高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：12.6　幾何概型

1、12.6幾何概型典例精析題型一長(zhǎng)度問題【例1】如圖，AOB60°，OA2，OB5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，來源:試求：(1)AOC為鈍角三角形的概率；(2)AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識(shí)知：當(dāng)ADOB時(shí)，OD1；當(dāng)OAAE時(shí)，OE4，BE1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí)，AOC為鈍角三角形.記“AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)0.4，即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí)，AOC為銳角三角形.記“AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)0.6，即AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點(diǎn)撥】我們把每一個(gè)事件理解為從某個(gè)

2、特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓(xùn)練1】點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為.【解析】如圖來源:來源:可設(shè)1，則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是.題型二面積問題【例2】 兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3：00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00

3、時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：00時(shí)他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0x30,0y40.他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生(如下圖)，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式25的數(shù)對(duì)組成，此不等式等價(jià)于x2y2625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積

4、為1 200平方公里，而事件的面積為()××(25)2，于是有P0.41.【點(diǎn)撥】解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實(shí)驗(yàn)為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓(xùn)練2】如圖，以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的機(jī)會(huì)是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2r，則P(A).所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為.題型三體積問題來源:【例3】 在線段0,1上任意投三個(gè)點(diǎn)，設(shè)O至三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)為x、y、z，研究方法表

5、明：x，y，z能構(gòu)成三角形只要點(diǎn)(x，y，z)落在棱長(zhǎng)為1的正方體T的內(nèi)部由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖)，則x，y，z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大？【解析】V(T)1，V(G)133×××13，所以P.由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.【點(diǎn)撥】因?yàn)槿我馔兜娜c(diǎn)x，y，z是隨機(jī)的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關(guān).【變式訓(xùn)練3】已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()A.B

6、.C.D.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率P，選C.總結(jié)提高1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，其測(cè)度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件. 如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)， 其測(cè)度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.來源:2.若試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個(gè)包含無限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域(長(zhǎng)度，面積，體積)，一個(gè)基本事件是區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn).此時(shí)用點(diǎn)數(shù)度量事件A包含的基本事件的多少就毫無意義.“等可能性”可以理解成“對(duì)任意兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)它們的測(cè)度(長(zhǎng)度，面積，體積，)相等時(shí)，事件A對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關(guān)”.3.幾何概型并不限于向平面(或直線、