數(shù)字圖像的傅立葉變換課程設(shè)計(jì)

1、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟 數(shù)字圖像處理課程論文學(xué)生姓名： 曾 立 文 學(xué) 號(hào)： 20104265 學(xué) 院： 理學(xué)院 專業(yè)年級(jí)：2010級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)1班 題 目： 數(shù)字圖像的傅立葉變換 指導(dǎo)老師： 龔志偉 2013年12月摘 要數(shù)字圖像處理是用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像信息進(jìn)行處理的一門技術(shù)，使利用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行各種處理的技術(shù)和方法。傅立葉變換在數(shù)字圖像處理中廣泛用于頻譜分析，傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等地作用（效應(yīng)）。傅立葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時(shí)空域和頻率域來回切換圖像，對(duì)圖

2、像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語(yǔ)言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。關(guān)鍵字：傅立葉變換 逆變換 空域 頻域AbstractDigital image processing is to use computer to deal with image information of a technology, make use of computer to various image processing techniques and methods.Fourier transform in digital image proces

3、sing is widely used in spectral analysis, Fourier transform is a powerful tool of linear system analysis, it enables us to quantitatively analyze digital systems, such as sampling points, electronic amplifier, convolution filter, noise, according to some places such as function (effect). Fourier tra

4、nsform (FT) is the basis of digital image processing technology, through the switch back and forth in time-space domain and frequency domain image and information of image feature extraction and analysis, simplifies the computing workload, and called the second language of the description image info

5、rmation, are widely used in the image transformation, image coding and compression, image segmentation, image reconstruction, etc.Key words: Fourier transform reverse transformation area space frequency space目錄1 課程設(shè)計(jì)目的-42 課程設(shè)計(jì)要求-43 設(shè)計(jì)思路-43.1 相關(guān)知識(shí)原理-43.2 應(yīng)用軟件Matlab簡(jiǎn)介-84 設(shè)計(jì)步驟-95 程序代碼-96 運(yùn)行結(jié)果-107 結(jié)果分析-

6、138 參考文獻(xiàn)-14數(shù)字圖像的傅立葉變換1 課程設(shè)計(jì)目的（1）了解圖像變換的意義和手段（2）熟悉傅立葉變換的基本性質(zhì)（3）熱練掌握FFT的方法反應(yīng)用（4）通過本實(shí)驗(yàn)掌握利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的傅立葉變換2 課程設(shè)計(jì)要求（1）熟悉并掌握傅立葉變換（2）了解傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用（3）通過實(shí)驗(yàn)了解二維頻譜的分布特點(diǎn)（4）用MATLAB實(shí)現(xiàn)傅立葉變換仿真3 設(shè)計(jì)思路3.1 相關(guān)知識(shí)原理3.1.1應(yīng)用傅立葉變換進(jìn)行數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理（digital image processing）是用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像信息進(jìn)行處理的一門技術(shù)，使利用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行各種處理的技術(shù)和方法。 

7、 20世紀(jì)20年代，圖像處理首次得到應(yīng)用。20世紀(jì)60年代中期，隨電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展得到普遍應(yīng)用。60年代末，圖像處理技術(shù)不斷完善，逐漸成為一個(gè)新興的學(xué)科。利用數(shù)字圖像處理主要是為了修改圖形，改善圖像質(zhì)量，或是從圖像中提起有效信息，還有利用數(shù)字圖像處理可以對(duì)圖像進(jìn)行體積壓縮，便于傳輸和保存。數(shù)字圖像處理主要研究以下內(nèi)容：傅立葉變換、小波變換等各種圖像變換；對(duì)圖像進(jìn)行編碼和壓縮；采用各種方法對(duì)圖像進(jìn)行復(fù)原和增強(qiáng)；對(duì)圖像進(jìn)行分割、描述和識(shí)別等。隨著技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字圖像處理主要應(yīng)用于通訊技術(shù)、宇宙探索遙感技術(shù)和生物工程等領(lǐng)域。傅立葉變換在數(shù)字圖像處理中廣泛用于頻譜分析，傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有

8、力工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等地作用（效應(yīng)）。傅立葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時(shí)空域和頻率域來回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語(yǔ)言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。因此，對(duì)涉及數(shù)字圖像處理的工作者，深入研究和掌握傅立葉變換及其擴(kuò)展形式的特性，是很有價(jià)值得。3.1.2 關(guān)于傅立葉（Fourier）變換在信號(hào)處理中，傅立葉變換可以將時(shí)域信號(hào)變到頻域中進(jìn)行處理，因此傅立葉變換在信號(hào)處理中有著特殊重要的地位。傅立葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)

9、函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。傅立葉變換屬于諧波分析。傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取; 卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段; 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為

10、快速傅立葉變換算法(FFT).3.1.3傅立葉（Fourier）變換基本性質(zhì)a.線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅立葉變換等于各自變換之和。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)f left ( xright )和g left(x right)的傅立葉變換mathcalf和mathcalg都存在， 和 為任意常系數(shù)，則mathcalalpha f+beta g=alpha mathcalf+betamathcalg；傅立葉變換算符mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符； b.頻移性質(zhì)若函數(shù)f left( xright )存在傅立葉變換，則對(duì)任意實(shí)數(shù) 0，函數(shù)f(x) ei omega_ x也存在傅立葉變換，且有mathcalf

11、(x)ei omega_ x=F(omega + omega _0 ) 。式中花體mathcal是傅立葉變換的作用算子，平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e 為自然對(duì)數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位sqrt； c.微分關(guān)系若函數(shù)f left( xright )當(dāng)|x|rightarrowinfty時(shí)的極限為0，而其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的傅立葉變換存在，則有mathcalf'(x)=-i omega mathcalf(x)，即導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換等于原函數(shù)的傅立葉變換乘以因子-i 。更一般地，若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f(k-1)(pminfty)=0,m

12、athcalf(k)(x)存在，則mathcalf(k)(x)=(-i omega) mathcalf ，即 k 階導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換等于原函數(shù)的傅立葉變換乘以因子( i)k。 d.卷積特性若函數(shù)f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上絕對(duì)可積，則卷積函數(shù)f*g=int_-infty+infty f(x-xi)g(xi)dxi的傅立葉變換存在，且mathcalf*g=mathcalfcdotmathcalg 。卷積性質(zhì)的 逆形式為mathcalF(omega)G(omega)= mathcalF(omega) *mathcal G(o

13、mega) ，即兩個(gè)函數(shù)乘積的傅立葉逆變換等于它們各自的傅立葉逆變換的卷積。3.1.4傅立葉變換的不同變種a.連續(xù)傅立葉變換一般情況下,若“傅立葉變換”一詞的前面未加任何限定語(yǔ)，則指的是“連續(xù)傅立葉變換”。“連續(xù)傅立葉變換”將平方可積的函數(shù)f(t) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。f(t)=mathcalF(omega)=fracsqrt2pi intlimits_-inftyinfty F(omega) eiomega t,domega. 上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅立葉變換的逆變換，即將時(shí)間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F()的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F()表示為時(shí)間域的

14、函數(shù)f(t)的積分形式。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù),而稱函數(shù)F()為傅立葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)(transform pair)。一種對(duì)連續(xù)傅立葉變換的推廣稱為分?jǐn)?shù)傅立葉變換（Fractional Fourier Transform）。當(dāng)f(t)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))時(shí),其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時(shí)的變換為余弦轉(zhuǎn)換(cosine transform) 或 正弦轉(zhuǎn)換(sine transform).另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f(t) 為純實(shí)函數(shù)時(shí),F() = F()*成立. b.傅立葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅立葉變換其實(shí)是傅立葉級(jí)數(shù)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式

15、的求和算子而已。對(duì)于周期函數(shù)，其傅立葉級(jí)數(shù)是存在的：f(x) = sum_n=-inftyinfty F_n ,e , 其中Fn 為復(fù)振幅。對(duì)于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)可以寫成：f(x) = fraca_0 + sum_n=1inf tylefta _ncos(nx)+b_nsin(nx)right,其中an和bn是實(shí)頻率分量的振幅。 c.離散時(shí)間傅立葉變換離散傅立葉變換是離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）的特例（有時(shí)作為后者的近似）。DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅立葉級(jí)數(shù)的逆。 d.離散傅立葉變換為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅立葉變換，必須

16、將函數(shù)xn 定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下, 使用離散傅立葉變換，將函數(shù) xn 表示為下面的求和形式：x_n = frac1 sum_k=0 X_k eifrac2pi kn qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅立葉振幅。直接使用這個(gè)公式計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為mathcal(n2)，而快速傅立葉變換（FFT）可以將復(fù)雜度改進(jìn)為mathcal(n log n)。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅立葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅立葉變換。

17、這一問題屬于調(diào)和分析的范疇。在調(diào)和分析中, 一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的對(duì)偶群(dual group)。此外，將傅立葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅立葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見龐特里雅金對(duì)偶性（英文版）中的介紹。e.時(shí)頻分析變換小波變換，chirplet轉(zhuǎn)換和分?jǐn)?shù)傅立葉轉(zhuǎn)換試圖得到時(shí)間信號(hào)的頻率信息。同時(shí)解析頻率和時(shí)間的能力在數(shù)學(xué)上受不確定性原理的限制。傅立葉變換是一種函數(shù)的正交變換，如果將信號(hào)以函數(shù)來描述，正交變換的含義就是將一個(gè)函數(shù)分解成一組正交函數(shù)的線性組合。傅立葉正、逆變換的計(jì)算公式分別為：逆變換：顯然，對(duì)一個(gè)非周期信號(hào)，其頻譜為連續(xù)譜。對(duì)于二維信號(hào)，二維Four

18、ier變換定義為：逆變換：在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中，f(x,y)可以用來表示一幅圖像，而F(u,v)就表示該圖像的頻譜。二維離散傅立葉變換為：逆變換：快速傅立葉變換（FFT）要達(dá)到的目的是，將前面所給出的傅立葉變換的計(jì)算公式，通過一定的整理之后，找到一個(gè)可以將復(fù)雜的連加運(yùn)算轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的兩個(gè)數(shù)相加運(yùn)算的重復(fù)的方法，已減小傅立葉變換的計(jì)算時(shí)間代價(jià)。經(jīng)過傅立葉變換之后，可以獲得原圖像信號(hào)的頻域分布情況。由于圖像中不同特性的像素具有不同的頻域特性，因此，可以在頻域上設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器，以達(dá)到濾除某些信息，或者保留某些信息的目的。另外，因?yàn)楦盗⑷~變換后，時(shí)域與頻域形成了對(duì)偶運(yùn)算關(guān)系，因此通過傅立葉變換也可以達(dá)

19、到某些運(yùn)算的簡(jiǎn)化目的。 3.2.應(yīng)用軟件MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB Compiler是一種編譯工具，它能夠?qū)⒛切├肕ATLAB提供的編程語(yǔ)言M語(yǔ)言編寫的函數(shù)文件編譯生成標(biāo)準(zhǔn)的C/C+語(yǔ)言源文件，而生成的標(biāo)準(zhǔn)C/C+源代碼可以被任何一種C/C+編譯器編譯生成函數(shù)庫(kù)或者可執(zhí)行文件，這樣就可以擴(kuò)展MATLAB功能，使MATLAB能夠同其他高級(jí)編程語(yǔ)言(例如C/C+語(yǔ)言)進(jìn)行混合應(yīng)用，取長(zhǎng)補(bǔ)短，以提高程序的運(yùn)行效率，豐富程序開發(fā)的手段。  MATLAB除了能夠和C/C+語(yǔ)言集成開發(fā)以外，目前的MATLAB還提供了和Java語(yǔ)言接口的能力，并且它還支持COM標(biāo)準(zhǔn)，能夠和任何一種支

20、持COM標(biāo)準(zhǔn)的軟件協(xié)同工作。另外，在Release 13中，包含了MATLAB Compiler的擴(kuò)展產(chǎn)品MATLAB COM Builder和Excel Builder，分別用來將MATLAB的函數(shù)文件打包成COM組件或者Excel插件，將MATLAB應(yīng)用程序算法集成到相應(yīng)的開發(fā)工具或者應(yīng)用軟件中。MATLAB的主要特點(diǎn)：（1）語(yǔ)言簡(jiǎn)潔緊湊，使用方便靈活，庫(kù)函數(shù)極其豐富。（2）運(yùn)算符豐富。由于MATLAB是用C語(yǔ)言編寫的，MATLAB提供了和C語(yǔ)言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用MATLAB的運(yùn)算符將使程序變得極為簡(jiǎn)短。（3）MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語(yǔ)句（如for循環(huán)，while循環(huán)，br

21、eak語(yǔ)句和if語(yǔ)句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴＃?）程序限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對(duì)矩陣預(yù)定義就可使用。（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。（6）MATLAB的圖形功能強(qiáng)大。在FORTRAN和C語(yǔ)言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡(jiǎn)單。MATLAB還具有較強(qiáng)的編輯圖形界面的能力。（7）MATLAB的缺點(diǎn)是，它和其他高級(jí)程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所以速度較慢。（8）功能強(qiáng)大的工具箱是MATLAB的另一特色。（9

22、）源程序的開放性。開放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點(diǎn)。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過對(duì)源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。4 設(shè)計(jì)步驟（1）打開計(jì)算機(jī)，安裝和啟動(dòng)MATLAB程序；程序組中“work”文件夾中應(yīng)有待處理的圖像文件（2）利用MatLab工具箱中的函數(shù)編制FFT頻譜顯示的函數(shù)（3）調(diào)入、顯示獲得的圖像，圖像存儲(chǔ)格式應(yīng)為“.tif”（4）對(duì)該程序進(jìn)行編譯，檢查錯(cuò)誤并糾正（5）運(yùn)行，并顯示結(jié)果，比較差異5 程序代碼i=imread('cameraman.tif'); %讀入原圖像文件figure(

23、1);%設(shè)定窗口imshow(i);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('原圖像')%圖像命名j=fft2(i);%二維離散傅立葉變換k=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心l=log(abs(k); %數(shù)字圖像的對(duì)數(shù)變換figure(2);%設(shè)定窗口imshow(l,);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('經(jīng)過二維快速傅立葉變換后的圖像')%圖像命名n=ifft2(j)/255; %逆二維快速傅立葉變換figure(3);%設(shè)定窗口imshow(n); %顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title('經(jīng)過二維快速傅立葉逆變換后的圖像')%圖像命名m=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心RR=real(m); %取傅立葉變換的實(shí)部II=imag(m); %取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR.2+II.2);%計(jì)算頻譜幅值A(chǔ)=(A-min(min(A)/(max(max(A)-min(min(A)*225;%歸一化figure(4); %設(shè)定窗口imshow(A);