓撲學(xué)原有的定義、結(jié)論更清晰明。2.在一致拓撲中的若干應(yīng)用目前，國內(nèi)外部分學(xué)者利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法和理論，對一致空間上的函數(shù)及一致收斂進行了非標(biāo)準(zhǔn)的

6、刻畫，最終得到了一致空間上的函數(shù)的u-等度連續(xù)性、rs-連續(xù)性等若干結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上，得到了這四種連續(xù)性之間存在的關(guān)系。并利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法及理論定義了緊一致空間，得到了此空間上緊映射的部分性質(zhì)，還利用u-微連續(xù)的定理，對一致空間上的函數(shù)的逼近定理做出了更加簡便的證明， 對cauchy濾子與一致結(jié)構(gòu)單子兩者之間存在的內(nèi)在關(guān)系進行了討論，得到了一致空間完備的充要條件，這些結(jié)果為今后繼續(xù)探討一致拓撲空間奠定了一定的基礎(chǔ)。3.在線性拓撲中的若干應(yīng)用眾所周知，線性拓撲空間，是線性距離空間的更進一步推廣。學(xué)者們利用非標(biāo)準(zhǔn)的方法和理論對集合的稠密、無處稠密等問題進行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫，并且利用這些結(jié)論證明

7、了線性拓撲中凸包的部分性質(zhì)。在hausdorff拓撲中，通過非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法及理論定義了集族上的vietoris拓撲空間，還定義了兩種不同的新單子：c、i單子，應(yīng)用這兩個單子對hausdorff拓撲中集網(wǎng)按vietoris 拓撲收斂的許多性質(zhì)進行了討論和研究，現(xiàn)有的結(jié)果為今后線性拓撲的更進一步發(fā)展做出了的貢獻。（三）非標(biāo)準(zhǔn)分析在概率論中的應(yīng)用借助于非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，首先建立了一個擴大模型中的內(nèi)概率空間，由測度擴張定理，可以將其完備化，形成了loeb概率空間，并且證明了存在*有限概率空間，而在標(biāo)準(zhǔn)的radon空間上展開的概率論可以由loeb概率空間得到。對于loeb可測函數(shù)g，存在所謂可積的內(nèi)函數(shù)

8、g，使得0g=g，由此可知，概率論在本質(zhì)上是可以通過*有限概率空間理論來表示。通過非標(biāo)準(zhǔn)分析理論建立起來的測度論基礎(chǔ)，為概率論給出了一個嚴密性的數(shù)學(xué)敘述，并在此基礎(chǔ)上正在做出新的研究。（四）非標(biāo)準(zhǔn)分析在物理學(xué)中的應(yīng)用量子力學(xué)是物理學(xué)的一個分支，主要研究的是微觀世界的運動的規(guī)律和狀態(tài)，非標(biāo)準(zhǔn)分析理論為其研究提供了重要的方法。dirac， schwarz， gelqand 等許多數(shù)學(xué)家引入了奇異函數(shù)：點delta函數(shù)，其基本觀點是“*w的若干函數(shù)，它對于w中的若干函數(shù)具有篩取性質(zhì)”，非標(biāo)準(zhǔn)分析理論使delta函數(shù)定義中的一些漏洞得到了解決，被大家認可，從而為量子力學(xué)的研究注入了新的動力。（五）非標(biāo)

9、準(zhǔn)分析在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用在規(guī)范經(jīng)濟學(xué)中，數(shù)學(xué)的用處確實不是很大，但近年來，數(shù)學(xué)在實證經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛，實證經(jīng)濟學(xué)主要研究的是：通過各種經(jīng)濟手段及其機構(gòu)使得稀缺資源滿足大眾的需求。在此，利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的方法，研究了一般經(jīng)濟均衡理論和經(jīng)濟核心理論，并且建立了數(shù)學(xué)模型下的競爭模型，也就是經(jīng)濟均衡模型。在此基礎(chǔ)上，證明了經(jīng)濟均衡與經(jīng)濟核心相重合，使edgeworth猜想得到了驗證，當(dāng)然，非標(biāo)準(zhǔn)分析對于經(jīng)濟的影響有待進一步的探討。三、結(jié)語非標(biāo)準(zhǔn)分析理論是數(shù)學(xué)理論不斷發(fā)展和完善的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)發(fā)展中相對獨立的表現(xiàn)，雖然已經(jīng)取得的些許成果，但是如何利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的方法，更好地來研究其他學(xué)科中問題

10、，這還需要國內(nèi)外學(xué)者共同努力，相信非標(biāo)準(zhǔn)分析將會對各學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生更大的影響。參考文獻：1 陳東立，馬春暉，史艷維.單子集映射m與標(biāo)準(zhǔn)部分逆映射1 st 的同態(tài)性j.數(shù)學(xué)進展，2012（1）：120-124.2 靳永軍，任林源.分離性和緊性的非標(biāo)準(zhǔn)刻畫及其應(yīng)用j.西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013（3）：176-179.3 john l.kelly. general topologym. new york：van nostrand， 1995.4 陳東立，馬春暉，史艷維. 非標(biāo)準(zhǔn)分析理論及其應(yīng)用m. 西安：西北大學(xué)出版社， 2014.5 s.dolecki ， f.mynard. when is th

11、e isbell topology a group topologyj.topology and its applications，2010（157）：1370-1378.6 馬春暉，史艷維，翟美娟.0，1-拓撲空間中t*分離性的非標(biāo)準(zhǔn)分析方法研究j.華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015（2）：167-170.7 黃秦安.“非標(biāo)準(zhǔn)分析”的邏輯構(gòu)建及其后現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法論意蘊j.自然辯證法研究，2014（6）：95-102.8 vieri benci， mauro di nasso. alpha-theory： an elementary axiomatics for nonstandard analysisj. expositiones mathematicae，2003（4）： 355-