2018版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學案蘇教版選修1-1

1、第二章圓錐曲線與方程i .求動點軌跡. . 2 2 2 2 .例 1 一動圓與兩圓：x+y= 1 和x+y- 6x+ 5 = 0 都外切，則動圓圓心的軌跡為解析x2+y2= 1 是圓心為原點，半徑為 1 的圓，x2+y2-6x+ 5 = 0 化為標準方程為(x 3) +y2= 4，是圓心為A(3,0)，半徑為 2 的圓.設所求動圓圓心為P,動圓半徑為r，如圖，則雙曲線的一支.答案雙曲線的一支2 .解三角形2 2x y已知橢圓-+2= 1(ab0)的離心率等于a b端點的任意一點，則在ABC中,Sin A+ 丫B的值等于sin C-解析在厶ABC中，由正弦定理得Sin A+SinB=CBCA因為

2、點C在橢圓上，所以由橢圓sinCAB宀、八十十,、,sinA+ sinB2a1疋乂知CAF CB=2a,而AB=2c,所以i=2= _ = 3.sinC2c e答案 33 .求離心率2技巧點撥4i 圓錐曲線定義的妙用PO= r+1,PA= r+ 2?PAPO=10,b0)的左、右焦點分別為a b且PF= 4PE,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析由雙曲線的定義有PF-PF= 2a.又PF= 4PF2, PF= 3a,P皆 |a.在厶PFF2中，應有PF+PHF1F2,105即亍a2c,.ew3，5又e1,.離心率e的取值范圍是(1 , 3-3“亠5答案(1 , 3】4 .求最值例 5 線段

3、AB=4,PM PB=6,M是AB的中點，當P點在同小值是_R、F2，點P在雙曲線的右支上,平面內(nèi)運動由橢圓可知AF+AF= 4,4解析 由于PAPB=64=AB,故由橢圓定義知P點的軌跡是以M為原點，A B為焦點的橢圓，且a= 3,c= 2 ,.b=、.莊一 c? =“ /5.于是PM的長度的最小值是b= 5. 答案 .52xo例 6 已知F是雙曲線-y2= 1 的右焦點，P是雙曲線右支上一動點，定點M4,2)，求PM+PF的最小值.由雙曲線的定義知,PFPF= 2a= 2 3,所以PF=PF 2 3,所以PW PF=PW PF 2 3 ,要使PW PF取得最小值，只需PW PF取得最小值,

4、由圖可知，當P、F、M三點共線時，PW PF最小,此時MF= 2 10,故PW PF的最小值為 2 10 2 3.例 1 過拋物線y2= 2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交，兩交點為A(xi,yi) ,B(x2,y2)，證明:(1)ABX1+X2+p；通徑長為 2p;2P2(3)X1X2= 4,yy2=p;2p若直線AB的傾斜角為B,則AB-匸;sinB(5) 以AB為直徑的圓與準線相切；11 2(6)十 _=.AF BF p證明(1)由定義可得解設雙曲線的左焦點為重點深化q2 拋物線的焦點弦性質(zhì)F5ppAB= AFFB= Xi+ 2 +X2+空=Xi+X2+p.(2)過焦點F(2，0

5、)與X軸垂直的直線被拋物線截得的弦長為pp當AB丄x軸時，易得A(2,p),B(2,-p),當AB的斜率存在時，設為k(kz0),則直線AB的方程為y=k（Xp）,代入拋物線方程y2= 2px,消元得y2= 2p（k+ 2），即y2警p2=0,22p yiy2=p,XiX2=.2p2綜合知，X1X2= ,yiy2= 2p.當Q= 90時，k不存在，易得ApPA(2，P)，B(2，P)，2p2pAB=2p= 2= .sin 90 sinQ當Q工 90時，k= tanQ, 直線AB方程為y= tanQ (Xp),聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系，得如圖,2p.2 yiy2=p,X1X2=AB= p+X

6、1+X2=2PT2sinQ6故以AB為直徑的圓與準線相切.(6) AF=xi+ 2,BF=X2+ 2,111 1AF+BF=+px1+ 2x2+ 2xi+X2+pX1+pX2+pX1+X2+p2ppX1X2+ 2X1+X2+ X1+X2+p=-22ppp4 + 4 + 2X1+X2X1+X2+p2p=p2X1+X2+p2例 2 過拋物線y= 2px(p0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于MMAA+BB2AF+BF_AB2=2，A(X1,y1)，B(X2，y2).7代入y2= 2px，得y2 2pmy- p2= 0.2設A(X1,y,B(X2,y2)，則y1y2=p.由y=Fx，x=-2 聯(lián)立，

7、得C-2,-|X)，證明:(1)若AO交準線于C,則直線CB平行于拋物線的對稱軸;過B作BC準線I，垂點為證明(1)設直線AB的方程為8pyiyC2XTpyiXL2p2py1yiy2y1y2,二BC/ x軸.(2)設直線AB的方程為x=my+2,代入y2= 2px，得y2 2pmp2= 0.2設A(xi,yi) ,B(x2,y2)，則yiy2=p.2PPPBC/x 軸，q ,y2)，即 q ,),22yikoc=2pc2.yi2pyi1yi=x = =koA,p yixiyixi 2 OC/OA且公共點為Q直線AC過點O例 3 設F為拋物線y2= 4x的焦點，A,B,C為該拋物線上三點，若FA

8、+FB+R0,+丨FB+丨FC=_.解析 設A(xi,yi),B(X2,y2),C(xs, yj，又F(i,0),-A -A -A,由FA+FB+FC=0,知(Xi i) +(X2 i) +(X3 i) = 0, 即Xi+X2+X3= 3,|FA+1FB| +1FC=Xi+X2+X3+|p=6.答案 6技巧點撥3 巧解直線和橢圓位置關(guān)系問題一一“設而不求”法的應用在直線和橢圓位置關(guān)系問題中，設而不求、整體代換是常用的運算技巧，在解題中要注意運用.當直線和橢圓相交時要切記 0 是求參數(shù)范圍的前提條件，不要因忘記造成不必要的失分.2 2Xyn例 已知橢圓方程為 g+ ”= 1(ab0)，過點Aa,

9、0) ,B(0 ,b)的直線的傾斜角為 到該直線的距離為今.(1)求橢圓的方程；原點910(2)斜率大于零的直線過D( 1,0)與橢圓分別交于點E,F,若 42F,求直線EF的方程；對于D( 1,0)，是否存在實數(shù)k，使得直線y=kx+ 2 分別交橢圓于點P,Q且DP= DQ若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由.思路點撥解由 a33，2ab=2x_23xa2+b2，得a=3, b= 1，所以橢圓的方程是氣+y2= 1.2X2設EF：x=my-1(m0)，代入 3 +y= 1,/口22得(m+ 3)y 2my-2= 0.設E(X1,y1) ,F(X2,y2).-由ED=2DF,得y1= 2y

10、2,.丄2m2 2由yi+y2=y2=帚3,yiy2=2y2=m3，+2m21得(-m+3)=， m=1,m= 1(舍去)，直線EF的方程為x=y 1,即xy+ 1= 0.記P(X1，屮),QX2,y2)2Xo將y=kx+ 2 代入+y= 1,322得(3k+ 1)x+ 12kx+ 9 = 0, (*)X1,X2是此方程的兩個相異實根.設PQ的中點為M貝UX1+X26k211XM=2=3k+7,yM=kXM+2=由DP= DQ得DML PQ1221 3k 4k + 1 = 0,得 k = 1 或 k = 3.31一 一但k= 1,k= 3 均不能使方程（*）有兩相異實根, 3滿足條件的k不存在

11、.1.定點、定值問題對于解析幾何中的定點、定值問題，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解 決問題的突破口.例 1 已知橢圓的中心為坐標原點 O,焦點在X軸上，斜率為 1 且過橢圓右焦點的直線交橢圓于 A,B兩點，OAFOBfa= （3 , 1）共線.設M為橢圓上任意一點， 且OMk入OAv OB（入， 卩 R），求證：入？+卩2為定值.證明/M是橢圓上任意一點，若M與A重合，則OM= OA此時入=1,= 0,入2+12=

12、1,現(xiàn)在需要證明 入2+12為定值 1.2 2Xy設橢圓方程為 孑+ = 1 （ab0） ,A（X1,y1）,B(X2,y2) ,AB的中點為N(XO,yo),2X1 +a2*=12bX1+X2_2ay1+y2 I kDMI=yMXM+13k2+16k3k2+1 +11k，方法點撥4 解析幾何中的定值與最值問題13一得X1X2X1+X2y1y22+ay1+y2b2=0,y1yX1X2b2X0a2y0,又kAB=y1yX1X2=1,1y= Xo,/ON/ a,.-=ba-a2= 3b2,橢圓方程為x2+ 3y2= 3b2.又直線方程為y=xc,y=xc,i 22.2x+ 3y= 3b, 得 4x

13、2 6cx+ 3c2 3b2= 0.3Xl+X2=尹2 23c 3bXlX2=4又設Mx,y)，則由OM=入6A吐OBX=入Xl+ 卩X2, 得匚y=入yi+ 卩y2,代入橢圓方程整理得入2(X2+ 3y2) + 卩2(x2+ 3y2) + 2 入卩(X1X2+ 3yiy2)= 3b2.f2小2、2222又T xi+ 3yi= 3b,x+ 3y2= 3b,2X1X2+ 3yiy2= 4x1X2 3c(xi+X2) + 3c入+卩=1,故入+卩為定值.2 2X y例 2 已知橢圓 4 + 2 = 1 上的兩個動點P,Q設F(Xi,yi),QX2,y2)，且Xi+X2= 2.(1)求證：線段PQ的

14、垂直平分線經(jīng)過一個定點A;設點A關(guān)于原點O的對稱點是B,求PB的最小值及相應的P點坐標.X2+ 2y2= 4 ,當XiMX2時，由彳222+ 2y2= 4,yiy21xi+X2_ XiX22yi+y設線段PQ的中點為N(1 ,n),.kP= g =-,XiX22n直線ON的方向向量為ON= 1,聯(lián)立方程得328c(1)證明T P xi,yi) ,QX2,y2)，且xi+X2= 2.15線段PQ的垂直平分線方程為yn=2n(x 1),1(2x 1)ny= 0,該直線恒過一個定點尺，)；1當xi=X2時，線段PQ的中垂線也過定點A(2, ) 1綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點A(2, ) 解 由

15、于點B與點A關(guān)于原點O對稱，故點B 2, ) 2WXi2,2WX22,- Xi= 2 X2 0,2,二 122127 9PB=(X1+ 2)+屮=2(X1+1)+彳4，3當點P的坐標為( , 2)時，PB.in= .2 最值問題解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙； 二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即 根據(jù)條件列出所求的目標函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例 3 已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等

16、于 1.(1) 求動點P的軌跡C的方程；(2) 過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線11,12,設11與軌跡C相交于點A,B,丨2與軌跡C相交于點D, E,求AD-諭最小值.解(1)設動點P的坐標為(x,y),由題意有甘x 12+y |x| = 1.化簡得y2= 2x+ 2|x|.2當x0 時，y= 4x;當x)和y= (x8+4X2k2-：2= 16.重點深化q5 圓錐曲線中存在探索型問題171 常數(shù)存在型問題2 2例 1 直線y=ax+ 1 與雙曲線 3x-y= 1 相交于 A,B兩點，是否存在這樣的實數(shù)a,使A,B關(guān)于直線y= 2x對稱？請說明理由.分析 先假設實數(shù)a存在，然后根據(jù)推理或

17、計算求出滿足題意的結(jié)果，或得到與假設相矛盾 的結(jié)果，從而否定假設，得出某數(shù)學對象不存在的結(jié)論.解 設存在實數(shù)a,使A B關(guān)于直線l:y= 2x對稱，并設A(xi,yi) ,B(X2,y2)，貝UAB的中點坐標為iX1；x?,y1；y.依題設有2=2 2，即yi+y2= 2(xi+X2).又A,B在直線y=ax+ 1 上，二yi=axi+ 1,y2=ax2+ 1, yi+y2=a(xi+X2) + 2.由，得 2(xi+X2) =a(xi+X2) + 2,即(2 a)(xi+X2) = 2,y= ax+1,2 2聯(lián)乂 v22得(3 a)x 2ax 2= 0,3xy= 1,a _-X1+ X2=2

18、.3 a把代入，得(2 a) 筆=2,解得a= 經(jīng)檢驗符合題意，33kAB= 2，而ki= 2,.kAB ki=2= 3 工一 1.故不存在滿足題意的實數(shù)a.2 .點存在型問題例 2 在平面直角坐標系中， 已知圓心在第二象限，半徑為 2 2 的圓與直線y=x相切于原點2 2O橢圓篤+y= 1 與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.a9(1) 求圓C的方程；(2) 試探究圓C上是否存在異于原點的點Q使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若 存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.分析 假設滿足條件的點Q存在，根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì)，求出Q的坐標，則點Q存在，若求不出Q的坐標，則點Q

19、就不存在.解(1)由題意知圓心在y= x上，18設圓心的坐標是(一p,p) (p0),19. . 2 2則圓的方程可設為(X+P) + (yP) = 8,由于Q0,0)在圓上，p2+p2= 8,解得p= 2,圓C的方程為(x+ 2)2+ (y 2)2= 8.2 2x y橢圓孑+ 9 = 1 與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10,由橢圓的定義知， 2a= 10，a=5,橢圓右焦點為F(4,0).假設存在異于原點的點Qm n)，使QF=QFf m22+n22=8,22則有.22且m+n豐0,m4+n= 164m=5,123 .直線存在型問題1例 3 已知橢圓P的中心0在坐標原點，焦點在x軸

20、上，且經(jīng)過點A(0,2 七)，離心率為(1)求橢圓P的方程；是否存在過點E(0 , 4)的直線I交橢圓P于點R T,且滿足OR- OT=若存在，求直 線I的方程；若不存在，請說明理由.2 2x y解(1)設橢圓P的方程為 g+含=1(ab0),.一c1由題意，得b= 2 3 ,e= =T,、a2解得故圓c上存在滿足條件的點Q點Q的坐標為20/OROT=睪二X1X2+yiy2=176.22得(3 + 4k)x 32kx+ 16= 0,由0 得(32k)24(3+4k2)x160,21解得匕.32k16X1+X2=2,X1X2=2,3 + 413 + 4k，2/y1y2= (kX1 4)(kx2

21、4) =k X1X2 4k(X1+X2) + 16,2 2,1616k128k16故X1X2+y1y2=2+22+ 16 =3 + 4k3+ 4k3+ 4k7解得k2= 1,由解得k= 1,直線l的方程為y=X 4.故存在直線I:x+y+ 4= 0 或Xy 4= 0 滿足題意.1.忽視定義中的條件而致誤例 1 平面內(nèi)一點M到兩定點 冋(0, 4)，冃(0,4)的距離之和為 8，則點M的軌跡為 _.錯解 根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡為橢圓.錯因分析_在橢圓的定義中,點M到兩定點F1,冃的距離之和必須大于兩定點的距離, 即MF+MFF1F2,即卩 2a2c.而在本題中MF+MF=F1F2,所以點M

22、的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解 因為點M到兩定點F1,F2的距離之和為F1F2，所以點M的軌跡是線段FF.答案線段2 .忽視標準方程的特征而致誤6 圓錐曲線中的易錯點剖析21例 2 設拋物線y=mX( m 0)的準線與直線y= 1 的距離為 3,求拋物線的標準方程.22錯解 拋物線y=mX( m 0)的準線方程為y= 又與直線y= 1 的距離為 3 的直線為y= 2 或y= 4.故-=2 或- =4.44所以 m= 8 或 m= 16.2 2所以拋物線的標準方程為y= 8x或y= 16x.錯因分析錯解忽視了拋物線標準方程中的系數(shù)，應位于一次項前這個特征，故本題應先化21為x=m的形式，

23、再求解.i正解 方程y=mX( m 0)可化為x2=y,1 1 1其準線方程為y=廠.由題意知廠=2 或廠=4,4m4m4m1 1解得m= 或m=花.則所求拋物線的標準方程為x2= 8y或x2= 16y.3 涉及弦長問題時，忽視判別式 0 這一隱含條件而致誤例 3 正方形ABCD勺A,B兩點在拋物線y=x2上，另兩點C, D在直線y=x 4 上，求正方形的邊長.錯解 /AB與直線y=x 4 平行，設直線AB的方程為y=x+b,A(X1,x1) ,B(X2,x2),三則由*y=X+b,?X2Xb= 0 ,y=x得AB= (1 +k2)(X1+X2)2 4X1X2 = 2(1 + 4b) 即b2

24、8b+ 12 = 0，解得b= 2 或b= 6,三 AB與直線y=x 4 間的距離為d=|b+ 4|二 2(1 + 4b)=23 AB= 3 2 或 AB= 5 2.錯因分析 在考慮直線AB與拋物線相交時，必須有方程x2xb= 0 的判別式 0,以此來限制b的取舍.24正解/AB與直線y=x 4 平行，設直線AB的方程為y=x+b,A(xi,x1) ,B(X2,x2),y= x+b,2則由*2?xxb= 0,y=x/ = 1 + 4b0,.b 4.AB=(1 +k2)(Xi+X2)24XIX2= 2(1 + 4b). AB與直線y=x 4 間的距離為d=2即b 8b+ 12 = 0，解得b=

25、2 或b= 6,b= 2 或b= 6 都滿足 0,.b= 2 或b= 6.AB=3 2 或AB=5 2.1 .方程思想方程思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或解方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決.在本章中， 方程思想的應用最為廣泛.2y+b= 1 (ab0)相交于A B兩點，且a= 2b,若AB=2 .5,求橢圓的方程.y=由2.4b2+消去y并整理，得x2 4x+ 8 2b2= 0.設A(X1,y,B(X2,y2),2由根與系數(shù)的關(guān)系，得X1+X2= 4,X1X2= 8 2b.三三 AB= 2 5 ,:.2(1 + 4b)=Ib+ 4|廠思想方法q7 圓錐曲線中的數(shù)學思想方法已知直線2251 +：Xi+X22- 4X1X2= 2 5,即#