三角形的中位線知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、三角形的中位線【例1】 已知：AD是厶ABC的中線， AE是 ABD的中線，且 AB二BD，求證：AC=2AE .1【例2】 在厶ABC中，CD、AE分別為AB、BC邊上的高，/ B =60，求證：DE AC .2【例3】 如右下圖，在 ABC中，若.B=2. C , AD_BC , E為BC邊的中點(diǎn).求證： AB = 2DE .DE【例4】 已知四邊形 ABCD的對(duì)角線AC =BD , E、 于 M、N，求證：/ AMN 二/ BNM .F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF分別交AC、BD【例5】 已知：ABCD是凸四邊形，且 AC :：: BD . E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于

2、M ; EF交 BD于N , AC和BD交于G點(diǎn).求證： ZGMN ZGNM .1【例6】 在厶ABC中，/ACB =90 , AC =-BC，以BC為底作等腰直角 厶BCD , E是CD的中點(diǎn)，求證: 2AE _EB 且 AE =BE .D【例7】 如圖，在五邊形 ABCDE中，/ABC ZAED =90，/BAC ZEAD , F為CD的中點(diǎn).求證: BF =EF .【例8】 如圖所示，P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，.PAC =. PBC，過(guò)P作PM_AC于M , PL _ BC于L , D為 AB的中點(diǎn)，求證DM =DL .【例9】 如圖所示，在.SBC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng) CA、CB到

3、點(diǎn)E、F，使DE = DF .過(guò)E、F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn) P，設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為 M、N 求證：(1) DEM 也. FDN ；(2) PAE = PBF .CF【例10】如圖所示，已知AABD和.ACE都是直角三角形， 且.ABD =/ACE =90 ,連接DE ,設(shè)M為DE 的中點(diǎn).(1) 求證 MB 二 MC .(2) 設(shè).BAD = CAE ，固定Rr ABD，讓Rt.lACE移至圖示位置，此時(shí) MB = MC是否成立？請(qǐng) 證明你的結(jié)論.【例11】已知：在 ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形 ABM，和CAN , P是邊BC的中 點(diǎn)求證：PM二

4、PNC【例12】已知，如圖四邊形 ABCD中，AD二BC , E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，AD、EF、BC的延 長(zhǎng)線分別交于 M、N兩點(diǎn).求證：.AME BNE M【例13】已知：在 ABC中，BC AC ,動(dòng)點(diǎn)D繞ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD =BC ,連結(jié)DC .過(guò)AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)圖1BD圖3(1) 如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H ,連結(jié)HE、 HF ,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論 AMFBNE(不需證明).(2) 當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，ZAMF與乙BNE有何數(shù)量

5、關(guān)系？請(qǐng)分別寫出猜想， 并任選一種情況證明.【例 14】如圖，AE_AB , BC _CD，且 AE=AB , BC =CD , F 為 DE 的中點(diǎn)，F(xiàn)M _ AC 證明:1FM AC 2【例15】如左下圖，在梯形 ABCD中，AB II CD , E、 EF =1（AB CD ）.F分別是AC、BD中點(diǎn).求證： EF I AB，且【例16】等腰梯形ABCD中，AB I CD , AC二BD , AC與BD交于點(diǎn)O , . AOB=60 , P、Q、R分別是OA、BC、OD的中點(diǎn)，求證：.滬QR是正三角形.1【例17】AD是.ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交AC于E .求證：AE二丄AC .3D【例18】在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn).四邊形 BCGF和CDHN都是 正方形.AE的中點(diǎn)是M .（1） 如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM =MH , FM _MH ；（2） 將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖 2,求證：CFMH是等腰直角三角形；（3） 將圖2中的CE縮短到圖3的情況，厶FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說(shuō)明理由）A BC(M)D E圖1【例佃】如圖，已知 ABC，線段BE、CF分別平分ZABC、乙ACB、 垂足，求證：GH / BC .AG _ BE , AH _ CF