乘除運(yùn)算中的誤差分析

1、三、乘除運(yùn)算中的誤差分析前面我們提到過，“乘除運(yùn)算”當(dāng)中我們應(yīng)該考慮“相對誤差”，而這是 我們誤差分析最為重要的內(nèi)容。那么，如果相乘或者相除的兩個(gè)數(shù)分別發(fā)生一定 程度的近似，它們的乘積或者商乂會發(fā)生什么樣的變化呢？我們首先先給出兩個(gè) 重要的結(jié)論：1.兩個(gè)數(shù)相乘，那么這兩個(gè)數(shù)的相對誤差之和，近似為總體的相對誤2. 兩個(gè)數(shù)相除，那么這兩個(gè)數(shù)的相對誤差之差，近似為總體的相對誤我們先舉兩個(gè)相乘的例子:W49 1021?Ui)O= 5(1)2549 > 7924 « 200 8000 = 1 84 10在上面第1）個(gè)式子中，前一個(gè)因子下降了 1%左右，后一個(gè)因子下降了 *左右 所以最后得

2、到的結(jié)果會比真實(shí)值小漆讓右時(shí)（4。43%入所以真實(shí)值約為；在上面第2）個(gè)式子中,前一個(gè)因子下降了 X佐右, 所以最后得到的結(jié)果會比真實(shí)值小1。思右（29砒1。1%）.后一個(gè)因于上升了 |5左右 所以其實(shí)值約為，我們再舉兩個(gè)相除的例乙1 SI lo7 -二 a2349*R24足 2300 +800。5為¥ （4）在上面第3）個(gè)式子中.被除數(shù)下降了】”選右除數(shù)下降了 2%左畝,所以最后 到的結(jié)果會比其實(shí)值大1。芯右（-/I、氣戶】）,所以真實(shí)值約為；遂5 。一1財(cái)在上面第（4）個(gè)式子中，被除數(shù)下降了 2* 到的結(jié)果會比真實(shí)值小心右Esyg位在，除數(shù)上升了 1%左右，所以最后 所以真實(shí)值約

3、為：5*5 ，1 + 3脆blogifi£LCorrLcn/l注：上面分析的所有誤差指的都是“相對誤差”，因?yàn)橹挥?乘除運(yùn)算當(dāng)中保持近似的加減關(guān)系?！跋鄬φ`差”才能在四、近似誤差與選項(xiàng)差異通過上面的分析我們知道，近似的計(jì)算會產(chǎn)生一定的誤差，那么這種誤差會不會對最后結(jié)果的判定產(chǎn)生影響呢？這就取決丁近似誤差（“近似誤差”指的是數(shù)字近似后產(chǎn)生的相對誤差，在與“選項(xiàng)差異”進(jìn)行大小比較時(shí)，指其絕對值） 與選項(xiàng)差異之間的相對關(guān)系了， 通俗的講就是：選項(xiàng)差別大，估算可大膽；選項(xiàng) 差別小，估算需謹(jǐn)慎。但我們需要的不僅僅是這樣一句定性的描述，我們更加需 要的是定量的結(jié)論。首先，我們對兩個(gè)數(shù)字之間的“相

4、對差異”進(jìn)行一個(gè)定義：我們以兩個(gè)數(shù)字當(dāng)中較大的數(shù)字為真實(shí)值，較小的數(shù)字為估算值，這樣計(jì)算得到的“相對誤差”的絕對值，我們稱之為這兩個(gè)數(shù)字之間的“相對差異”。譬如“ 4”和“5”，我 們以5為真實(shí)值，以4為估算值，得到的“相對誤差”為“ -20%”，那么我們就 說“4和5之間的相對差異為20%。再譬如說，9和12之間的相對差異為25% 15和18之間的相對差異為16.7%等等。然后，我們對“選項(xiàng)差異”進(jìn)行一個(gè)定義：所謂“選項(xiàng)差異”，是指四個(gè) 選項(xiàng)中任意兩個(gè)數(shù)值之間的“相對差異”的最小值。具體操作時(shí)，我們僅需要考 慮相鄰數(shù)字之間（是指大小相鄰，非而位置相鄰）的相對差異即可。我們看下面 這樣的選項(xiàng)設(shè)

5、置：A.20B.24C.28D.32我們考慮相鄰數(shù)字之間的相對差異：20與24之間的相對差異為16.7%, 24 與28之間的相對差異為14.3%, 28與32之間的相對差異為12.5%。那么，這樣 設(shè)置下的“選項(xiàng)差異”就是12.5%。事實(shí)上，我們對選項(xiàng)差異的計(jì)算也只需要得 到一個(gè)大致的值，并不一定需要計(jì)算得非常的精確。當(dāng)我們知道了 “選項(xiàng)差異”之后，我們就可以在近似計(jì)算中控制近似誤差, 使其不至丁影響最后結(jié)果的判定。下面我們再來看一個(gè)例子：例 3 706.38士 24.75=?A.20.5B.24.5C.28.5D.32.5答案C解析我們大致估算，“選項(xiàng)差異”高丁 10%那么在近似計(jì)算中產(chǎn)生

6、1% 左右（或以下）的誤差不會影響到最后結(jié)果的判定：706.38 士 24.75 700+ 25=28由“706.38 ”近似到“ 700”減小了 1知右，由“ 24.75 ”近似到“25”增 加了 1%左右，這樣的近似不會影響到最后結(jié)果的判定， 因?yàn)椤斑x項(xiàng)差異”在10% 以上。因此，我們選擇離28最近的數(shù)字“28.5”，選擇G通過上面的分析我們知道，近似估算若要不影響最后結(jié)果的判定，“近似 誤差”必須比“選項(xiàng)差異”要小，但具體要小到什么程度呢？我們大概給出下面 這樣的參考：選項(xiàng)差異士近似誤4倍以下49倍950 倍50倍以上差估算建議不建議使 用注意控制誤 差選擇近似 值忽略誤差我們進(jìn)行的乘除

7、計(jì)算，一般是23個(gè)數(shù)字的計(jì)算，當(dāng)“選項(xiàng)差異”不到“近 似誤差”的4倍時(shí)，多個(gè)數(shù)字的“近似誤差”就很可能影響到最后結(jié)果的判定， 這時(shí)候我們不建議使用這種精度的估算。當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的49倍時(shí)，我們一般會進(jìn)行“有向誤差分析”或者“誤差抵消”以提高精度，后面我 們將有專題進(jìn)行討論。當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的950倍時(shí)，選擇離估算結(jié)果最近的值即可，正因如此，我們一般推薦大家將“近似誤差”控制在選項(xiàng) 差異的1/10左右（或以下），更高的精度計(jì)算一般是沒有必要的。當(dāng)“近似誤 差”不到“選項(xiàng)差異”的“ 1/50”時(shí)，我們得到的結(jié)果完全可以直接代表最終正 確的答案。例 4 38716士 843

8、97=?A.35.37%B.40.74% C.45.87%D.49.34%答案C解析初步估算，選項(xiàng)差異在在 10%左右，我們可以對原數(shù)字進(jìn)行1%左 右（或以下）的近似：38716-84397 39000+ 8400046%,選擇最接近的值， 即C。例 5 9.503X 5.837=?A.50.44B.55.47C.59.98D.60.28答案B解析C和D之間的相對差異很小，但我們知道：9.503X 5.837<10X 6=60, 所以D選項(xiàng)可以直接排除不予考慮。而 A、B、C之間的“選項(xiàng)差異”在7%以 上，那么我們可以對原數(shù)字進(jìn)行0.7%左右（或以下）的近似：9.503X 5.8379.

9、5 X 5.8=55.1,選擇最接近的值，即 B。例 6 6405+ 79934=?A.4%B.6%C.8%D.10%答案C解析6405+ 799346400- 80000=8%?！斑x項(xiàng)差異”為 20%,近似誤差 低于1%o,因此誤差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最終的真實(shí)值。學(xué)到這里，我們把思路理活楚一下：我們在進(jìn)行近似估算之前，先分析“選 項(xiàng)差異”，然后在近似中將“近似誤差”控制在“選項(xiàng)差異”的“1/10 ”左右（或 以下），然后選擇與計(jì)算結(jié)果最接近的選項(xiàng)即可。 這樣一來，似乎所有的近似估 算都變得特別簡單，然而，如果有一個(gè)問題沒有解決的話，我們的計(jì)算仍然沒有 得到實(shí)質(zhì)的簡化，那就是：

10、如何快速判斷近似估算的“近似誤差”（譬如說將 5.837近似為5.8, “近似誤差”到底是多少？），這個(gè)問題不解決，誤差分析 無從談起；這個(gè)問題掌握后，不僅“近似誤差”的問題解決了，“選項(xiàng)差異”的估算也同時(shí)得到解決，因?yàn)閮烧弑举|(zhì)是相同的。誤差初步理論（3）（選自資料分析模塊寶典五版）五、近似誤差的估算在學(xué)“近似誤差”的估算之前，我們先強(qiáng)調(diào)兩個(gè)重要的問題：1. 我們對“近似誤差”的分析只需要也只能進(jìn)行“估算”，精算是沒有 必要也是不可行的，實(shí)際操作中我們只需要給出一個(gè)大概的值即可；2. “近似誤差”一般分成兩檔：“1-10%'與“1-10%”，明顯低于1%0 很多的一般可以忽略，明顯高于

11、10%艮多的情形在近似中一般也很難見至U。我們一般運(yùn)用“左移兩位白分法”估算“ 1-10%”左右的“近似誤差”。譬 如，當(dāng)我們判斷將“ 42.83”近似為“42”時(shí)產(chǎn)生了多大的“近似誤差”時(shí)，先 將絕對誤差（不考慮正負(fù)號）“0.83 ”左移兩位變?yōu)椤?3.00 ”，再與原數(shù)“ 42.83 進(jìn)行比較，大概是2倍的關(guān)系，那么這個(gè)近似的近似誤差應(yīng)該大約就是“ -2%” 如下圖所示：42.X342 0X3原數(shù)進(jìn)行比較丁42,830.83左穢兩位f42.83X3.00人致為2倍 得到結(jié)果J我們再判斷將“SJ&T近似為w550ir所產(chǎn)生的招對誤差:大蝕為L5倍 得到殊果刁.5%54645500+3

12、6將絕對況塑hi原散進(jìn)行比較5464365464不到1倍_'I36()0得到結(jié)果左移西位運(yùn)用上面同樣的辦法，我們來判斷將“質(zhì)f近似為澎00”所產(chǎn)生的相對謖差:同樣的道理，我們采用“左移三位千分法戶來估算勺左右的“近似誤差二 我們來判斷將£83”近似為“出”所產(chǎn)生的相對誤差將絕對誤差與厥數(shù)進(jìn)釘比較42.S30J742.83170.00大致為4T得到結(jié)果運(yùn)用上面同樣的辦法，我們來判斷將飛一，近似為卜90，所產(chǎn)生的相對誤差:通過上面六個(gè)例子的講述，相信大家已經(jīng)掌握了 “近似誤差”估算的要領(lǐng)。與此同時(shí)，“選項(xiàng)差異”的估算也是通過同樣的方法進(jìn)行估算的， 只是在具體操 作的時(shí)候有這樣兩點(diǎn)

13、特別之處：1. “選項(xiàng)差異”關(guān)丁 “絕對誤差”的計(jì)算可能較為復(fù)雜，我們一般截取 前12位計(jì)算即可；2. “選項(xiàng)差異”很容易達(dá)到“相對誤差”彳艮難達(dá)到的 10咖上的差異， 這時(shí)候一般通過計(jì)算“絕對誤差是真實(shí)值的幾分之一”或者運(yùn)用類似的“左移一位十分法”來進(jìn)行估算。我們分析某題選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“ 784.31 ”、“768.45”之間的相對差異, 兩個(gè)數(shù)相差約為“16.00”，將之與“ 784.31 ”做對比，通過“左移兩位白分法” 易知相對差異大約為2%£右。我們再分析某題選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“ 6437.21 ”、“4829.32”之間的相對 差異，兩個(gè)數(shù)相差約為“ 1600.00”，將

14、之與“ 6437.21 ”做對比，前者大概是后 者的1/4，得知相對差異大約為25%我們再分析某題選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“ 3158”、“1871”之間的相對差異， 兩個(gè)數(shù)相差約為“ 1300”，將之左移一位（變成“ 13000”）與“3158”做對比, 大概是后者的4倍左右，得知相對差異大約為十分之 4,即40%£右。至此，我們便真正掌握了 “近似誤差”和“選項(xiàng)差異”的估算，在精度范 圍允許的前提下，我們便可以自由的進(jìn)行截位估算了。六、有向誤差分析我們前面提到過，當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的 49倍時(shí)，對數(shù)字的 近似有可能會在一定程度上影響到對最后結(jié)果的判定，這時(shí)候我們一般有兩種辦 法

15、來應(yīng)對和修正，我們先介紹第一種辦法：有向誤差分析。所謂有向誤差分析，指的是截位估算的時(shí)候，通過對過程數(shù)字的相對誤差 來判斷最后估算結(jié)果相對誤差的符號， 直白的說，就是判斷估算結(jié)果是大于真實(shí) 值還是小于真實(shí)值，從而鎖定答案的方法。這是一種定性的分析方法，在后面的 意節(jié)里，我們還可能碰到定量的分析。我們用一個(gè)簡單的例子來闡明這個(gè)道理：例 7 5461 - 14831=?A.33%B.35%C.37%D.39%答案C解析5461 - 14831 5400- 15000=36%這時(shí)候問題來了，與36%R接近的有兩個(gè)選項(xiàng)，這時(shí)候應(yīng)該怎么選擇呢？我們可以選用“有向誤差分析”來判定。通過簡單估算，“選項(xiàng)差異

16、”超過 5%（37加39彖間的相對差異），將“ 5461”、“ 14831”分別近似為“ 5400”、“15000”的近似誤差都在1哧右，于是我們可以確定，結(jié)果肯定在36%勺附近, 也就是在35加37沱間進(jìn)行選擇。很明顯，近似的過程縮小了分子而擴(kuò)大了分 母，導(dǎo)致估算值36%、于真實(shí)值，因此我們選擇 C。例 8 3390.5X 36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5X 36.69%X 12.73% 3333.333X 36%X 12.50%=150“選項(xiàng)差異”在10哧右，“近似誤差”在2姒內(nèi)，算得結(jié)果肯定在150 附近。由于近似過程中三個(gè)因

17、子都被縮小， 所以近似結(jié)果肯定小于真實(shí)值，那么 答案就應(yīng)該比150要大，所以選擇B。七、誤差抵消與精度提高我們前面提到過：兩個(gè)數(shù)相乘（或相除），那么這兩個(gè)數(shù)的相對誤差之和（或之差），近似為總體的相對誤差（事實(shí)上，對于多于兩個(gè)數(shù)的數(shù)字的乘除也 是近似滿足的）。那么，如果我們在近似的時(shí)候，使得乘法中的相對誤差保持相 反的方向或者除法中的相對誤差保持相同的方向，就能有效的抵消誤差，從而提高精度。而這便是我們應(yīng)對“選項(xiàng)差異”不足夠大時(shí)的另外一個(gè)有效方法。我們再來看這兩個(gè)例子：例 9 5461 - 14831=?A.33%B.35%C.37%D.39%答案C解析5461 - 14831 5500- 15000=36.7%,選擇 C。注釋截位近似時(shí)，被除數(shù)提高了 1%左右，除數(shù)也提高了 1%左右，兩者 相減，誤差將大大的被削減。例 10 3390.5X 36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5X 36.69%X 12.73% 3500X 36% X 12.50%=157.5,選擇 B注釋截位近似時(shí)，第一個(gè)因子提高了 3-4%，第二個(gè)因子降低了 2%以內(nèi), 第三個(gè)因子也降低了 2%以內(nèi)，