D函數(shù)的極值與最值學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1D函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值2溫故知新溫故知新1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別2.曲線凹凸的判別曲線凹凸的判別( )0,fxxI ( )yf xI 函函數(shù)數(shù)在在 上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增. .( )0,fxxI ( )yf xI 函函數(shù)數(shù)在在 上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減. .定理定理1：( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在 上上是是凸凸的的. .定理定理2：3.拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)的定義:注：注：拐點(diǎn)是拐點(diǎn)是曲線上曲線上的點(diǎn)的點(diǎn),是一對有序的實(shí)數(shù)是一對有序的實(shí)數(shù).第1頁/共25頁3二、最大值與最小值問題最

2、大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié)函數(shù)的極值與 最大值最小值 第三三章 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例第2頁/共25頁41.定義定義:(1) (2) 極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .問：極值點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)嗎？問：極值點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)嗎？一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法0 x極大值與極小極大值與極小值值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值 .第3頁/共25頁5注意：注意：極值與最值的區(qū)別：極值與最值的區(qū)別：是對整個(gè)區(qū)間而言，是對整個(gè)區(qū)間而言，絕對的、絕對的、極值：極值：最值：最值：是對某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、是對某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、可以不是唯一的可以不是唯一的.極大值不

3、一定都大于極小值極大值不一定都大于極小值.如何求極值？如何求極值？觀察圖形知：觀察圖形知：是整體的、是整體的、唯一的唯一的.是局部的、相對的、是局部的、相對的、最值可在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值可在區(qū)間端點(diǎn)處取得,而極值只能在區(qū)間的而極值只能在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)處取得處取得.oab可導(dǎo)可導(dǎo)函數(shù)函數(shù)極值點(diǎn)處極值點(diǎn)處的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是是零零.第4頁/共25頁62.定理定理1 (極值必要條件極值必要條件)(費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理)取得極值取得極值注意：注意：1)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的的極值點(diǎn)極值點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)如：如：即：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)即：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)2) 在在0 x點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)，點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)，也可能是極值點(diǎn)也可

4、能是極值點(diǎn).如：如：卻卻是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn).也也不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn).3)極值點(diǎn)的極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)：可疑點(diǎn)：(在定義域在定義域內(nèi)內(nèi)部的部的)駐點(diǎn)駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn).即：極值點(diǎn)即：極值點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)問：如何能快速的說明一個(gè)函數(shù)沒有極值？問：如何能快速的說明一個(gè)函數(shù)沒有極值？xyo0,x 在在處處連連續(xù)續(xù)而而不不可可導(dǎo)導(dǎo)oxy3yx yOx3yx 第5頁/共25頁73.定理定理 2 (第一充分條件，極值第一判別法第一充分條件，極值第一判別法)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),( )fx (1) “左正右負(fù)左正右負(fù)” ,(2) “左負(fù)右正左負(fù)右正” ,( )fx (3) “左右符號相同左右符號相同

5、” ,( )fx xx0 x0 x左正右負(fù)極大左正右負(fù)極大左負(fù)右正極小左負(fù)右正極小x0 x左右同號無極值左右同號無極值x0 x說明：說明：1)定理中的條件定理中的條件2)該定理適用于：該定理適用于：0 x是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)的是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)的連續(xù)連續(xù)點(diǎn)點(diǎn).0 x若不連續(xù)若不連續(xù),0( ),fxx 即即使使變變號號也未必是極值點(diǎn)也未必是極值點(diǎn).第6頁/共25頁8解：解：例例1.極大值極大值不可導(dǎo)不可導(dǎo)故故極大值極大值為：為：極小值極小值為：為： 極小值極小值第7頁/共25頁9求極值的步驟求極值的步驟:(1)求求定義區(qū)間，定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)(2)求求駐點(diǎn)駐點(diǎn)以及以及不可導(dǎo)的點(diǎn)不可導(dǎo)的點(diǎn)(在定義區(qū)間在

6、定義區(qū)間內(nèi)內(nèi))；(3)檢查檢查在在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號，駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號，判斷出極值點(diǎn)；判斷出極值點(diǎn)；(最好列表最好列表)(4)求極值求極值.求極值的步驟與求單調(diào)區(qū)間的步驟基本相同求極值的步驟與求單調(diào)區(qū)間的步驟基本相同.第8頁/共25頁10例例2. 求函數(shù)求函數(shù)解解:1)2)令令得得3) 列表判別列表判別xy極極大大值值是極大點(diǎn)，是極大點(diǎn)，其極其極大大值為值為是極小點(diǎn)，是極小點(diǎn)，其極其極小小值為值為無導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)無導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).1第9頁/共25頁114.定理定理3 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 且且證：證：同理可證同理可證(2).由第一判別法知：由第一判

7、別法知：注意：注意：1.第二充分條件適用于第二充分條件適用于:駐點(diǎn)駐點(diǎn)需用第一判別法判別需用第一判別法判別.第10頁/共25頁12例例3. 求函數(shù)求函數(shù)解解:1)2) 令令( )0 ,fx 得得3)計(jì)算計(jì)算是極大點(diǎn)，是極大點(diǎn)， 其極大值為其極大值為是極小點(diǎn)，是極小點(diǎn)， 其極小值為其極小值為第11頁/共25頁13例例4. 求函數(shù)求函數(shù)解解: 1) 求定義域及導(dǎo)數(shù)求定義域及導(dǎo)數(shù)2) 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)3) 判別判別故需用第一判別法判別故需用第一判別法判別.1xy1:(,).D 第12頁/共25頁14試問試問 為何值時(shí)為何值時(shí),極值？極值？解解: 由題意應(yīng)有：由題意應(yīng)有：又又取得極大值為：

8、取得極大值為：例例5.并求此極值并求此極值.它是極大值還是極小值？它是極大值還是極小值？提示：提示：P163T3第13頁/共25頁15觀察：觀察：端點(diǎn)的函數(shù)值；端點(diǎn)的函數(shù)值；駐點(diǎn)的函數(shù)值；駐點(diǎn)的函數(shù)值；不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值.來自于來自于二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法結(jié)論：結(jié)論：(2)12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af bo1x4xab2x6x5x( )yf x 第14頁/共25頁16例例1. 求函數(shù)求函數(shù)解解:1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)2) 求極值可疑點(diǎn)求極值可疑點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)3) 計(jì)算最值可疑點(diǎn)處的函數(shù)值計(jì)算最值可疑點(diǎn)處

9、的函數(shù)值( 1)2f 是最大點(diǎn)，是最大點(diǎn)，其最大值為其最大值為(0)0f 是最小點(diǎn)，是最小點(diǎn)，其最小值為其最小值為( 1)2f 第15頁/共25頁17例例2. 求函數(shù)求函數(shù)解解:故函數(shù)在故函數(shù)在取最小值取最小值 0 ;取最大值取最大值 20.思考：思考：第16頁/共25頁18xoy結(jié)論：結(jié)論：11000( )()( )xyf xx f xyf x 為為的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，會會不不會會是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)？思考：思考：第17頁/共25頁19特別特別: 當(dāng)當(dāng)就是就是最最大大(小小)值值.常用于解決實(shí)際問題常用于解決實(shí)際問題. 求求如果在區(qū)間如果在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極

10、值點(diǎn),則這個(gè)則這個(gè)極極大大(小小)值值 Ixyoab0 xxyabo0 x對于實(shí)際問題對于實(shí)際問題,若在定義區(qū)間內(nèi)有若在定義區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn),且知且知最最大大(小小)值值一定存在一定存在,而且一定在定義區(qū)間而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部內(nèi)部取得取得,則可則可不必討論是否為不必討論是否為極值極值,就可斷定該點(diǎn)就是就可斷定該點(diǎn)就是最大最大(小小)值點(diǎn)值點(diǎn). 第18頁/共25頁20 某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租套公寓要出租,當(dāng)月租金定為當(dāng)月租金定為1000元時(shí)元時(shí),公寓會全部租出去公寓會全部租出去.當(dāng)月租金每增加當(dāng)月租金每增加50元時(shí)元時(shí),就會多一套公寓租不就會多一套公寓租不出去出去

11、,而租出去的公寓每月需花費(fèi)而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)元的維修費(fèi).試問房租定為試問房租定為多少可獲得最大收入？多少可獲得最大收入？解：解： 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月每月總收入為：每月總收入為：租出去的房子有：租出去的房子有：(唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn))故每月每套租金為故每月每套租金為1800元時(shí)收入最高元時(shí)收入最高.三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例實(shí)際問題求最值的步驟實(shí)際問題求最值的步驟:(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù); (2)判斷并求最值判斷并求最值.P164T15 例例3.第19頁/共25頁21T解：解：如圖如圖,0 例例4.第20頁/共25頁22例例5. 求數(shù)列求數(shù)列的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) .證證

12、:求導(dǎo)得求導(dǎo)得列表判別列表判別:x( )fx ( )f x 0因此在因此在處處也取也取最最大值大值 .又因又因內(nèi)只有唯一的內(nèi)只有唯一的極極大點(diǎn)大點(diǎn)P183T14第21頁/共25頁23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn)極值可疑點(diǎn) :使一階導(dǎo)數(shù)為使一階導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)或不存在的點(diǎn)x.(2) 第一充分條件第一充分條件:(3) 第二充分條件第二充分條件:0()f x為為極極大大值值；0()f x為為極極小小值值. .第22頁/共25頁242. 連續(xù)函數(shù)的最值連續(xù)函數(shù)的最值( ) , f xa b求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上最最值值的的方方法法步步驟驟：(2)12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b特別特別: 當(dāng)當(dāng) 求求( )( , )lim( ), lim( )xaxbf xa bf xf x 在在內(nèi)內(nèi)的的最最值值時(shí)時(shí), ,把把參參與與比比較較；就是就是最最大大(小小)值值.如果在區(qū)間如果在區(qū)間 內(nèi)