中考試題“費(fèi)馬點(diǎn)”

1、中考試題“費(fèi)馬點(diǎn)”費(fèi)爾馬，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者之一 費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn) 費(fèi)爾馬的結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò) 120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是 120°的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過(guò) 120°的三角 形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡(jiǎn)單說(shuō)明如何找點(diǎn) P 使它到 ABC 是所謂的費(fèi)爾馬問(wèn)題三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和 PA+PB+PC 最??？這就圖 1解析：如圖 1，把APC 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到C，連接 PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以 PA+PB+PC= PP+

2、 PB+ PC點(diǎn) C可看成是線段 AC 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°而得的定點(diǎn)，BC為定長(zhǎng) ，所以當(dāng) B、P、 P、C 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC 最小這時(shí)BPA=180°-APP=180°-60°=120°，APC=A PC=180°-APP=180°-60°=120°，BPC=360°-BPA-APC=360°-120°-120°=120°因此，當(dāng) ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于 120°時(shí)，所求的點(diǎn) P 對(duì)三角形每邊的張角都是120&#

3、176;，可在 AB、BC 邊上分別作 120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是 P 點(diǎn)；當(dāng)有一 內(nèi)角大于或等于 120°時(shí)，所求的 P 點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問(wèn)題的方法 是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考例 1 （2008 年廣東中考題）已知正方形 ABCD 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) E 到 A、B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小值為2 6，求此正方形的邊長(zhǎng)1圖 2圖 3分析：連接 AC，發(fā)現(xiàn)點(diǎn) E 到 A、B、C 三點(diǎn)的距離之和就是到 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的距離 之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問(wèn)題的變形，只是

4、背景不同解如圖 2，連接 AC，把AEC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到GFC，連接 EF、BG、AG，可知EFC、AGC 都是等邊三角形，則 EF=CE又 FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（圖 4） 點(diǎn) B、點(diǎn) G 為定點(diǎn)（G 為點(diǎn) A 繞 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°所得） 線段 BG 即為點(diǎn) E 到 A、B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí) E、F 兩點(diǎn)都在 BG 上（圖 3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a ，那么BO=CO=2 6a ，GC= 2 a , GO= 2 2a BG=BO+GO =2 6a +2 2a 點(diǎn) E 到 A、B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小

5、值為 2 + 6 2 6a + a = 2 + 6 ，解得 2 2a=2注本題旋轉(zhuǎn)AEB、BEC 也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試?yán)?2 （2009 年北京中考題） 如圖 4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A (-6,0)，B(6,0)，C (0,4 3 )，延長(zhǎng)AC 到點(diǎn) D, 使 CD=12AC,過(guò)點(diǎn) D 作DEAB 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.（1）求 D 點(diǎn)的坐標(biāo)；2（2）作 C 點(diǎn)關(guān)于直線 DE 的對(duì)稱點(diǎn) F,分別連結(jié) DF、EF，若過(guò) B 點(diǎn)的直線四邊形 CDFE 分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；y =kx +b將（3）設(shè) G 為

6、y 軸上一點(diǎn)，點(diǎn) P 從直線y =kx +b與 y 軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿 y 軸到達(dá) G點(diǎn)，再沿 GA 到達(dá) A 點(diǎn)，若 P 點(diǎn)在 y 軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線 GA 上運(yùn)動(dòng)速度的 2 倍， 試確定 G 點(diǎn)的位置，使 P 點(diǎn)按照上述要求到達(dá) A 點(diǎn)所用的時(shí)間最短分析和解：（1）D 點(diǎn)的坐標(biāo)（3， 6 3 ）（過(guò)程略）（2） 直線 BM 的解析式為y =- 3 x +6 3（過(guò)程略）yyFEDEMDCA O B xCA O B x圖 4（3）如何確定點(diǎn) G 的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在設(shè) Q 點(diǎn)為 y 軸上一點(diǎn)，P 在 yMQ AQ軸上運(yùn)動(dòng)的速度為 v，則 P 沿 MQA 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 + ，使

7、 P 點(diǎn)到達(dá) A 點(diǎn)所用的2v v時(shí)間最短，就是12MQAQ 最小，或 MQ2AQ 最小解法 1 BQ=AQ， MQ2AQ 最小就是 MQAQBQ 最小，就是在直線 MO上找點(diǎn) G 使他到 A、B、M 三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問(wèn)題的變 形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換把MQB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到QB，連接 QQ 、MM（圖 5），可知 QQB、MMB 都是等邊三角形，則 QQ=BQ又 MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ點(diǎn) A、M為定點(diǎn)，所以當(dāng) Q、Q兩點(diǎn)在線段 A M上時(shí)，MQAQBQ 最小由條件1可證明 Q點(diǎn)總在 A

8、M上，所以 A M與 OM 的交點(diǎn)就是所要的 G 點(diǎn)（圖 6）可證 OG= MG23圖 5圖 6圖 71解法 2 考慮 MQAQ 最小，過(guò) Q 作 BM 的垂線交 BM 于 K，由 OB=6，OM=21可得BMO30°，所以 QK MQ26 3，要使12MQAQ 最小，只需使 AQQK 最小， 根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn) A、Q、K 在一條直線上時(shí)，AQ+QK 最小，并且此時(shí)的 QK 垂直于 BM，此時(shí)的點(diǎn) Q 即為所求的 點(diǎn) G（圖 7）過(guò) A 點(diǎn)作 AHBM 于 H,則 AH 與 y 軸的交點(diǎn)為所求的 G 點(diǎn).由 OB=6，OM=6 3，可得OBM=60°， BAH

9、=30°在OAG 中，OG=AO·tanBAH=2 3G 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2 3）（G 點(diǎn)為線段 OC 的中點(diǎn)）例 3（2009 年湖州中考題）若點(diǎn) P 為ABC 所在平面上一點(diǎn)，且APB=BPC=CPA=120°, 則點(diǎn) P 叫做ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)（1） 若 P 為銳角ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，且ABC=60°，PA=3，PC=4, 則 PB 的值為 ；（2） 如圖 8，在銳角ABC 的外側(cè)作等邊ACB，連結(jié) BB求證：BB 過(guò)ABC 的 費(fèi)馬點(diǎn) P，且 BB=PA+PB+PC圖 8解：（1）利用相似三角形可求 PB 的值為 2 3 （2）設(shè)點(diǎn) P 為銳角ABC

10、 的費(fèi)馬點(diǎn)，4注即APB=BPC=CPA=120°如圖 8，把ACP 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°到CE，連結(jié) PE，則EPC 為正三角形 BEC = APC =120°，PEC=60°BEC+PEC=180°即 P、E、B 三點(diǎn)在同一直線上BPC=120°, CPE=60° ，BPC +CPE =180°，即 B、P、E 三點(diǎn)在同一直線上 B、P、E、B 四點(diǎn)在同一直線上，即 BB 過(guò)ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P又 PE=PC，BE= PA， BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時(shí)需