(含詳答)2018年上海春考數(shù)學試卷

1、1 / 7 2018 年上海市普通高等學校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12 題，滿分54 分，第 16 題每題 4 分，第 712 題每題 5 分）1不等式| 1x的解集為_ 2計算：31lim2nnn_ 3設集合| 02axx，|11bxx，則ab_ 4若復數(shù)1zi（i是虛數(shù)單位），則2zz_ 5已知na是等差數(shù)列，若2810aa，則357aaa_ 6已知平面上動點p到兩個定點(1,0)和(1,0)的距離之和等于4，則動點p的軌跡為_ 7如圖，在長方形1111babcacdd中，3ab，4bc，15aa，o是11ac的中點，則三棱錐11aaob的體積為_ 第 12 題圖

2、8某校組隊參加辯論賽，從6 名學生中選出4 人分別擔任一、二、三、四辯若其中學生甲必須參賽且不擔任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為_ 9設ar，若922xx與92axx的二項展開式中的常數(shù)項相等，則a_ 10設mr，若z是關于x的方程2210 xmxm的一個虛根，則|z的取值范圍是 _ 11設0a，函數(shù)()2(1)sin()fxxxax，(0,1)x，若函數(shù)21yx與()yfx2 / 7 的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則a的取值范圍是_ 12如圖，正方形abcd的邊長為20 米，圓o的半徑為1 米，圓心是正方形的中心，點p、q分別在線段ad、cb上，若線段pq與圓o有公共點，則稱點q在點p的 “

3、 盲區(qū) ” 中已知點p以 1 5 米/秒的速度從a出發(fā)向d移動，同時，點q以 1 米 /秒的速度從c出發(fā)向b移動，則在點p從a移動到d的過程中，點q在點p的盲區(qū)中的時長約為 _ 秒（精確到01）二、選擇題（本大題共有4 題，滿分20 分，每題5 分）13下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）（ a）2yx（b）13yx（ c）12yx（d）3yx14如圖，在直三棱柱111aba bcc的棱所在的直線中，與直線1bc異面的直線條數(shù)為（）（ a） 1 （b） 2 （ c） 3 （d） 4 15記ns為數(shù)列na的前n項和 “na是遞增數(shù)列” 是 “ns為遞增數(shù)列” 的（）（ a）充分非必要條件（b）必要非充分

4、條件（ c）充要條件（d）既非充分也非必要條件16已知a、b為平面上的兩個定點，且|2ab該平面上的動線段pq的端點p、q，滿足|5ap，6abap，2aqap， 則動線段pq所形成圖形的面積為（）（ a） 36 （ b） 60 （ c） 81 （ d） 108 三、解答題（本大題共有5 題，滿分 76 分，第 1719 題每題14 分，20 題 16 分，21 題 18 分）17 （本題滿分14 分，第1 小題滿分6 分，第2 小題滿分8 分）已知cosyx3 / 7 （ 1）若3(1)f，且0,，求()3f的值；（ 2）求函數(shù)(2)2( )yfxfx的最小值18（本題滿分14 分，第1 小

5、題滿分6 分，第2 小題滿分8 分）已知ar，雙曲線222:1xya（ 1）若點(2,1)在上，求的焦點坐標；（ 2）若1a，直線1ykx與相交于a、b兩點， 且線段ab中點的橫坐標為1，求實數(shù)k的值19 （本題滿分14 分，第1 小題滿分7 分，第2 小題滿分7 分）利用 “ 平行于圓錐曲線的母線截圓錐面，所得截線是拋物線” 的幾何原理，某快餐店用兩個射燈 （射出的光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標識，如圖1 所示，圖2 是投影出的拋物線的平面圖，圖 3 是一個射燈的直觀圖，在圖 2 與圖 3 中，點o、a、b在拋物線上，oc是拋物線的對稱軸，ocab于c，3ab米，4.5oc米（ 1）求拋

6、物線的焦點到準線的距離；（ 2）在圖3 中，已知oc平行于圓錐的母線sd，ab、de是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大?。ň_到0 01 ） 圖 1 圖 2 圖 3 20 （本題滿分16 分，第1 小題滿分4 分，第2 小題滿分6 分，第3 小題滿分6 分）設0a，函數(shù)1( )12xfxa4 / 7 （ 1）若1a，求()fx的反函數(shù)1( )fx；（ 2）求函數(shù)()( )yfxfx的最大值（用a表示）；（ 3）設( )( )(1)g xfxf x若對任意(,0 x，)()0g xg恒成立，求a的取值范圍21 （本題滿分18 分，第1 小題滿分3 分，第2 小題滿分6 分，第3 小題滿

7、分9 分）若nc是遞增數(shù)列，數(shù)列na滿足：對任意*nn，存在*mn，使得10mnmnacac，則稱na是nc的 “ 分隔數(shù)列” （ 1）設2ncn，1nan，證明：數(shù)列na是nc的 “ 分隔數(shù)列” ；（ 2）設4ncn，ns是nc的前n項和，31nndc，判斷數(shù)列ns是否是數(shù)列nd的分隔數(shù)列，并說明理由；（ 3）設1nncaq，nt是nc的前n項和， 若數(shù)列nt是nc的分隔數(shù)列，求實數(shù)a、q的取值范圍5 / 7 參考答案一、填空題1(,1)(1,)2 3 3(0,1)4 2 5 15 622143xy7 5 8 180 9 4 103(,)3111119(,66提示：1212(1)sin()1

8、2(1)sin()sin()2xxxaxxxaxax711711711,2,2,4,4,666666ax0axa117266a124.4提示：以a為原點建立坐標系，設時刻為t，則40(0,1.5 ),(20, 20),03ptqtt則01.5:200201.5pqxytltt，化簡得(8)8120t xyt點(10,10)o到直線pq 的距離23|(8) 108012 |1(8)8ttt，化簡得23161280tt即8788733t，則88788704.433tt二、選擇題13 a 14 c 15 d 16 b 提示：建系(0,0),(2,0)ab，則(,)p x y的軌跡為線段3,44xy，

9、ap掃過的三角形面積為12，則利用相似三角形可知aq掃過的面積為48 ，因此和為60 三、解答題17 （ 1）12 26； （ 2）326 / 7 18 （ 1）(3,0)； （2）51219 （ 1）14； （ 2）9.5920 （ 1）121( )log(01)xfxxx； （2）2112maxyaa（0 x時取最值）；（3）(0,2提示：1211( )21212232xxxxag xaaaa2,(2(0,1)23xatatat因為-a0，所以當x=0,t=1時，分母取到最小值從而分式值取到最小值，此時2222102a ttata21 （ 1）證明：存在2mn,此時*1,22122nmnn

10、cnancnn證畢（2）不是反例：4n時，m無解；（3）02aq提示：因為1naq為遞增數(shù)列，因此01aq或者001aq當001aq時，*,0nncn，因此321123tttccc因此不存在23mctc，不合題意。當01aq時，1111mnnnmnqctcqqq11111(1)1(1)1(1)(1)nmnnmnnnqqqqqqqqqqqq兩邊同時取對數(shù)得：1111log (1)log (1)qqnnnqmnqqq7 / 7 記1( )log(1),0qxfxqxq則1(1)()nfnmnfn下面分析函數(shù)(1),( )fnfn的取值范圍：顯然1q時，1( )log (1),0qxfxqxq為減函數(shù)，因此()( )(0)ffxf，即log (1)( )1qqf x( )當2q時，log(1)0qq，因此總有0( )(1)1f nfn此時1(1)1 1( )+0nf nn