考研高數(shù)精品筆記

1、第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第1節(jié)函數(shù)a) 反函數(shù)和原函數(shù)關(guān)于 y=x 對(duì)稱。b) 只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)才能討論奇偶性。c) 多個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；多個(gè)偶函數(shù)之和為偶函數(shù)。d) 2k 個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)； 2k+1 個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；任意個(gè)偶函數(shù)的乘積還是偶函數(shù)。 (k=0,1,2.)。e)如果 f(x)是周期函數(shù)，周期為T，則 f(ax+b)也是周期函數(shù)，周期為|T/a| 。f) 基本初等函數(shù)包括：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)即上述五大類函數(shù)，以及它們有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合而成的函數(shù)。g) 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。第2節(jié)極限a)左右極限

2、存在且相等極限存在。b)如果函數(shù)在 X0 極限為 A，則可以將函數(shù)改寫為f(X)=A+(x)，其中 lim (x) = 0 。x x0（等價(jià)無(wú)窮?。ヽ)極限存在極限唯一。（極限唯一性）d)lim f (x)A ，且 A>0，則在 x 的鄰域內(nèi)， f(x)>0。（保號(hào)性）x x 0e)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x 存在極限， 則存在該點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域U，在 U 內(nèi) f(x)有界。（有0界性）f) 當(dāng) limf(x)=A ， limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-Blim

3、(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于 0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（極限的四則運(yùn)算）g) 有限個(gè) 無(wú)窮小 之和 仍然是無(wú)窮小。 有限個(gè) 無(wú)窮小 之積 仍然是無(wú)窮小。 無(wú)窮小和 有界量乘積仍然是無(wú)窮小。h) lim f ( x) =lg ( x )i.l=0 ， f(x)=o(g(x).精選文庫(kù)ii. l= ， f(x) 是 g(x) 低階 .iii.0<l< 或 - <l<0 ， l 1，同階 .iv. l=1

4、，等價(jià)無(wú)窮小，記作f(x) g(x).特別的，如果f ( x)lim g ( x) k =l(l 0) ，則稱 f(x)是 g(x) 的 k 階無(wú)窮小。i) 等價(jià)無(wú)窮小代換：x 0 時(shí)， x sinx tanx arcsinx arctanx ex-1 ln(1+x)1-cosx 1 x2= 1-cos x x2221 x -1 1 x = (1 x)-1 x2tanx-x 1 x33x-sinx 1x36特殊的， x 0 時(shí) ax-1 xlnaj) 只有因子才能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小的代換。k) 要注重推廣形式。例如【 x 0 時(shí)， x sinx 】，如果當(dāng) x x0 時(shí)， f(x) 0，那么將原式

5、中 x 換成 f(x) 也成立。l) 求極限的方法：i. 利用函數(shù)的連續(xù)性（極限值等于函數(shù)值）。利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)。ii. 抓頭公式（處理多項(xiàng)式比值的極限）。1. 抓小頭公式。（ x 0）2. 抓大頭公式。（ x）（分子分母同除最高次項(xiàng)）（極限為【最高次項(xiàng)的系數(shù)比】）iii. 兩個(gè)準(zhǔn)則：1. 夾逼準(zhǔn)則2. 單調(diào)有界必有極限-2精選文庫(kù)iv. 兩個(gè)重要極限：1.limsinx=1（利用單位圓和夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行證明）x 0x112.lim (1) xelim (1 x ) x e（利用單調(diào)有界準(zhǔn)則進(jìn)行證明）xxx 0口訣：倒倒抄。（結(jié)合抓頭公式）v.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小的代換1. 有限個(gè)無(wú)

6、窮小之和為無(wú)窮小。 有限個(gè)無(wú)窮小之積為無(wú)窮小。 無(wú)窮小與有界量乘積為無(wú)窮小。2. 12 種等價(jià)無(wú)窮小的代換。vi. 左右極限：求分段函數(shù)分段點(diǎn)的極限值。vii. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。導(dǎo)數(shù)定義：增量比，取極限。構(gòu)造出“增量比”的形式，則極限就是導(dǎo)數(shù)。viii. 定積分的定義求極限。（處理多項(xiàng)求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系數(shù)表達(dá)式：2. 當(dāng) =0 的時(shí)候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式。常用的麥克勞林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mx. 洛必達(dá)法則使用前提：（ 1）分子分母都趨向于 0。（ 2）分子分母的極限都存在。（ 3）分子分母導(dǎo)數(shù)的比值為一個(gè)定值或?yàn)闊o(wú)窮。第

7、一層次第二層次0* ：轉(zhuǎn)換成或 - ：通分化為 （常用換元的方法求解）第三層次-3精選文庫(kù)使用進(jìn)行轉(zhuǎn)化。第 3節(jié) 連續(xù)與間斷a) 連續(xù)某點(diǎn)：極限值 =函數(shù)值函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)開區(qū)間：在該區(qū)間中每個(gè)點(diǎn)都是連續(xù)的，則在開區(qū)間連續(xù)。閉區(qū)間：開區(qū)間連續(xù)切在端點(diǎn)連續(xù)b) 間斷第一類間斷點(diǎn)（左右極限都存在）可去間斷點(diǎn)：左右極限相等跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等第二類間斷點(diǎn)（左右極限至少有一個(gè)不存在）無(wú)窮間斷點(diǎn)：因趨于無(wú)窮而造成的不存在。振蕩間斷點(diǎn)：因振蕩而不存在。c) 初等函數(shù)的連續(xù)性i. 基本初等函數(shù)在相應(yīng)的定義域內(nèi)連續(xù)。ii.區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)做四則運(yùn)算形成的新函數(shù)在I 上仍然是連續(xù)函數(shù)。iii. 連續(xù)函

8、數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。iv. 原函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，反函數(shù)必為連續(xù)且單調(diào)。v. 一切初等函數(shù)在相應(yīng)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。d) 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果 f(x)在 a,b 連續(xù)，則：1. f(x)在 a,b 有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零點(diǎn)定理： f(a)*f(b)<0 ， a、 b 之間必有零點(diǎn)。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第 1節(jié) 導(dǎo)數(shù)與微分1 導(dǎo)數(shù)a) 導(dǎo)數(shù)定義：增量比，取極限。b) 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等導(dǎo)數(shù)存在-4精選文庫(kù)c) 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率。d)導(dǎo)數(shù)的物理意義：對(duì)路程函數(shù)中的t 求導(dǎo)為瞬時(shí)速度.etce) 導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義：邊際成本、邊際收

9、益、邊際利潤(rùn)。f) 函數(shù)的相對(duì)變化率（彈性）：g) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。h) 偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。2 微分微分定義：自變量沿著切線方向的增量。3 求導(dǎo)法則a) 導(dǎo)數(shù)微分表（ 4 組 16 個(gè)）。b) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。c) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。d) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。e) 參數(shù)方程求導(dǎo)：f)隱函數(shù)求導(dǎo)：左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，y 當(dāng)作 x 的函數(shù)處理。g) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法i.冪指函數(shù)：先將等式兩邊同時(shí)化為ln 的真數(shù)，再運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。ii. 連乘函數(shù)：先將等式兩邊同事化為 ln 的真數(shù)，變成連加，再運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。4 高階導(dǎo)數(shù)a) 萊布尼茨公式：b) 反函

10、數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：c) 參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)：-5精選文庫(kù)第 2節(jié) 微分中值定理1 羅爾中值定理?xiàng)l件：（ 1） f(x)在 a,b 連續(xù)。（ 2） f(x)在 (a,b)可導(dǎo)。（ 3） f(a)=f(b) 。結(jié)論：在 a 和 b 之間必有一個(gè)值使得 f ( )=0。幾何意義：在該條件下的函數(shù)，必可在在其區(qū)間內(nèi)找到一點(diǎn)使得切線斜率為0。引申 - 費(fèi)馬引理y=f(x)，若 x0 為 y=f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)=0。2 拉格朗日中值定理?xiàng)l件：（ 1） f(x)在 a,b 連續(xù)。（ 2）f(x) 在(a,b)可導(dǎo)。結(jié)論：在 a 和 b 之間必有一個(gè)值使得 f ( )=。幾何意義： 在該條件下的函數(shù)，

11、 必可在其區(qū)間內(nèi)找到一點(diǎn)使得切線斜率與端點(diǎn)連線斜率相等。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣。證明：使用曲線減去兩端點(diǎn)連線得出一個(gè)函數(shù)，再對(duì)該函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理。使用該定理的信號(hào)：要求證的式子中有一個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值之差。3 柯西中值定理?xiàng)l件：（ 1） f(x)、 g(x)在 a,b 連續(xù)。（ 2）f(x)、 g(x)在 (a,b)可導(dǎo)。且 g(x)0結(jié)論：在 a 和 b 之間必有一個(gè)值使得?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄刀ɡ硗茝V。證明：使用參數(shù)方程， 將 f(x)和 g(x)作為參數(shù)表示。 證明過(guò)程與拉格朗日中值定理相同。使用該定理的信號(hào)：要求證的式子中有兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值之差。4 泰勒中值定理泰勒

12、中值定理即帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。-6精選文庫(kù)拉格朗日中值定理是帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒中值定理的特例。使用該定理的信號(hào)：高階導(dǎo)數(shù)。使用方法： （ 1）確認(rèn) n 的取值，一般根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)選取。 （ 2）確認(rèn) x0 的取值，一般選取題中已知導(dǎo)數(shù)值的點(diǎn)。（ 3）確認(rèn) x 的取值，一般為題中所給已知值的點(diǎn)或端點(diǎn)和極值點(diǎn)。第 3節(jié) 微分學(xué)的應(yīng)用1 單調(diào)性、極值單調(diào)性：f (x)>0的區(qū)間， f(x)單調(diào)增的區(qū)間；f (x)<0的區(qū)間， f(x)單調(diào)減的區(qū)間。極值：極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)沒有充要條件關(guān)系?？蓪?dǎo)函數(shù) 的極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0。（費(fèi)馬引理）駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)）不一定是極

13、值點(diǎn)。第一判定法：若在的鄰域內(nèi)，左右導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是一個(gè)極值點(diǎn)。第二判定法：為駐點(diǎn)，且在處， f(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在。通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判定。2 最值（閉區(qū)間）最值可能出現(xiàn)在（1）極值點(diǎn)（ 2）區(qū)間端點(diǎn)。3凹凸、拐點(diǎn)凹凸：視覺定位：俯視凹函數(shù)：凸函數(shù)：凹函數(shù)： f >0(x) 凸函數(shù)： f (x)<0拐點(diǎn)：可能出現(xiàn)在f =0(x)或 f 不(x)存在的點(diǎn)， 但不一定是 。4漸近線-7精選文庫(kù)水平漸近線：當(dāng)f(x)趨向于時(shí)，極限存在，則該極限為水平漸近線。鉛直漸近線：當(dāng)f(x)趨向于時(shí)，極限趨向于，則為該函數(shù)的鉛直漸近線。斜漸近線： 當(dāng) f(x)趨向于時(shí)，f(x)-(kx+b)=0

14、 ，則 (kx+b)為該函數(shù)的斜漸近線。其中，k=，b=。5 函數(shù)圖像的描繪利用極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、單調(diào)性、凹凸性、漸近線進(jìn)行描繪。6 曲率弧微分： ds=曲率即：角度在單位弧長(zhǎng)的變化。曲率：K=曲率半徑：=曲率圓：從弧上某點(diǎn)出發(fā)，向凹側(cè)沿法線方向移動(dòng)即得到曲率圓的圓心。第三章一元函數(shù)積分學(xué)第 1節(jié) 不定積分(一) 定義1.F (x)=f(x)，稱F(x)為 f(x)的原函數(shù)。 F(x)+C =f(x)，稱 F(x)+C 為 f(x)的原函數(shù)組。2.為 f(x)的不定積分。(二) 性質(zhì)1.2.-8精選文庫(kù)3.4.(三 ) 基本幾分公式24 個(gè)公式 =13（基本導(dǎo)數(shù)表）+11（常用公式）

15、(四 ) 積分方法1.湊微分法（第一換元法）C有 13 個(gè)常用公式。2.換元法（第二換元法）=F(t)+C=F可導(dǎo)且存在反函數(shù)。（根式換元、三角換元、倒代換）3.分部積分法口訣：反對(duì)冪指三，誰(shuí)先出現(xiàn)誰(shuí)留下。第 2節(jié) 定積分(一 ) 定義：分割，近似，求和，取極限。幾何意義：曲線與x 軸所圍面積的代數(shù)和。(二 ) 性質(zhì)：1.2.3.4.5.6.若 f(x) 0，x a,b ，則-9精選文庫(kù)7. 若 f(x) g(x) ， x a,b ，則8.mf(x) M， x a,b ，則 m(b-a) M(b-a)(三 ) 基本定理1.積分中值定理：f(x)在 a,b 連續(xù)，則在 a,b 中存在一點(diǎn)，使得常

16、把 f(稱為積分平均值。2.變限積分：函數(shù)變上限變下限3.牛頓 -萊布尼茨公式:F (x)=f(x)則第 3節(jié) 反常積分（廣義積分）定積分：（ 1）有限區(qū)間。（2）區(qū)間內(nèi)有界。(一 ) 無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分，若極限存在， 稱廣義積分是收斂的。若極限不存在，稱廣義積分是發(fā)散的。，若極限存在，稱廣義積分是收斂的。若極限不-10精選文庫(kù)存在，稱廣義積分是發(fā)散的。，若兩個(gè)廣義積分極限都存在，稱原廣義積分是收斂的。若至少有一個(gè)廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發(fā)散的。常用公式：當(dāng) P>0 時(shí)收斂，值為。當(dāng) p>1 時(shí)發(fā)散。(二 ) 無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）f(x)在 a 點(diǎn)無(wú)界：，若極限

17、存在，稱積分收斂。若極限不存在，稱積分發(fā)散。f(x)在 b 點(diǎn)無(wú)界：，若極限存在，稱積分收斂。若極限不存在，稱積分發(fā)散。f(x)在 c 點(diǎn)無(wú)界：，若兩個(gè)廣義積分極限都存在，稱原廣義積分是收斂的。若至少有一個(gè)廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發(fā)散的。第 4節(jié) 定積分的應(yīng)用(一 ) 微元法： U1.確定變量x，確定 x 的范圍 a,b 。2.dxDu=f(x)dx3.U=(二 ) 幾何問(wèn)題1.面積：（ 1）直角坐標(biāo)系（ 2）極坐標(biāo)系： S=極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系：,2.體積：（1）截面面積已知的幾何體的體積：V=-11精選文庫(kù)（ 2 ）旋轉(zhuǎn)體的體積：繞x 軸轉(zhuǎn)： V=；繞y 軸轉(zhuǎn)： V=V=3.

18、曲線的弧長(zhǎng)（1）參數(shù)方程：S=dt（2）直角坐標(biāo)系：S=dx（3）極坐標(biāo)系：S=d(三 ) 物理問(wèn)題運(yùn)用微元法三步求解。第四章多元函數(shù)微分學(xué)第 1節(jié) 基本概念（1）多元函數(shù)：二元函數(shù)： z=f(x,y)D 定義域幾何意義：曲面（2）二元函數(shù)的極限：趨向方式有無(wú)數(shù)種， 若不同趨向方式得到的極限不同，則極限不存在 （極限唯一性） 。（ 3） 二元函數(shù)的連續(xù)極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：D 為閉區(qū)域， f(x,y)在 D 上連續(xù)，則：1. f(x,y) 在 D 上有界。2. 存在最大最小值。3. 可應(yīng)用 介值定理 。4. 可應(yīng)用 零點(diǎn)定理。第 2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（ 1

19、） 偏導(dǎo)數(shù)： z=f(x,y)-12精選文庫(kù)對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)：對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)：二階偏導(dǎo)數(shù)：若和連續(xù)，則等于。（ 2） 全微分： z=f(x,y)若=A+B+o(則 z 可微。dz=Adx+Bdy+ o()=+dy（ 3） 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系全微分存在 函數(shù)連續(xù)全微分存在、存在、連續(xù)可微（4）偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算直接計(jì)算：對(duì)不求導(dǎo)的變量當(dāng)作常量處理（二元一元）。多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）1.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)+畫樹狀圖找到求導(dǎo)路徑隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)左右同時(shí)求導(dǎo)多元隱函數(shù)求導(dǎo)公式：=第 3節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用（數(shù)二只要求極值、最值問(wèn)題）（1）二元函數(shù)的極值問(wèn)題（無(wú)條件）

20、-13精選文庫(kù)極值點(diǎn)： 可能是 一階偏導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)。判定極值點(diǎn)：當(dāng)求出某點(diǎn)可能為極值點(diǎn)()，帶入=、=、=。計(jì)算。當(dāng)其小于零：為極小值點(diǎn)為極大值點(diǎn)大于零：不是極值點(diǎn)等于零：無(wú)法判斷（ 2） 條件極值先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，再求各值的偏導(dǎo)數(shù)。（ 3） 閉區(qū)域上的最值1. 先找極值。2. 邊界點(diǎn)（條件極值）。3. 比較，選出最大最小值。第五章重積分第 1節(jié) 二重積分（1）幾何意義： f(x,y)>0，以 D 為底，以 f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。（2）計(jì)算a)直角坐標(biāo)系下：口訣：后積先定限b) 極坐標(biāo)系下：先積 r 后積坐標(biāo)系選擇：極坐標(biāo)系：1. D：圓（環(huán)）、扇（環(huán)）2.f(x,y)：、除此之外一般選擇直角坐標(biāo)系。-14精選文庫(kù)第六章常微分方程第 1節(jié) 基本概念1. 常微分方程含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程。2. 階未知函數(shù)有幾階導(dǎo)，就是幾階的微分方程。3. 解通解：含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與階數(shù)相同。特解：通解中的任意常數(shù)確定。初始條件： y(=，=， ，=4. 線性方程y 和 y