空間向量與立體幾何知識點與例題_1401

1、空間向量與立體幾何知方法總結一知識要點。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。uuur uuur uuur rvuuuruuuruuurrr uuurrOB OA AB a b ; BAOAOBab ; OPa(R)運算律：加法交換律：abb a加法結合律：數乘分配律：(ab)ca(bc)(ab )ab運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表

2、示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量， a 平行于 b ，記作 a / b 。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在實數 ，使 a b 。（3）三點共線： A 、B、 C 三點共線 <=><=>（4）與 a 共線的單位向量為aaABACOCxOAyOB(其中 xy1)4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。rrr r（ 2）共面向量定理：如果兩個向量rx, y 使ra,b 不共線，p 與向量a, b 共面的條件是存在實數

3、rrpxayb 。（3）四點共面：若 A 、 B、 C、 P 四點共面 <=> APx ABy AC<=> OPxOAyOBzOC (其中 xyz1)rrr r5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b , c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個唯一的有rrrr序實數組 x, y, z ，使 pxaybzc 。r rrr r rr rr若三向量 ab,c不共面，我們把 a, b , c 叫做空間的一個基底，a, b, c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。x, y, z ，推論：設 O, A, B, C 是不共面的四點，則對空間任一點P

4、，都存在唯一的三個有序實數uuuruuuruuuruuur使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：在空 間直 角坐 標系 Oxyz 中， 對空 間任 一點 A ， 存在 唯一 的有 序實 數組 ( x, y, z) ，使OAxiyizk ，有 序實 數組 ( x, y, z) 叫作向量A 在空間直角 坐標系Oxyz 中的坐標，記作A(x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎坐標。注：點 A（x,y,z）關于 x 軸的的對稱點為 (x,-y,-z),關于 xoy 平面的對稱點為 (x,y,-z).即點關于什么軸/平面對稱，什么

5、坐標不變，其余的分坐標均相反。在y 軸上的點設為 (0,y,0),在平面 yOz 中的點設為(0,y,z)r r r（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直， 且長為 1，這個基底叫單位正交基底， 用 i, j, k 表示。空間中任一向量 axiy jzk =（ x,y,z）（3）空間向量的直角坐標運算律：rrrr若 a (a1, a2 , a3 ) ， b(b ,b ,b ) ，則 ab (a b , a b ,a b ) ，rr123112233r( a1, a2 , a3 )(R) ，a b (a b , a b ,a b ) ， arr112233a b a1b1a2b2a3b3 ，

6、rra / b a1b1,a2b2 , a3b3 (R) ，rraba1b1a2b2a3b30 。若 A( x1, y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則uuurAB( x2x1, y2y1 , z2z1 ) 。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。 定 比 分 點 公 式 ： 若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 )， AP( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推導：設 P（x,y,z）則 (x x yy ,z1111,1顯然，當 P 為 AB 中點時， P( x1x2 , y1 y

7、2 , z1z2 )222ABC中， A（x1, y1 , z1）,B(x2 , y2 , z2 ), C( x3, y3, z3 )， 三P( x1x2x3 , y1 y2y3 , z1z2z3 )322PB，則點P坐標為z1)(x2x, y2y,z2z) ,角形重心P坐標為 ABC的五心：內心 P：內切圓的圓心，角平分線的交點。外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點。AP( ABAC ) （單位向量）ABACPAPBPC垂心 P：高的交點： PA PB PA PCPB PC （移項，內積為0，則垂直）：中線的交點，三等分點（中位線比）AP1(ABAC)重心 P3中心：正三角形的所有心的合一。

8、rr（4）模長公式：若 a(a1, a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，rr r2a222rr r2b222則 | a |a aa1a3 ， | b |b bb1b3r rrra1b1a2b2a3b3ra b。（5）夾角公式： cos a bra12a2 2a32 b12b22b32| a | | b |ABC中 AB ? AC0<=>A為銳角 AB ? AC0 <=>A為鈍角，鈍角（6）兩點間的距離公式：若A(x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur 2x1 )2y1 )2z1 )2 ，則|AB|AB(

9、x2( y2(z2或 d A, B( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )27. 空間向量的數量積。uuurr uuurrrr（1）空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量 a, b ，在空間任取一點 O ，作 OAa, OBb ，則rrrr；且規(guī)定0r r，顯然有AOB 叫 做 向 量 a與 b 的 夾 角 ， 記 作a,ba, brrrrrrrrrra,bb , a ；若a, b2，則稱 a 與 b 互相垂直，記作： ab 。uuurruuurrr（2）向量的模：設 OAa，則有向線段 OA 的長度叫做向量 a 的長度或模，記作：| a | 。（ 3）向量的數量積：已知向量r

10、rrrr rr rr rra,b ，則 | a | b | cos a, b叫做 a,b 的數量積，記作a b ，rrrrr。即 a b|a | | b | cosa, b（4）空間向量數量積的性質：rrrrr 2r rr rrr r ae| a | cosa, e。 aba b0 。 | a |a a 。（5）空間向量數量積運算律：rrrrr (rrrrra)b(ab )a( b ) 。 a bb a （交換律）。rrrrrrr a(bc )abac （分配律）。不滿足乘法結合率： (ab)c a(bc)二空間向量與立體幾何(高考答題必考 )1線線平行兩線的方向向量平行1-1 線面平行線的方

11、向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線線夾角兩條異面直線所成的角：1、定義：設 a、b 是兩條異面直線，過空間任一點O 作直線 a/ / a,b/ / b ，則 a/與 b/ 所夾的銳角或直角叫做 a 與 b 所成的角022、范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是r rcos | cosa br r| rrab3、向量求法：設直線 a、 b 的方向向量為 a 、 b ，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等

12、，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角3-2 線面夾角0O ,90 O ：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP 與P面的法向量 n 的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角. sincos AP, n,023-3 面面夾角（二面角） 0O ,180 O :（1）若 AB 、CD 分別是二面角luuur uuur直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB 與 CD 的夾角（如圖（ a）所示）uruururuur（2）設 n1 、 n2 是二面角l的兩個角、的法向量，則向量n1 與 n2是二面角的平面角的大小（如圖（b）所示）nAA的兩個面內

13、與棱l 垂的夾角（或其補角）就若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1 , n 2 的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角 .coscosn1 , n24 點面距離 h ：如圖（ a）所示， BO 平面，垂足為 O，則點 B 到平面的距離就是線段BO 的長度若 AB 是平面的任一條斜線段，uuuruuuruuuruuurcosABO=BABO cos ABO則在 Rt BOA 中， BOBAcos ABOuuurBOr如果令平面的法向量為n ，考慮到法向量的方向，可以得到 B 點到平面的距離為uuuruuurrh=ABnBOr4-1 線面距離（線面n平行）：轉化為點面距

14、離4-2 面面距離（面面平行）：轉化為點面距離應用舉例：例 1：如右下圖 , 在長方體 ABCDA1B1C1D1 中 ,已知 AB= 4, AD=3,AA1= 2. E、F 分別是線段 AB、BC上的點，且 EB= FB=1.(1)求二面角 CDE C1 的正切值 ;(2)11求直線 EC與 FD 所成的余弦值 .uur uuur uuur解：（I ）以 A 為原點， AB, AD , AA1 分別為 x 軸，y 軸,z 軸的正向建立空間直角坐標系，則 D(0,3,0) 、D1(0,3,2) 、E(3,0,0) 、F(4,1,0) 、C1(4,3,2)uuuruuuruuur于是， DEr(3

15、, 3,0), EC1 (1,3,2), FD1( 4,2,2)( x, y,2) 與平面 CDE垂直，則有設法向量 nruuur13x3 y0nDEy1ruuurxnEC1x3y2z 0r( 1,1, 2),nuuurQ 向量 AA1(0, 0, 2) 與平面 CDE 垂直 ,ruuurn與 AA1 所成的角為二面角 CDEC1的平面角ruuurQ cos tann ? AA11010226ur uuuur3| n | | AA1 |1 1 40 0 422（II ）設 EC1 與 FD1 所成角為，則uuuruuurcosEC1? FD11(4)322221uuuuruuur14|EC1|

16、 |FD1 |123222( 4)22222例 2：如圖，已知四棱錐 P-ABCD，底面 ABCD是菱形，0DAB=60，PD平面 ABCD，PD=AD，點 E 為 AB中點，點 F為 PD中點。（1）證明平面 PED平面 PAB；（2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值0證明：（1）面 ABCD是菱形， DAB=60， ABD是等邊三角形，又 E 是 AB中點，連結 BD000 EDB=30， BDC=60， EDC=90，13，如圖建立坐標系 D-ECP，設 AD=AB=1，則 PF=FD= ，ED=22 P （0，0，1），E（ 3 ，0，0），B（ 3 ， 1 ，0）222uuu

17、ruuur3 ，0， -1 ），PB=（ 3，1 ，-1）， PE= （222uuurr平面 PED的一個法向量為DC =（0，1，0） ，設平面 PAB的法向量為 n =（ x, y, 1)ruuur( x, y,1) ?(31, 1)0312nPB2,xy 1 0r2222x,0,1)由 ruuur3 n =（3nPE( x, y,1) ?(3 ,0,1)03 x1 0y 022uuurruuurr平面 PED平面 PAB DC · n =0 即 DC nr2(2) 解: 由 (1) 知平面 PAB的法向量為 n （=3r, 0, 1), 設平面 FAB的法向量為 n 1 （=x

18、, y, -1) ，由（ 1）知： F（0，0， 1uuur3 ，1，- 1uur（3 ，0，- 1 ），）， FB =（），F(xiàn)E =222222ruuur3113111n1FB( x, y, 1) ?(, ,) 0xy0x由2222223ruuur( x, y,1) ?( 3 ,0,1)03 x10yn1FE02222r1 ,0,- 1) n 1=（-3二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos = |cos<r,rn>| =n 1rrn ? n1 r rn ? n15 714例3：在棱長為 4的正方體 ABCD-A1B1C1D1中， O是正方形 A1 B1C1D1的中心，點

19、 P在棱 CC1上，且CC1=4CP.( ) 求直線 AP與平面 BCC1B1所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示） ；( ) 設O點在平面 D1AP上的射影是 H，求證： D1 HAP；( ) 求點 P到平面 ABD1的距離 .解: ( ) 如圖建立坐標系 D-ACD1, 棱長為 4A（4，0，0），B（4， 4，0）， P（0，4， 1）uuuruuurAP =(-4,4,1) ,顯然 DC =（0，4，0）為平面 BCCB 的一個法向量11直線 AP與平面 BCC1B1所成的角的正弦值 sin =uuuruuur16433|cos< AP ,DC >|=421? 423342為銳角，直線 AP與平面 BCCB 所成的角為 arcsin4331133( ) 設平面 ABD的法向量為r=（x, y, 1) ，n1uuuruuuur AB =（0，4，0）， AD1 =（-4 ，0，4）ruuurruuuur得 y 0r由 n AB ， n AD1 n =（1, 0, 1)，4x40uuurr點 P到平面 ABD的距離 d =AP ?n 3 2r1n 2例 4：在長、寬、高分別為 2，2，3 的長方體 ABCD-A1B1C1D1 中， O是底面中心，求 A1 O 與 B1C的距離。解：如圖