導數(shù)的基本概念及性質(zhì)應用

1、導數(shù)的根本概念及性質(zhì)應用考點：1、掌握導數(shù)的根本概念及運算公式，并能靈活應用公式求解2、能運用導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間及極值、最值3、理解并掌握極值及單調(diào)性的實質(zhì)，并能靈活應用其性質(zhì)解題。 能力：數(shù)形結(jié)合方法：講練結(jié)合新授課：知識點總結(jié):導數(shù)的根本概念與運算公式1、導數(shù)的概念函數(shù)y = f(x)的導數(shù)f (x)，就是當厶X0時，函數(shù)的增量A y與自變量的增量A x的比黑的極限，即f (x)=limAx 0limAx 0f (x Ax)-f(x)Ax說明：分子和分母中間的變量必須保持一致2、導函數(shù)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b )內(nèi)每一點的導數(shù)都存在，就說在區(qū)f (x)間(a, b )內(nèi)可導，其導

2、數(shù)也是(a ,b內(nèi)的函數(shù)，叫做f (x)的導函數(shù)，記作f (x)或yx，函數(shù)f (x)的導函數(shù)f(X)在x x0時的函數(shù)值f (x0)，就是f (x)在x0處的導數(shù)。3、導數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)y = f (x)在點X。處可導，那么它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應點M(X。，y° )處的切線斜率。4、求導數(shù)的方法(1)根本求導公式c 0/ mm 1(x ) mx (m Q)(sin x) cosx(cosx)si nxxx(e ) e(ax)ax lna(ln x) ±(loga)xkU(2)導數(shù)的四那么運算(v)営(v 0)(3)復合函數(shù)的導數(shù)設(shè)u g(x)在點x處可導

3、，y =在點f (x)處可導，那么復合函數(shù) fg(x)在點x處可導，fx'( (x) f'(u) '(x)導數(shù)性質(zhì)：1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y= f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，假設(shè) f(X)>0，貝y f(x)為增函數(shù)；假設(shè)f (x) v 0那么為減函數(shù)。 求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步聚和方法。 確定函數(shù)f (x)的定義區(qū)間 求f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根。 把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成假設(shè)干個小區(qū)間。 確定f(X)在各小開

4、區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f(X)的符號判定函數(shù)f(x)在各個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性。說明：原函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)單調(diào)性無關(guān)，只與導函數(shù)正負號有關(guān)2.可導函數(shù)的極值極值的概念設(shè)函數(shù)f (x)在點x0附近有定義，且對x0附近的所有點都有 f(x) v f(x0)(或f (x) > f (x0), 貝y稱f(X0)為函數(shù)的一個極大(小)值點。稱X0為極大(小)值點。求可導函數(shù)極值的步驟。 求導數(shù)f (x) 求方程f(X)= 0的根 檢驗f(X)在方程f (x) = 0的根左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)y= f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)為正，那么

5、函數(shù)=f(x)在這個根處取得極小值。說明：極值點的導數(shù)為0,導數(shù)為0的點不一定是極值點(隱含條件，說明某點是極值點，相當于給出了一個f (x) = 0的方程3 函數(shù)的最大值與最小值設(shè)y= f(x)是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y= f (x)在(a ,b )內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù) y= f(x)在a ,b 上的最大值與最小值，可分兩步進行。求y= f(x)在(a ,b )內(nèi)的極值。將y= f(x)在各極值點的極值與f(a)、f(b)比擬，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。假設(shè)函數(shù)y= f(x)在a ,b 上單調(diào)增加，貝U f (a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；假設(shè)函數(shù) y=

6、f (x)在a ,b 上單調(diào)減少，貝U f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值。說明：極大值小于等于最大值，極小值大于等于最小值二、例題講解題型一導數(shù)的概念【例1】設(shè)f(x)在點xo處可導，a為常數(shù)，那么im f(x0a x) f(xoa x)等于()A.f/(xo)B.2af '(xo)C.af/(x o)D.o【變式】設(shè)f (x)在xo處可導limx 0f (xox) f (xo)x題型二導數(shù)的幾何意義、物理意義【例2】2x(1)求曲線y 在點(1 , 1)處的切線方程;x 1(2 )運動曲線方程為 St2o2t，求t=3時的速度。y=f(x)在X。處的導數(shù)就是曲線y=f(

7、x)分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知，函數(shù)在點P(xo,y。)處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)。題型三利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例3】求以下函數(shù)單調(diào)區(qū)間(1) yf(x) x3 -x2 2x 52(2) y(3) yk2(k0)2(4) y 2x In題型四：利用導數(shù)求函數(shù)的最(極)值【例4】求函數(shù)f(x) x3 3x 1在閉區(qū)間-3，0上的極值、最大值、最小值題型五：原函數(shù)圖像與導函數(shù)圖像【例5】1設(shè)f '( x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=f '( x)的圖象A)(B)(C)(D)如右圖所示，那么y=f(x)的圖象最有可能的是2、函數(shù)f(x)的定

8、義域為開區(qū)間(a,b)，導函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如下圖，貝U函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()A. 1個B. 2個C. 3個D .4個題型六：利用極值的本質(zhì)及單調(diào)性求解析式【例6】函數(shù)f(x) ax3 bx2 3x在x1處取得極值。(I)討論f(1)和f( 1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;(II)過點A(0,16)作曲線y f (x)的切線，求此切線方程。0),( 2，0)如下圖求：(1) x0 的值；(2)a、b、e 的值.【例8】函數(shù)f(x)=x3+a)+bx+c，當x= 1時，取得極大值7；當x=3時，取得極小值.求這個極小值及a、b、e的值【例9】f(x

9、) ax4 bx2 e的圖象經(jīng)過點(0,1)，且在x 1處的切線方程是y x 2 (1)求y f(x)的解析式；(2)求y f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間題型七：含參數(shù)的討論( )A.(0,+ )B.0,+ )C.(3,+ )D.3,+)(2 )如果函數(shù)f(x)=x3+ ax的圖象上有平行于x軸的切線，那么實數(shù)a的取值范圍是4)上是減函數(shù)(1)求b的值；(2)求a的取值范圍題型八：綜合應用r廠【例12】平面向量a (、3, 1),b (丄，一3)，假設(shè)存在不同時為0的實數(shù)k和t,使2 2r r 2 r r r r rrx a (t 3)b, y ka tb,且x y，試確定函數(shù)kf (t)的單調(diào)區(qū)間

10、例題答案:【例11】函數(shù)f xax3 x2 bx 2 a, b, c R且a 0 在區(qū)間,0上都是增函數(shù)，在(0,【例1】解:f(x°a x)f(x° a x)xlim f(x° a x) f(x°) f(x°) f (冷 a x)x 0x f (x0 a x) f(x。) a lima x 02af /(x0)【變式】:-1【例2】(1)y'2(x：y'|x21因此曲線(2)S'tt2S'|t3【例3】(1)y3x2應選C2y1 .xx19227241) 2x1)2【例4】2x(2)(3)(4)【例5】1、Cl

11、im f(x0 ax) f(x。)x 02 2x20,即曲線在點1, 1處的切線斜率2xx2 1(2t2)'k=0在1,1 處的切線方程為2t 2t(t 1)t44ty=14t122611- o27(3x 2)(x1)23)(1,)時 y 0(|,1)|)(1,(I")x212 xk22x,0),(0,(,k)(k：,)y 0 x ( k,k),(k,)(k,0) , (0,k)4x -x4x21定義域為0,x10,：y01x ( ,) yx(yx略，注意強調(diào)學生的步驟完整性,0)(0,k) y 02、 A【例6】分析：(1)分析x= ± 1處的極值情況，關(guān)鍵是分析

12、x= ± 1左右f (x)的符號(2)要分清點 A (0, 16)是否在曲線上.解：(1) f ( x)=3aX2+2bx- 3,依題意,(1) = f(-1) =0，即3a 2b 33a 2b 30,0.解得 a=1 , b=0. f (x) =x3- 3x, f (x) =3x2- 3=3 (x+1)( x- 1)令 f (x) =0 ,得 x= 1, x=1.假設(shè) x( g, 1)U( 1, + g),那么 f (x)> 0,故f (x)在( g,1) 上是增函數(shù)，f (乂)在(1, + g)上是增函數(shù).假設(shè) x ( 1, 1),那么 f (x)v 0,故 f (x)在(

13、一1, 1) 上是減函數(shù).所以f ( 1) =2是極大值，f (1) = 2是極小值.(2)曲線 y=x3 3x,點 A (0, 16)不在曲線上，設(shè)切點 M (xo, yo),那么 yo=x。3 3x. f (x°) =3x°2 3,切線方程為 y y°=3 (x)2 1)( x x°).代入 A (0, 16)得 16 x°3+3x0=3 (X02 1)( 0 x°).解得 X0= 2,. M ( 2, 2),切線方程為 9xy+16=0.評述：過點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成了解題的關(guān)鍵【例7】解：函數(shù)f x的增減變

14、化如下表：x,111,222,f x+0-0+f x/極大、極小(1)fx在x=1處由增變減，故f 1為極大值，即x0=1(2)由于fx3ax2 2bxc ,f103a 2b c 0a 2f2012a 4b c 0b 9f15a b c 5c 122a3b3-a= 一 3, b= 一 9 f (x) =x3 3x2 9x+cT f (一 1) =7 , c=2極小值 f ( 3) =33 3 X32 9 X 3+2= 25【例9】解：(1) f (x) ax4 bx2c的圖象經(jīng)過點0,1，那么c 1 ,'3'f (x) 4ax 2bx,k f (1)4a 2b 1,切點為(1,

15、 1)，那么f (x) axbx2c的圖象經(jīng)過點1,1)極小值為25, a= 3, b= 9, c=2f(x)【例10】【例11】(2)f (x)10x39x 0,3.1010單調(diào)遞增區(qū)間為學,0),(103.1010(1) A (2)(-解：由條件知x0是函數(shù)的極值點.2x 3ax2x b,0 ,得 b 0.已求b 0, f3ax 2x.令 f x 0，得 x0僉由條件知x 0為極大值點，那么應為極小值點又知曲線在區(qū)間0, 4上是減函數(shù). 3a【例12】解：由a(3,6a13a0,得 a 0,161),b,1、3(,_2 2)得 agD 0, a2,ba (t23)bc(ka tb)0, k

16、a2 tag2I 1k(t2 3)acbt(t23)b201 33t 0,k-(t34f'(t)3t2 -0,得 t444k t3133t), f (t)-(t3 3t)41,或 t1;3t2 30,得 144所以增區(qū)間為(,1),(1,);減區(qū)間為(1,1)。三、課堂演練:1.假設(shè)曲線y=f (x)在點(Xo, f (Xo)處的切線方程為2xy仁0,那么A. f'( Xo) >0(Xo) <oC. f'( Xo) =0f'( Xo)不存在2.函數(shù)f(x) 2X2x3在區(qū)間0,6上的最大值是(332C. 12A. 0B. 1C .2D . 44.函數(shù)

17、f(x)x3 ax2 3x 9 在 x3時取得極值，那么實數(shù)a的值是()A. 2B. 3C . 4D .55.在函數(shù)y3X8x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中,4坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是A. 3B . 2C . 1D .06.三次函數(shù)y=f (x) =ax3+x在 x( 8,+8)內(nèi)是增函數(shù)，那么A. a>0B . a<0C . a=1D .1 a= _37.與直線2x6y+仁0垂直，且與曲線y=x3+3x2 1相切的直線方程是.8.a為實數(shù),2f(x) (X 4)(xa)。3函數(shù)求導數(shù)f (x);()y=x3 3x的極大值為 m，極小值為n,那么m+n為假設(shè)f ( 1) o，求f

18、 (X)在2, 2上的最大值和最小值;假設(shè)f (X)在(8, 2)和2, +8 上都是遞增的，求a的取值范圍1-6AAADAA , 7.3x+y+2=03 2 28.解：由原式得 f(x) x ax 4x 4a, /. f (x) 3x 2ax 4.由f ( 1)0得a1此時有2f(x)(x24)(x12),f(x)由 f ( 1)0得x或 x=-1 ,34 又 f(-)350,f(2791)芽(22)0,f(2)0,3x2x 4.950所以f(x"跆上的最大值為刁，最小值為27解法一 ：f (x) 3x2 2ax 4的圖象為開口向上且過點(0-4)的拋物線，由條件得 f ( 2)0, f (2) 0,即 8a4：0 2w aw 2.所以a的取值范圍為-2,2.解法二：令f (x)0即3