《高等數學》電子課件（自編教材）：第三章 習題課

1、2洛必達法則洛必達法則Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對對數數令令gfy 單調性單調性, ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點拐點, ,函數函數圖形的描繪圖形的描繪; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .導數的應用導數的應用一、主要內容一、主要內容31 1、羅爾中值定理、羅爾中值定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定

2、理）定理 如果函數如果函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且在區(qū)間端且在區(qū)間端點的函數值相等，即點的函數值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba , ,使得函數使得函數)(xf在該在該點的導數等于零，點的導數等于零， 即即0)( f 42 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,那那末在末在),(ba內至少有一點

3、內至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.53 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且且)(xF在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內至少內至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式)()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推論推論.)

4、(,)(上是一個常數上是一個常數在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數恒為零上的導數恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數如果函數IxfIxf64 4、洛必達法則、洛必達法則定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()( 注意：注意：洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.7泰勒泰勒(Taylor

5、)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數如果函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階的導數階的導數, ,則則當當x在在),(ba內時內時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一的一個個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之間之間與與在在其中其中xxxxnfxRnnn 8 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式)()!

6、12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 96 6、導數的應用、導數的應用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上單調減少上單調減少在在，那末函數，那末函數內內如果在如果在上單調增加；上單調增加；在在，那末函數，那末函數內內如果在如果在可導可導內內上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設函數設函數baxfyxfbab

7、axfyxfbababaxfy (1) 函數單調性的判定法函數單調性的判定法10.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個點的一個點內內是是內有定義內有定義在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義

8、定義(2) 函數的極值及其求法函數的極值及其求法11 設設)(xf在在點點0 x處處具具有有導導數數,且且在在0 x處處取取得得極極值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數做函數叫叫的實根的實根即方程即方程使導數為零的點使導數為零的點xfxf 函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.極值是函數的局部性概念極值是函數的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為駐點和不

9、可導點統(tǒng)稱為臨界點臨界點. .12(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, )(xf符符 號相同號相同,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設設)(xf在在0 x處具有二階導數處具有二階導數,且且0)(0 xf, 0)(0 xf,

10、 那末那末(1)當當0)(0 xf時時, 函數函數)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當當0)(0 xf時時, 函數函數)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )13求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數求導數;0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點判斷極值點該點的符號該點的符號在在在駐點左右的正負號或在駐點左右的正負號或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值14步驟步驟: :1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數值求區(qū)間端點及駐點和不可導

11、點的函數值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內只有一個極值如果區(qū)間內只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值問題最大值、最小值問題15實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意: :1)建立目標函數建立目標函數;2)求最值求最值;（或最?。┲担ɑ蜃钚。┲岛瘮抵导礊樗蟮淖畲蠛瘮抵导礊樗蟮淖畲簏c，則該點的點，則該點的若目標函數只有唯一駐若目標函數只有唯一駐(4) 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點定義定義;),()(,2)()()2(,),(

12、,),()(212121內的圖形是凹的內的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內任意內任意如果對如果對內連續(xù)內連續(xù)在在設設baxfxfxfxxfxxbabaxf 16;),()(,2)()()2(,),(212121內的圖形是凸的內的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內任意兩點內任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續(xù)內連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf17定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖

13、形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在導數導數內具有二階內具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.18利用函數特性描繪函數圖形利用函數特性描繪函數圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數確定函數)(xfy 的定義域的定義域,對函數進行對函數進行奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態(tài)的討奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態(tài)的討論論,求出函數的一階導數求出函數的一階導數)(xf和二階導數和二階導數)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)(

14、 xf 在在函函數數定定義義域域內內的的全全部部實實根根，用用這這些些根根同同函函數數的的間間斷斷點點或或導導數數不不存存在在的的點點把把函函數數的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個個部部分分區(qū)區(qū)間間.(5) 函數圖形的描繪函數圖形的描繪19第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內確定在這些部分區(qū)間內)(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點凸與拐點（可列表進行討論） ；可列表進行討論） ；第四步第四步 確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢他變化趨勢;第五步第五步 描描出出與與方

15、方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應應的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結結果果畫畫出出函函數數的的圖圖形形.20.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 曲率的計算公式曲率的計算公式21.),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖圓圓為半徑作為半徑作為圓心為圓心以以使使取一點取一點在凹的一側在凹的一側處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在

16、點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy 定義定義,是是曲曲率率中中心心D.是曲率半徑是曲率半徑 .1,1 kk曲率圓曲率圓.3022求極限、1210)sin(coslim) 1 (xxxxx )sinln(cos102limxxxxxexxxxxxe2cossinsin0lim201sincoslimxxxxxe)()(1ln(lim0)(xfxfxf21e二、典型例題二、典型例題23)11(lim)2(exxxxtettttx101)1 (lim)1 ()1ln()1 ()1 (lim210tttttttt20)1ln()1 (limttttetttet2)1ln(11lim02e24

17、)0()1arctan(arctanlim)3(2ananann)1(11lim22nanann 之間）之間）與與在在（1nana 221) 1(lim annnna21arctanarctanlimxxbxax原式原式另解：另解：利用落必達法則利用落必達法則tx125(4)(4).)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數為的次數為分子關于分子關于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21 lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 )(0! 2) 1(1)1 (22xxxx 26.,12

18、2拐點區(qū)間凹凸極值的單調區(qū)間、求函數xxxy解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即222) 1(11xxy,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得222) 1()3(2 xxxy,)1(1)1(133 xx27, 0 y令令. 0 x得可能拐點的橫坐標得可能拐點的橫坐標, 1 xyy不存在的點為不存在的點為、干個區(qū)間，列表討論干個區(qū)間，列表討論這些點將定義域分成若這些點將定義域分成若28x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大值極大值0拐點拐點00 x31y y y 極小值極小值0 )3

19、, 1(), 3( 3xy極大值極大值, 323 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐點為拐點為29 3、判斷方程 有幾個實根。 )0( aaxex解：令 axexfx)(0)(),1 ()(xfxexfx由由則則得唯一駐點 1x)(,0)(,1xfxfx 時時當當單調增加； )(,0)(,1xfxfx 時時當當單調減少 的的極極大大值值是是故故)() 1 (1xfaef若 ，方程無實根。 0) 1 (,1fea則則xyo 若 ， 0) 1 (,1fea則則0)(lim,)(limaxfxfxx又又所以原方程僅有兩個實根。 若 方程有唯一實根。 0) 1 (,1fea則則30、不等式

20、的證明：4(1)利用微分中值定理。 ,),()()(,內取得最大值內取得最大值在在且且上上設在設在例例axfMxfa001 證明證明Maaff)()(0證明證明內取得最大值內取得最大值且在且在上可導上可導在在因為因為),(,)(aaxf00所以最大值點一定是駐點， .)(),(00cfac使使即存在一點即存在一點用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理上對上對在在)(,xfc0)()()(001 cffcf ),(c01 用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理上對上對在在)(,xfac)()()(cafcfaf 2 ),(ac2 31(2).利用函數單調性 2例例.abbaeab，證明，證明設設證明

21、：證明：;lnlnbaabbaab，只需證，只需證要證要證0)(,lnln)(afaxxaaxxf令令)(01ln)(axxaxaaxf時單調增加，時單調增加，在在axxf)()()(10 f cf 即即)()()(2 fcaaf )()()()()(210 fcafcaff MaMcacM)(320)()(afbfab時，有時，有于是當于是當;lnlnbaab即即.abba (3).利用函數的極值與最值3例例 設 ,且0 1 ，證明0 x .1 xx證明：作函數 ,)(xxxf ),1()(11 xxxf令 , 得 ; 0)( xf1x當 時 ，；當 時， ； 10 x0)( xf1x0)(

22、 xf33 故在 處取得極大值 ;1x 1) 1 (f因為在區(qū)間上只有一個極大值，而無極小值， 故極大值就是最大值， 因此當 時， 0 x 1)(xf 1xx(4).利用函數的凹凸性. 例4 設 為正實數，試證ba,babababa)2(證明：只要證明 2ln)(lnlnbababbaa342ln2)lnln(21bababbaa即即證證明明作函數 xxxfln)()0(x01)(ln1)( xxfxxf是凹函數, )(xfy 所以對任意 有 , 0,ba)2(2)()(bafbfaf,2ln2)lnln(21bababbaababababa)2(所所以以35（5）利用泰勒公式5例例 設 ,

23、且 ,證明 . 1)(lim0 xxfx0)( xfxxf)( 證明：由條件知 0)0(f1)(lim0)0()(lim)0(00 xxfxfxffxx由泰勒公式22)()0()0()(xfxffxf 在 與 之間 0 x)(22 fxx xxfxf )(0)(，365、設函數)(xf,)(,Mxfba）內可導，且）內可導，且在（在（上有界。上有界。在在證明證明),()(baxf，證明：取定一點證明：取定一點),(0bax ),(0baxx的任一點的任一點對異于對異于)()()(00 xxfxfxf 之間之間與與在在0 xx )()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf )()(0

24、abMxf)()(0abMxfK取取）（ba,)(Kxf376 設實數naaa,10滿足下述等式01210naaan證明方程010nnxaxaa在 ( 0 , 1) 內至少有一個實根 .證證: 令,)(10nnxaxaaxF則可設121012)(nnxnaxaxaxF,0) 1 ()0( FF）內可導，）內可導，上連續(xù)，在（上連續(xù)，在（在在且且10 1 , 0)(xF由羅爾定理可知存在一點, ) 1 , 0(,0)( F使使010nnxaxaa即即在 ( 0 , 1)內至少有一個實根 .38內可導，且上連續(xù)，在在、設) 1 , 0( 1 , 0)(7xf）使）使（證明至少存在一點證明至少存在一

25、點1 , 0, 0) 1 ( f)( f.)(2 f證證: : 問題轉化為證.0)(2)( ff因此設輔助函數. )()(2xfxx )(x 在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件,故至少存在一點使使) 1 ,0( .0)()(2)(2 ff)( f.)(2 f398 8)1 , 0(21)(:, 1)(),1 ()0(, 1 , 0)( xxfxfffxf證明且上二階可微在若函數證證, 100 x設設有有展展成成一一階階泰泰勒勒公公式式處處把把在在,)(xfx02000021)()()()(xxfxxxfxfxf 則則有有令令,10 xx201000210 xfxxfxff)()()()( 20

26、200012111)()()()(xfxxfxff )(1)(240202201012121)()()(xfxfxf ),()(10ff注意到注意到則有則有,)(1 xf2020012121)()(xxxf412120)(x,知知又又由由100 x,21210 x210)(xf于是有于是有.,可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由0 x)()(12 41一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 一元函數微分學的三個中值定理的結論都有一個一元函數微分學的三個中值定理的結論都有一個共同點，即共同點，即（ ）（A A） 它們都給出了點的求法它們都給出了點的求法 . .（B B） 它們都肯定了點一定存

27、在，且給出了求的它們都肯定了點一定存在，且給出了求的方法。方法。（C C） 它們都先肯定了它們都先肯定了 點一定存在，而且如果滿足點一定存在，而且如果滿足定理條件，就都可以用定理給出的公式計算的定理條件，就都可以用定理給出的公式計算的值值 . .（D D） 它們只肯定了的存在，卻沒有說出的值是它們只肯定了的存在，卻沒有說出的值是什么，也沒有給出求的方法什么，也沒有給出求的方法 . .測測 驗驗 題題D422 2、 若若)(xf在在),(ba可導且可導且)()(bfaf , ,則則（ ）（A A） 至少存在一點至少存在一點),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在點一定不存在點),(

28、ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存在一點恰存在一點),(ba ，使，使0)( f；（D D） 對任意的對任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可導，且方程可導，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 兩個不同的根兩個不同的根 與與 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 沒有；沒有；（D D） 無法確定無法確定. .DA43 4 4、如果、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導，可導，c為介于為介于 ba,之間的任一點，那么在之間

29、的任一點，那么在),(ba（ ）找到兩點）找到兩點 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無法確定能）無法確定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內可導，且內可導，且 ),(bax 時，時，0)( xf，又，又0)( af, ,則則（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上單調增加，且上單調增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上單調增加，且上單調增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上單調減少，且上

30、單調減少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上單調增加，但上單調增加，但)(bf的的 正負號無法確定正負號無法確定. .DD44 6 6、0)(0 xf是可導函數是可導函數)(xf在在0 x點點處有極值的處有極值的（ ）. .（A A） 充分條件；充分條件；（B B） 必要條件必要條件（C C） 充要條件；充要條件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 條件條件. . 7 7、若連續(xù)函數在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小、若連續(xù)函數在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小 值，則值，則（ ）. . （A A）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值； （B B）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值； （C C）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）極大值必大于極小值）極大值必大于極小值 . .BC45 8 8、若在、若在),(ba內，函數內，函數)(xf的一階導數的一階導數0)( xf， 二階導數二階導數0)( xf, ,則函數則函數)(xf在此區(qū)間內在此區(qū)間內( ( ). ).（A A