數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)生思維能力培養(yǎng)

1、數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)生思維能力培養(yǎng)摘要:思維素質(zhì)的高低直接關(guān)系到社會(huì)成員對(duì)事物的洞察、理解與判斷能力。數(shù)學(xué)是思維的 體操，以特殊形式訓(xùn)練人的思維能力。中學(xué)正是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的最佳階段，因此數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò) 程應(yīng)重視運(yùn)用理性思維培養(yǎng)學(xué)牛思維能力，開(kāi)發(fā)學(xué)牛智力。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)，教學(xué)，學(xué)生，思維，創(chuàng)新數(shù)學(xué)文化是現(xiàn)代科技文化的核心，它的形式語(yǔ)言，理性主義觀念，抽象的、邏輯的 思維方式，已成為現(xiàn)代社會(huì)成員必備的素質(zhì)。這種素質(zhì)的高低直接關(guān)系到社會(huì)成員對(duì)事 物的洞察、理解與判斷能力。中學(xué)正是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的最佳階段。在高中數(shù) 學(xué)教學(xué)中，不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí)，更重要的是要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的真諦，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí) 數(shù)

2、學(xué)的興趣，養(yǎng)成探究的習(xí)慣，樹(shù)立創(chuàng)新的意識(shí)。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)要開(kāi)發(fā) 智力，發(fā)展能力，就不能僅僅停留在傳授知識(shí)上，還必須注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。那 么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢?具體做法可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：一、一題多解，開(kāi)闊視野教學(xué)中，通過(guò)一題多解的練習(xí)，可使學(xué)生養(yǎng)成以不同的角度觀察、思考，用不同的 方法和觀點(diǎn)去解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，從而擴(kuò)充思維的領(lǐng)域，增加思維機(jī)遇，學(xué)生不 滿足已有方法而尋找新方法，這有利于溝通知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。在教學(xué)過(guò)程中，用多種方法，從各個(gè)不同的角度和不同的途徑去尋求問(wèn)題的答案，培養(yǎng)學(xué) 生思維的變通性。例 1 求證：tan2x-

3、sin"x= tan2xsin2x.思路1：從左到右證明，化差為積。 2- 14-2 2 sin x 2i止法 1： tan x-sin x=-sin xcos x二 sir?x(-1)cosx 2 1-cos2 x二sin xcosx 2 sin2 a:=sm x cos x_4_ 2 2-tan xsin x.證法 2： tan2x-sin2x=sin2x(sec2xl) =tan2xsin2x證法 3： tanx-sin2x=tan'x(l-cos2x) =tan2xsin2x思路2：從右到左證明，化積為差。證法 4: tan2xsin2x=tan2x (1 -cos&

4、#39;x)二tan2xsin'x.證法 5： tanxsin'x=(sec'xt) sin'x二tan'x-sin'x思路3：將a二b轉(zhuǎn)化為證a-b=0.證法 6： v (tan2x-sinx)-tan2xsin2x=tan:x(l-sin2x) - sir?x-tan xcos x-sin x=si rfx-sirtx 二 0 tan x-sin x=ta.n xsm x.證法 7： t (tan'x-sin'x)-tan'xsin'x=tan:x-sin1:x (l+tan2x)( 2 - 2 2=tan x

5、sin xsec x二 tarfx-tartx 二 0.丄22j22 tan x-sin x=ta.n xsm x.證法 8： t (tan2x-sin"x)-tan'xsin'x二 sin'x (sec2x-l) -tan2xsin2x=sin2xta r?x-ta r?xsir?x二 0.tan2xs i n2x=tan2xs i n2x 思路4：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子。24證法9： 右邊二sir?x嚀二嚀 cos x cos x2乍979 x>4左邊二 sin 兀一sirr 兀cos 兀 _ sin x(l-cos x) _ sin x co

6、s2 xcos2 xcos2 x 4_ 2 - 2.2-2tan x-sin x=tan xsin x.思路5：用逆證法。證法10：由題意可矢口 cos'xho,于是求證式兩邊可同乘以cos'x 得 sin x-sm xcos x=sin x,即 sin2x （l-cos'x） =sin4x, 也就是 sin x=sin4x（*）（ * ）式是恒等式，且以上各步均可逆。i 原式 tan'x-sin'x二tan'xsin'x 成立。思路6：將滬b轉(zhuǎn)化為證 = 1,但轉(zhuǎn)化時(shí)要注意b二0的特殊情況。b證法11： tcos'xho,否則求

7、證式無(wú)意義。若sin2x=0,則tan2x=0,顯然等式成立；2 °tan x-sin x99tan xsin x若sin'xho,則tan2xsin2x0,欲證原等式成立，只須證tan xs1 x = 1即可。而 tan xsirrx； =csc2x-cot2x=l,sin' x tan x i22_j22 tn x-sin x-tan xsin x.然后在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些證法歸納出證明三角恒等式的基本方法和常用技巧。這不僅引導(dǎo)學(xué)生多方法，多視角思考問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成良好的思維品質(zhì)，而且開(kāi)闊了學(xué)生的視野，使學(xué)生的發(fā)散思維和收斂思維能力得到了鍛煉和培養(yǎng)，從而使學(xué)生掌

8、握的知 識(shí)更靈活、牢固。二、一題多變，以點(diǎn)串線“變換”是數(shù)學(xué)中最有用的概念之一?！耙活}多變”是從多角度、多方位對(duì)例題進(jìn) 行變化，引出一系列與本例題相關(guān)的題目，形成多變導(dǎo)向，使知識(shí)進(jìn)一步精化的教學(xué)方 法教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則、定理、公式、題目等從“變換”的思想角度去聯(lián)想、去開(kāi) 拓，不但可以達(dá)到以點(diǎn)串線、舉一反三、牽動(dòng)全面知識(shí)的目的，而且還能將知識(shí)深化， 提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力和“發(fā)散思維”能力。例2用二項(xiàng)式定理證明55+9能被8整除。分析：從命題角度來(lái)看，需要將5555+9分解成8的整數(shù)倍，聯(lián)系到二項(xiàng)式定理，應(yīng) 該考慮55=56-1及9-1+8等關(guān)系。證明：55珥9 = (56-1)珥

9、9二56騎-4556叫+(-1)偽556心+ c 聘56-1+1+8=5655-c555654+- (-l)r c專(zhuān)556+c懿56+8.上式右邊各項(xiàng)均能被8整除。5555+9能被8整除。完成上述證明后，再將此題作如下一些變換，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想。1. 若題設(shè)中其它條件不變，只將55彗9中的指數(shù)n二55改為n=2k-l(ken),情況又 如何？若改指數(shù)n=2k(ken),情況又如何？對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生稍加思考便可證明，前者能被8整除，而后者不能被8整除。2. 再把條件中另一加數(shù)9換成7,這時(shí)候55歸+7能被8整除嗎？而552k+7呢？ (k en)學(xué)生可以立刻得出，55沖+7 (ksn)不能被8整

10、除，而55齢7反而能被8整除了。3. 這時(shí)再將命題變換為，對(duì)于形如55w (ngn)的整數(shù)，a是小于8的自然數(shù)， 這時(shí)候55”+a若被8除，余數(shù)是多少？依據(jù)前面的推證與具體思維，大部分學(xué)生已能進(jìn)一步抽象思維，知道將指數(shù)n分為 偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，于是得出：因?yàn)楫?dāng)n二2k (nen)時(shí)，55叫7被8除的余數(shù)是0,所以在3為小于7的自然數(shù)時(shí)， 55%被8除的余數(shù)是a+l；而當(dāng)n=2k-l (ken)時(shí)，55"+a被8除的余數(shù)是a-1.4. 經(jīng)過(guò)前面的變換和推證，可以引出這樣一個(gè)趣味性的問(wèn)題：今天是星期三，經(jīng)過(guò)55蓉9天后的哪一天是星期幾？學(xué)生容易看出，這是求被7除后的余數(shù)問(wèn)題，因

11、與生活實(shí)際有聯(lián)系，學(xué)生較感性趣, 且有前面的推證不難進(jìn)一步得出余數(shù)是1,答案是星期四。如此借題發(fā)揮、一題多變、以點(diǎn)串線、聯(lián)想開(kāi)拓，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生由此及彼、由表及里的思維方法起到了舉一反三，觸類(lèi)旁通的效果。使學(xué)生的思維變得活躍、發(fā)散，還能將 形似神不似的題目并列在一起比較，求同存異，還能培養(yǎng)學(xué)生條件轉(zhuǎn)換、設(shè)問(wèn)置疑、探 究因果、主動(dòng)參與、積極思考的好習(xí)慣，也能避免學(xué)生盲目做大量的練習(xí)而效果差的現(xiàn) 象，減輕了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)。三、探索未知，猜想結(jié)論解題結(jié)論上的推廣對(duì)研究對(duì)象或問(wèn)題從一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察、分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān) 命題的形式、結(jié)論或方法的猜想叫歸納猜想。在教學(xué)中，讓學(xué)生用自己學(xué)過(guò)的知

12、識(shí)，通 過(guò)多方觀察、縱橫聯(lián)系、積極探索、大膽猜想，去得出可能的結(jié)論。這有助于培養(yǎng)學(xué)生 的探索精神和創(chuàng)造性思維能力，從而獲得超越原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平。已知fi (x)二(1) f2 (x)= ffi(x)二？(2) f：；(x)二 fi fi fi (x)二?(3) 由此能得出什么結(jié)論?解:j1-樸)x71-2x2(3)學(xué)生從(1)、(2)的解答過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想到一般性結(jié)論:=zn)當(dāng)然，對(duì)任意的自然數(shù)n,上式是否成立，還必須用數(shù)學(xué)歸納法證明。對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，往往一下子難以找到直接的解決方法，這時(shí)可以考慮先退一 步，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，先嘗試解決簡(jiǎn)化了的問(wèn)題，然后再通過(guò)分析，利用從簡(jiǎn)單情況得

13、到 的啟發(fā)，推斷猜想出一般復(fù)雜狀態(tài)下的問(wèn)題的解決途徑。四、由特殊到一般，深化提高解題方法上的推廣人們的認(rèn)識(shí)通常是從特殊到一般，因?yàn)榍罢弑群笳呷菀渍J(rèn)識(shí)。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，它們 的特殊、簡(jiǎn)單情形的求解中的關(guān)鍵性步驟，就是求解一般性情形的關(guān)鍵性步驟。在教學(xué) 中，對(duì)一些題進(jìn)行由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般的推廣或延伸，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的深度和 廣度，培養(yǎng)學(xué)生歸納思維的能力。例 4 求證 cos 80° cos 40° cos 20° =8證明： cos 80° cos 40° cos 20°_ cos 80° cos 40° cos

14、20° x 2sin 20°_2 sin 20°_ cos 80° cos 40° sin 40°_2 sin 20°_ cos 80° sin 80°22 sin 20°23 sin 20例5求證然后，請(qǐng)學(xué)生將上面的證明方法證明到下例:sin v (x2nk7i,nen, kez).盡管此題看起來(lái)較為復(fù)雜，但學(xué)生根據(jù)上題的證明思路，很容易得到證明方法。x xx . x特殊化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中有著廣泛的應(yīng)用，它既是人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然的一種思想方 法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要思想方法。在平時(shí)教學(xué)中，有意識(shí)地

15、引導(dǎo)學(xué)生揭示潛在問(wèn)題的 特殊性，用特殊化思想方法去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，猜想、判斷，驗(yàn)證，不僅可使學(xué)生簡(jiǎn)捷、 新穎、獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，還能幫助學(xué)生克服解決問(wèn)題時(shí)的盲目性，隨意性和片面 性。增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性和靈活性。五、由一般到特殊，不落俗套在教學(xué)中，對(duì)一些題目，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析其特殊性，鼓勵(lì)學(xué)生打破常規(guī)，克服 習(xí)慣的束縛，從異向思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力、靈活的思維方式和獨(dú)創(chuàng)求異精 神。例6 設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=3,丄+丄+丄=3求證：abc=la b c分析：此題若由已知條件通過(guò)恒等變形去推結(jié)論，是很復(fù)雜的。但若根據(jù)此題的特殊性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明不等式abcl,且同時(shí)

16、abcwl,這就簡(jiǎn)單多 to證明：.a、b、c是正實(shí)數(shù)，于是3-a+b+c 上 £1 abc 即 !abc w1 ； 同時(shí)3 =丄+丄+丄3彳,即 暢a b c v cibc因此必有也贏二/. abc=l.本例題說(shuō)明了某些問(wèn)題的解決可先將其一般化，而解決一般性問(wèn)題可能比解決特殊 性問(wèn)題更容易。六、綜合分析，深入挖掘例7已知整數(shù)a、b> a-b均非3的倍數(shù)，試證：是9的倍數(shù)。分析：初看此題的條件和結(jié)論似乎不相關(guān)，思維膚淺的學(xué)生往往寫(xiě)出a'+b?的公式以后便無(wú)從下手，分析不出條件里隱含的全部意義，而思維深刻的學(xué)生則會(huì)在“均非”二 字上挖掘，于是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=3n+l時(shí)，必定有

17、b二3m+2；而當(dāng)a=3n+2時(shí)，必定有b=3m+l,5、nez) 否則，a-b將成為3的倍數(shù)。這樣題目的隱含條件一旦剖析清楚，難度就大 大地降低了。證明：tq、b、0-b均非3的倍數(shù)，于是可令a=3n+l,則必有b=3m+2, (m> ngz), 于是有a3+b3 二(3n+l)'+(3m+2)'=(3n+l) + (3m+2)3 (3n+l) (3m+2) (3n+l) + (3n+2)=3 (n+m+1) 3-9 (3n+l) (3m+2) (n+m+1).上式右邊是9的倍數(shù)，.a'+l?是9的倍數(shù)。若令a=3n+2,則b=3m+l, (m、nez),同理可

18、知a"+b"也是9的倍數(shù)。當(dāng)a、b、a-b均非3的倍數(shù)時(shí)，e+f必是9的倍數(shù)。七、數(shù)形結(jié)合，融會(huì)貫通在教學(xué)中，對(duì)有些概念、公式、命題，在正確揭示它們的本質(zhì)屬性，闡明它們的意 義用法之后，再進(jìn)一步對(duì)它們作幾何解釋?zhuān)蛟诮馔昴承┐鷶?shù)題目之后，再引導(dǎo)學(xué)生去 尋找它們的幾何模型，把代數(shù)問(wèn)題通過(guò)幾何直觀描繪出來(lái)。這樣，不僅能使學(xué)生搞清楚 問(wèn)題的來(lái)龍去脈，使所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，而且還能提高學(xué)生變更問(wèn)題形式的能力，培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形、數(shù)形結(jié)合的思維能力。這對(duì)溝通代數(shù)與幾何之間的關(guān)系可起到重要的 作用。如進(jìn)行不等式證明的教學(xué)時(shí)，在用代數(shù)方法分析證明了重要不等式aw2ab（a. b為實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)冃）時(shí)取“二”號(hào)）及其推論：若a、b為正數(shù)，則（當(dāng)且僅 2當(dāng)a二b時(shí)取“二”號(hào)）之后，舉例讓學(xué)生了解其幾何意義。bd,以應(yīng)1為線交圓于d、e例8如圖，在線段/q上取一點(diǎn)令ab=a、 直徑作半圓，圓心為0,過(guò)0、分別引應(yīng)?的垂 wmil小 ab + bc ci a- b點(diǎn)， 貝 iw 0d = - =，2 2be = y/abxbc =佈由平面幾何知識(shí)得odbe, （其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)（）與b重合，即a二b時(shí)成立）。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有