一類非光滑廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件

1、3安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第33卷一類非光滑廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件王榮波(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院陜西延安716000)摘 要:利用右方向?qū)?shù)，給出了一類新的廣義一致半局部b -預(yù)不變凸函數(shù)、廣義一致半局部擬 6-預(yù)不變凸函數(shù)等，并在一定的條件下得岀了涉及這類非光滑廣義凸函數(shù)的多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最 優(yōu)性條件包括Fritz -John條件和Kubn - Tucker條件.關(guān)詞:廣義一致半局部6 預(yù)不變凸函數(shù);多目標(biāo)半無限規(guī)劃;最優(yōu)性條件;有效解中圖分類號:0211.6文抵標(biāo)識碼：A文章編號：lC00 - 2162(2009)020001 -05Stancu M【將半局部預(yù)不變凸函數(shù)以

2、及半局部6 -凸函數(shù)進(jìn)行了推廣,定義了半局部6 -預(yù)不變 凸函數(shù)等廣義函數(shù),給出了相應(yīng)的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件以及一些對偶性結(jié)果.作者受文1-2的啟迪，給出了一類新的廣義一致半局部6-預(yù)不變凸函數(shù)等概念,并在這些廣義 一致半局部6 -預(yù)不變凸函數(shù)的情形下,得到一類非光滑多目標(biāo)半無限規(guī)劃的一些最優(yōu)性條件.1基本概念和廣義凸性定義1稱陷在元e F處為0-7,-局部星形集，如果對于Vz e屮，存在向量函數(shù)乃以及正數(shù) ,0 < an(x9x) W 1,使得x + X.p(xfx)Tj(xtx) e X°, VA e 0,a,(x,x) 1如果1°在每一點(diǎn)% e 都是0-q -

3、局部星形的，則稱屮為0 - 4 -局部星形的.以下均假定 b：屮 xX° x 0,1->心,為實(shí)數(shù)x A0定義2稱屮在元處為0-耳-局部星形集，函數(shù)f：X°fR為：(i) 在無處為廣義一致半局部0 -預(yù)不變凸的(Slgud - Preinvex),如果對于Vx e才1,存在一個(gè)正 數(shù)dx.x) Wa'%,刃，使得fx + A)3(x,x)77(x,x) -f(x) + A(1 - A)p</2(x,%) Xb(x9x)-/(%)其中0 < A < dx.i) ,A6(x,x,A) W 1(ii) 在丘處為廣義一致半局部擬預(yù)不變凸的(Slguf

4、c-Preinvex),如果對于Vx e X0,存在一個(gè) 正數(shù)Waf,元),使得-/(x) W 0.0 < A < 可 l=6(x,i,A)(/(* + Aj3(x,%)7?(x,x) ) -/(%) ) + A( 1 - A)pd2(x,x) W 0A6(x,x,A) W 1顯然，如果BZ) Wl,p =0,<p為恒等變換,則/為半局部b -預(yù)不變凸函數(shù)(Sib -Preinvex). 定義3設(shè)在Vi e屮處為p-v-局部星形集,則稱/在元處0-稈-次可微的，如 果對于Vx(元,創(chuàng))存在，其中(*)(元,0(兀,丘)耳(兀,丘)=lim f(x + XP(x.x)r)(x9

5、x) ) -f(x)入tQ令人收稿日期：2038-10.06基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10271093)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(06JK152)；延安大學(xué)研 究生科研基金資助項(xiàng)目(YD200713 )作者簡介住榮波(1976-) t女，陜西綏徳人涎安大學(xué)講師，碩士.如果/在Vi g A0處都是0-y-次可微的，則稱/在X0上是0-7,-次可微的.易證(40* (x,p(xtx)ij(xtx) = /3(x,x)(d/)*(X,17(X,«)定義4設(shè)f：X° R是次可微的，則稱/在元w屮處為廣義一致半局部偽6-預(yù)不變凸的 (Slgupb - Preinv

6、ex),如果/3(x,%)(d/) * (xtrj(x,x) +pJ2(«,x) > 0=6(x,i,A )>(/(x) -/(x) ) MO定理1設(shè)/:屮tR是0次微的，如果/在丘w屮處為廣義一致半局部6-預(yù)不變凸的，則b(xtx)(f(x)>/3(x,i)(d/)* (xtT)(x,x) +pd2(xtx)其中b(x,x) = lim6(x,x,A) 9Ab(x9x.X)W1入o* 定理2設(shè)f：2R是B-tj-次可微的,如果/在% e處為廣義一致半局部擬b -預(yù)不變凸的,則有<P(J(x) -/(i) ) W 0=(%,丘)0(%,云)(切* (£

7、;,“(#,£) + pd2(x,x) W0其中6(x,x) = lim6(%,元，入)，入/>(%,£,入)W1A-X)*2最優(yōu)性條件考慮多目標(biāo)半無限規(guī)劃(Sivp)min/(%)=(/心”淤)U. t. g(xtt) C 0,x G C R",t e T C Rm其中，T是一個(gè)無限參數(shù)集丄:屮T/?(i = 1，,k) ,g：F x TfRX C R"是一個(gè)非空的0局部 星形集，且/() ,g(,0在Vx 6 處是0 "-次可微的，記X = x e X°l g(x,t) WO,A0 Ce T C ,A = |/l g(

8、71;,t) WO,% e X,? 6 TJ(i) = I； I g(i) =0|,r = |?l；e A,J(«) U 是F的任意可數(shù)子集I,其中人=他I的玄0, j e A,且僅有有限個(gè)他#0.定義5稱規(guī)劃(SIVP)在元w A0處滿足廣義Slater約束性，即g(x)，對于V? e V J e J(i)在 無處是廣義一致半局部偽6 -預(yù)不變凸的，其中pQO且存在分w屮，使得gG,P) < 0,6 T* J J(x)定義6 函數(shù)f：X0 -> Rk是類凸的，如果對于Vx.y E Xo以及0 W入W 1,存在z e X。,使得/(z) WMG) +(1 -入”(刃注凸函

9、數(shù)和預(yù)不變凸函數(shù)都是類似凸的.引理1 設(shè)SU/T非空妙：S_Rk是一個(gè)類凸函數(shù)，則下列不等式系統(tǒng)無解f«A(«)< 0IaV() no,入 wMO定理3設(shè)丘w X為(SIVP)的有效解，假定g(x,?)對于V? 6 T-，當(dāng)j 6 A/J(x)時(shí),g(z,?)在云處 連續(xù)，并且/,g(x,?)對于V? e T* J e J(i)在元處是0 ： 7? 次可微的，則下列不等式系統(tǒng)無解 f(d/)* (x,/3(x,x)t)(x,x) < 0(i,?,/3(x,x)?/(x,x) ) < 0證明 類似于文5中定理3.1的證明，此略.定理4(廣義F-J必要條件)設(shè)

10、g(x,f)對于Vr7丘廠，當(dāng)j w A/J(i)時(shí)，在丘處連續(xù)，并且 (4/T G03,可4(%,可)及(4/T可伙,刃)對于V? e廠j e J都是兀的類凸函數(shù),X e陷,其中，疋在丘處是0-乃-局部星形集，如果元是(SIVP)的有效解,則存在AA,使得AT(Hf)* (x,7/(x,x) +AT(4f)4 (i/,7?(%,i) MO, Vx 6 X°(1)狂(訂)=0, V? e T(2)第2期王榮波:一類非光滑廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件5(X,p) # 0, (A,/x) M 0(3)證朋由定理3及引理1可得.定理5(KT必要條件)設(shè)元是(SIVP)的有效解，如果下列約束

11、條件成立：(i) 滿足定理4的條件；(ii) (SIVP)在元處滿足廣義Slater約束性；(iii) a < 0=>|(a) V 0,且 />,(%,%) > 0.則存在A e Rk g 4,使得AT(d/)* (%,7?(x,x) ) +Q(4/y (元,/,乃(.元)0, Vx ee 廠TgG)=0其中k入 M 0, X Aj = 1>1證明 由定理4知,存在入e Rk e 4,使得對于Vx e X° t定理4中的(1) (3)式成立. 現(xiàn)證入=(Aj，入2,，入*)M 0,假若A = 0,則由式(1)得«(dg) G,可)>0,

12、V% e 屮，V? e 廠(4)又(SIVP)在丘處滿足廣義Slater約束性，當(dāng)j e J(x)時(shí),存在& e 1°,使得gG*) <0 =V? e r,j e J(x)由(iii)得元)eMgG,/) g(元,/)< o再由定義5得(屯尸(i,?,77(x,x)< 0, V# e 廠 J e J(x)(5)當(dāng)j e A/J(x)時(shí)，對于V? e廠，總有g(shù)(i,?) < 0,則由 式知他=0J e A/J(x).因?yàn)?(A,/x) X 0,而A = U,他=0,； g A/J(i)故必存在jo e J(x),使得如>0,由(5)式得.工旳(dg

13、)，G#訶G/) +工旳刁*了(元豪)=)e Aye A PX 9X)工他(屯)G,M,乃G,元)+的諾呂護(hù)(元/)v/eAi) PX 9X)“jo(dg)* (丘,圧,可)+如 a淨(jìng)-、屮(W)<0工旳(dg)< -工円洋匕孑G&)WOje A)e A PX9X)這與(4)式矛盾！故A = (Ai，入2,入)工0令t 入i e J(x)A,=；的=ylo.j e A/(x)即定理5成立.定理6設(shè)元w X,如果對Vx g X,3A g /?*,A > 0仏g人，滿足(i)Z在元處是廣義一致半局部力預(yù)不變凸的，且® >0;(11)對于j 6 J(x),g

14、(x,?)在元W芒處是廣義一致半局部耳-預(yù)不變凸的；(iii) £ 入 KM)"(元小(兀,元)+ 工他(dg)" (x,?,77(x,x) > Of Vx e X0,? e Te ;i»l/A(iv) 呼(和)=OJ g A;(v) a < On©(a) < 0,a W 0 =></>,(a) W 0,a W On</>(a) W 0；A(vi) £ 入4 +M 0.則丘是(SIVP)的一術(shù)訂效解.證明 假設(shè)元不是(SIVP)的一個(gè)有效解，則存在z 6 X,使得/(%) </(x

15、),至少存在一個(gè)d使得 */»(*) x/i(*)由(V)得處Oo(對-九G) <0(6)%(/(%) -Z(*) W0(7)由得j8(x,x)(d/i)* (x9tj(x9x) +pod2(x,x) W 幾(,刃處(/；(%)Z(*) <0(8)0(%,元)(")* G,®(“) +pid2(xtx) W元)®(/；(%) -fi(x) WO(9)又兒>0,A > 0.由(6)-(9)式得0(兀,元)丫入i(M)*(元,耳(兀,元)+ 丫入汐d(%,元)<oi !即£入w) G,"(M) + i 總護(hù)D

16、 < 0(1。)當(dāng)j 6 J(i)時(shí)，有g(shù)(%,p) o = gG,/)由(v)得p(g(x,p) -g(元,")w 0 又由(ii)以及® M0得y ju/dg)+ (x,?,7/(x,i) ) +£Pi.d2(xfx) WO當(dāng)j e VJ(z)時(shí)，由(iv)知的=0,得工他(趾尸(xy.x.x) + 工W0(ID/« A/e A P /(10)式與(11)式相加，并聯(lián)立(vi)得(x,7j(xtx) + 2 的(dg) (x,?,7/(x,x) ) < o 這與(iii)矛盾！故xi(SIVP)的一個(gè)有效解.定理7設(shè)元w X,如果對Vx

17、e X,3A e /?*,A > 0上e人滿足(I) 定連6 中的(i),(iii),(iv),(v),(vi);(II) 對于j e J(i) ,g(x,?)在x e 1°處是0-V-次可微的，并且是廣義一致半局部擬妨-預(yù)不 變凸的，則云是(SIVP)的一個(gè)有效解.證明類似于定理6-第2期王榮波:一類非光滑廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件#參考文獻(xiàn)：1 Stancu M I. Optimality and duality in nonlinear programming involving semlioyaUy bpreinvex and relared functions J.

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