實(shí)數(shù)集與函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)(shsh)集與函數(shù)集與函數(shù)第一頁，共96頁。第1頁/共95頁第二頁，共96頁。1. 我們(w men)用符號“” 表示“任取”或“對于(duy)任意的”或“對于(duy)所有的” ,符號“” 稱為全稱量詞.幾個(gè)常用符號幾個(gè)常用符號第2頁/共95頁第三頁，共96頁。2. 我們(w men)用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實(shí)數(shù)(shsh)x, 都存在實(shí)數(shù)(shsh)y, 使得x+y=1”可表示為“xR, yR,使x+y=1”符號(fho)“”稱為存在量詞.第3頁/共95頁第四頁，共96頁。3. 我們用符號(fho)“”表示“充分條件”比如, 若用p, q分別表示兩個(gè)(l

2、in )命題或陳述句. 或 “推出” 這一意思(y s).則“ p q”表示“ 若p成立, 則q也成立”. 即p是q成立的充分條件.第4頁/共95頁第五頁，共96頁。4. 我們用符號(fho)“”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”比如(br)“p q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立” 或者說p成立的充要條件是q成立.或 “充要條件” 這一意思(y s).第5頁/共95頁第六頁，共96頁。1.集合集合 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 集合可用大寫的字母A, B, C, D 等標(biāo)識.元素 組成集合的事物稱為集合的元素. 集合的元素可用小寫(xioxi)的字母a, b, c, d 等標(biāo)識. a是集合M的元素記為a

3、M, 讀作a屬于M. a不是集合M的元素記為aM, 讀作a不屬于M.第6頁/共95頁第七頁，共96頁。v集合(jh)的表示v列舉法 v 把集合(jh)的全體元素一一列舉出來. v 例如Aa, b, c, d, e, f, g. v描述法 v 若集合(jh)M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為v Mx | x具有性質(zhì)P . v 例如M(x, y)| x, y為實(shí)數(shù), x2y21. 第7頁/共95頁第八頁，共96頁。v幾個(gè)數(shù)集v 所有(suyu)自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N, 稱為自然數(shù)集.v 所有(suyu)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為R, 稱為實(shí)數(shù)集.v 所有(suyu)整數(shù)構(gòu)成的集合

4、記為Z, 稱為整數(shù)集.v 所有(suyu)有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q, 稱為有理集.v子集v 如果集合A的元素(yun s)都是集合B的元素(yun s), 則稱A是B的子集, 記為AB(讀作A包含于B).v AB若xA, 則xB.v 顯然, NZ, ZQ, QR.第8頁/共95頁第九頁，共96頁。2.集合的運(yùn)算 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 則 ABx|xA或xB稱為A與B的并集(簡稱并). ABx|xA且xB稱為A與B的交集(jioj)(簡稱交). ABx|xA且xB稱為A與B的差集(簡稱差). ACIAx|xA為稱A的余集或補(bǔ)集, 其中I為全集.提示: 如果研究(ynji)某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合

5、I中進(jìn)行, 所研究(ynji)的其他集合A都是I的子集. 則稱集合I為全集或基本集. 第9頁/共95頁第十頁，共96頁。v集合(jh)運(yùn)算的法則v 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合(jh), 則有v (1)交換律 ABBA, v ABBA; v (2)結(jié)合律 (AB)CA(BC), v (AB)CA(BC); v (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), v (AB)C(AC)(BC); v ( 4 ) 對 偶 律 ( AB ) CA CB C , (AB)CACBC. (AB)CACBC的證明(zhngmng)所以(suy)(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(

6、AB)C第10頁/共95頁第十一頁，共96頁。v直積(笛卡兒乘積) v 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合(jh), 則有序?qū)?jh)v AB(x, y)|xA且yBv稱為集合(jh)A與集合(jh)B的直積.v 例如, RR(x, y)| xR且yR 即為xOy面上全體點(diǎn)的集合(jh), RR常記作R2. 第11頁/共95頁第十二頁，共96頁。說明(shumng): 對于負(fù)實(shí)數(shù)(shsh)x,y,若有-x = -y與-x -y, 則分別稱x = y與x x)3.實(shí)數(shù)(shsh)集v兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系 說明: .自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90),

7、2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn=+或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL 定義1 第12頁/共95頁第十三頁，共96頁。定義(dngy)2 LLLL, 2 , 1 , 0101.210210=+=，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數(shù)位不足近似的為實(shí)數(shù)稱有理數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)設(shè)說明(shumng): .101.210210210nnnnnnaaaaxaaaa

8、xnaaaaxLLLL-=-=-=與分別規(guī)定為位不足近似與過剩近似的負(fù)實(shí)數(shù)說明(shumng): .,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大時(shí)不增當(dāng)過剩近似即有增大時(shí)不減當(dāng)?shù)牟蛔憬茖?shí)數(shù)第13頁/共95頁第十四頁，共96頁。命題(mng t)1 .,:.位過剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要條件是則為兩個(gè)實(shí)數(shù)與設(shè)nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn$=+LL第14頁/共95頁第十五頁，共96頁。v實(shí)數(shù)(shsh)的性質(zhì) 1.實(shí)數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉(fngb)的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù). 2.實(shí)數(shù)集是

9、有序的.即任意兩個(gè)(lin )實(shí)數(shù)a, b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一: a b .第15頁/共95頁第十六頁，共96頁。3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系(gun x)具有傳遞性.即若a b, b c,則有acv實(shí)數(shù)(shsh)的性質(zhì) .，則存在正整數(shù) n,使得 nb a. 即對任何4.實(shí)數(shù)具有阿基米德性,a b 0,第16頁/共95頁第十七頁，共96頁。5.實(shí)數(shù)(shsh)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)(shsh)之間幾有另一個(gè)實(shí)數(shù)(shsh),且既有在理數(shù),也有無理數(shù).6.實(shí)數(shù)(shsh)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)(shsh)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代

10、表一個(gè)實(shí)數(shù)(shsh).v實(shí)數(shù)(shsh)的性質(zhì) 第17頁/共95頁第十八頁，共96頁。例1 證明(zhngmng) .:,yrxr，yx滿足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn+=即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于第18頁/共95頁第十九頁，共96頁。.,:,babaRba+則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee例2 .,.bababababa，+從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee證明(zhngmng) 第19頁/共95頁第二十頁，共96頁。3.小結(jié)(xioji) P9: 1, 2, 3, 4,

11、5.(1), 兩個(gè)實(shí)數(shù)(shsh)的大小關(guān)系;:作業(yè)(2), 實(shí)數(shù)(shsh)的性質(zhì);(3), 區(qū)間和鄰域的概念;(4), 確界原理.第20頁/共95頁第二十一頁，共96頁。第21頁/共95頁第二十二頁，共96頁。 數(shù)集x|axb稱為(chn wi)開區(qū)間,記為(a, b), 即 (a, b)=x|axb. a, b=x|axb閉區(qū)間(q jin). a, b)=x|axb半開區(qū)間, (a, b=x|axb半開區(qū)間.v有限(yuxin)區(qū)間 上述區(qū)間都是有限區(qū)間, 其中a和b稱為區(qū)間的端點(diǎn), b-a 稱為區(qū)間的長度.1.區(qū)間和鄰域 第22頁/共95頁第二十三頁，共96頁。 (-, b= x|x

12、b, (-, +)= x| |x|+. a, +)= x|ax,v無限(wxin)區(qū)間 (-, b)= x|xb, (a, +)= x|a0, 則稱v U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a|v為點(diǎn)a的鄰域, 其中點(diǎn)a稱為(chn wi)鄰域的中心, 稱為(chn wi)鄰域的半徑.v去心鄰域(ln y)U(a, )=x|0|x-a|+=NMnMnMN，).()()(),()(下界的一個(gè)上界稱為數(shù)的數(shù)集下界為有上界則稱都有使得對一切若存在數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SLM，SLxMxS，x，LM，RS.有下界而無上界為正整數(shù)數(shù)集例如nnN=+第25頁/共95頁第二十六頁，共96頁。定義(dngy

13、)2 說明(shumng): Sxx1x2x3x4x5xn,)(xa$xSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RSxxx.supS，S=xx記作的上確界為數(shù)集則稱數(shù) 同理可得下確界的定義(dngy).定義3: ;.,)(的下界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RShhh.inf,)(00S，S，SxSxii=hhhbhb記作的下確界為數(shù)集則稱數(shù)的最大下界又是即使得第26頁/共95頁第二十七頁，共96頁。u 確界原理(yunl) 設(shè)S為非空數(shù)集,若S有上界(shngji),則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界.例3 設(shè) A, B

14、為非空數(shù)集,滿足:.,yxByAx有證明數(shù)集 A有上確界, 數(shù)集B有下確界,且.infsupBA證: 故有確界原理(yunl)知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界. 是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知,Byy由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù) 都是數(shù)集A的上界, y A中任一數(shù) 都是B的下界,xy.supA 是數(shù)集A的最小上界, 故有supA第27頁/共95頁第二十八頁，共96頁。下確界都存在的上因此，S設(shè)設(shè)A,B為非空有限數(shù)集為非空有限數(shù)集, . 證明證明:BAS= 而此式又表明數(shù) 是數(shù)集B的一個(gè)下界, supA 故由下確界的定義證得 .infsupBA例4 證:顯然是非空有界數(shù)集由于BAS=BxAx

15、BxAxSxisupsup,)(或或有,sup,supmaxBAx 從而有;sup,supmaxsup)(BASi=.inf,infmininf)(BASii=supS;sup,supmaxBA 故得第28頁/共95頁第二十九頁，共96頁。,supsupsup,SASxSxAx，另一方面.supsupSB 同理又有 綜上,即證得.sup,supmaxsupBAS = (ii) 可類似(li s)證明.supS.sup,supmaxBA 所以第29頁/共95頁第三十頁，共96頁。3.小結(jié)(xioji) P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1), 兩個(gè)實(shí)數(shù)(shsh)的大小關(guān)系;:作業(yè)(2),

16、實(shí)數(shù)(shsh)的性質(zhì);(3), 區(qū)間和鄰域的概念;(4), 確界原理.第30頁/共95頁第三十一頁，共96頁。第31頁/共95頁第三十二頁，共96頁。說明(shumng): 記號(j ho)f和f(x)的區(qū)別: 前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則, 而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值. 說明(shumng): 為了敘述方便, 常用記號“f(x), xD”或“y=f(x), xD”來表示定義在D上的函數(shù), 這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f . 說明: 函數(shù)的記號是可以任意選取的, 除了用f 外, 還可用“g”、“F”、“”等, 此時(shí)函數(shù)就記作y=g(x)、 y=F(x)、y=(x)等. 但在

17、同一問題中, 不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號. 設(shè)數(shù)集DR, 則稱映射f : D R為定義在D上的函數(shù), 通常簡記為 y=f(x), xD, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作Df, 即Df=D. 1.函數(shù)概念 v定義 第32頁/共95頁第三十三頁，共96頁。 構(gòu)成函數(shù)(hnsh)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f. 如果兩個(gè)函數(shù)(hnsh)的定義域相同, 對應(yīng)法則也相同, 那么這兩個(gè)函數(shù)(hnsh)就是相同的, 否則就是不同的. v函數(shù)(hnsh)的兩要素 函數(shù)(hnsh)的定義域通常按以下兩種情形來確定: 對有實(shí)際背景的函數(shù)(hnsh), 根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.

18、v函數(shù)的定義域 對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù), 其定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合, 這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域. 第33頁/共95頁第三十四頁，共96頁。 表示函數(shù)(hnsh)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法). 用圖形法表示函數(shù)(hnsh)是基于函數(shù)(hnsh)圖形的概念, 坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集 P(x, y)|yf(x), xD稱為函數(shù)(hnsh)yf(x), xD的圖形. v函數(shù)(hnsh)的表示法第34頁/共95頁第三十五頁，共96頁。v單值函數(shù)與多值函數(shù)v 在函數(shù)的定義中,對每個(gè)xD, 對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). v 如果給定(

19、i dn)一個(gè)對應(yīng)法則, 按這個(gè)法則, 對每個(gè)xD, 總有確定的y值與之對應(yīng), 但這個(gè)y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定(qudng)的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù): 此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到(d do)一個(gè)單值分支 第35頁/共95頁第三十六頁，共96頁。 此函數(shù)(hnsh)稱為絕對值函數(shù)(hnsh), 其定義域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)镽f =0, + ).例 6. 函數(shù)-=0 0 |xxxxxy. 例6 例例5 函數(shù)函數(shù)(hnsh) y=2. 這是一個(gè)常值函數(shù)這是一個(gè)常值函數(shù)(hnsh),其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)槠?/p>

20、值域?yàn)镽f =2.v函數(shù)(hnsh)舉例 第36頁/共95頁第三十七頁，共96頁。 此函數(shù)稱為(chn wi)符號函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-, +) ,其值域?yàn)镽f =-1, 0, 1. 例例8 函數(shù)函數(shù)(hnsh)y=x. 例7 例 7. 函數(shù)=01000 1sgnxxxxy . 注: 設(shè)x為任上實(shí)數(shù), 不超過(chogu)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分, 記作x. 此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-, +),其值域?yàn)镽f =Z.第37頁/共95頁第三十八頁，共96頁。例 6. 函數(shù)+=1110 2xxxxy . 例9 此函數(shù)(hnsh)的定義域?yàn)镈=0, 1(0, +)=0, +). f(

21、3)=1+3=4.2212)21(=f 2 1 2) 1 (=f v分段(fn dun)函數(shù)v 在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段(fn dun)函數(shù). 當(dāng) x1 時(shí), y=1+x. 第38頁/共95頁第三十九頁，共96頁。2.反函數(shù) 設(shè)函數(shù) f : Df(D)是單射, 則它存在(cnzi)逆映射 f 1: f(D)D, 稱此映射f 1為函數(shù) f 的反函數(shù). 按習(xí)慣(xgun), yf(x), xD的反函數(shù)記成yf 1(x), xf(D). 例如, 函數(shù)(hnsh)yx3, xR是單射, 所以它的反函數(shù)(hnsh)存在, 其反函數(shù)(hnsh)為 31yx=, y

22、R. 函數(shù)y=x3, xR的反函數(shù)是提問: 下列結(jié)論是否正確？第39頁/共95頁第四十頁，共96頁。2.反函數(shù)v反函數(shù)(hnsh)v 設(shè)函數(shù)(hnsh) f : Df(D)是單射, 則它存在逆映射v f 1: f(D)D, v稱此映射f 1為函數(shù)(hnsh) f 的反函數(shù)(hnsh). 按習(xí)慣(xgun), yf(x), xD的反函數(shù)記成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定義在D上的單調(diào)函數(shù), 則 f : Df(D)是單射, 于是 f 的反函數(shù)f 1必定存在, 而且(r qi)容易證明f 1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 第40頁/共95頁第四十一頁，共96頁。 相對于反函數(shù)(hnsh)y

23、f 1(x)來說, 原來的函數(shù)(hnsh)yf(x)稱為直接函數(shù)(hnsh). 函數(shù)(hnsh)yf(x)和yf 1(x)的圖形關(guān)于直線 yx 是對稱的. v反函數(shù)(hnsh)v 設(shè)函數(shù)(hnsh) f : Df(D)是單射, 則它存在逆映射v f 1: f(D)D, v稱此映射f 1為函數(shù)(hnsh) f 的反函數(shù)(hnsh). 按習(xí)慣(xgun), yf(x), xD的反函數(shù)記成yf 1(x), xf(D). 第41頁/共95頁第四十二頁，共96頁。3.復(fù)合(fh)函數(shù) 設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1, 函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1, 則由 yfg(x), xD確定的函數(shù)稱為由

24、函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成(guchng)的復(fù)合函數(shù), 它的定義域?yàn)镈, 變量u稱為中間變量. 函數(shù) g與函數(shù) f 構(gòu)成(guchng)的復(fù)合函數(shù)通常記為f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 說明: g與f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f o g的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域Df 內(nèi), 即g(D)Df . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如第42頁/共95頁第四十三頁，共96頁。4.函數(shù)(hnsh)的運(yùn)算 設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x), g(x)的定義域依次為D1, D2, DD1D2, 則可以定義這兩個(gè)函數(shù)(hnsh)的下列運(yùn)算: 和(差) f g : (f

25、 g)(x)f(x)g(x), xD; 積 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;第43頁/共95頁第四十四頁，共96頁。 例10 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l, l), 證明必存在(cnzi)(l, l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示(tsh): 如果(rgu)f(x)g(x)h(x), 則f(x)g(x)h(x), 于是 證 則 f(x)=g(x)+h(x), 且)()()(21)(xgxfxfxg=+-=-)()()(21)(xgxfxfxg=+-=-, )()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-=-=-=-)(

26、)()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-=-=-=-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-=-=-=-. 第44頁/共95頁第四十五頁，共96頁。冪函數(shù): yx (R是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): ya x(a0且a1); 對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh): yloga x (a0且a1), 特別當(dāng)ae時(shí), 記為yln x; 三角函數(shù): ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函數(shù)(snjihnsh): yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . v基本初等(

27、chdng)函數(shù) 第45頁/共95頁第四十六頁，共96頁。(一)冪函數(shù)的圖形(txng) 第46頁/共95頁第四十七頁，共96頁。第47頁/共95頁第四十八頁，共96頁。同一同一(tngy)坐標(biāo)系中冪函數(shù)的圖坐標(biāo)系中冪函數(shù)的圖象象)( 是是常常數(shù)數(shù) = = xyoxy)1 , 1(112xy = =xy = =xy1= =xy = =第48頁/共95頁第四十九頁，共96頁。(二)指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)的圖形 第49頁/共95頁第五十頁，共96頁。同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)的圖象的圖象)1, 0( = =aaayxxay = =xay)1(=

28、=)1( a)1 , 0( 第50頁/共95頁第五十一頁，共96頁。(三)對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)的圖形 第51頁/共95頁第五十二頁，共96頁。同一同一(tngy)坐標(biāo)系中對數(shù)函數(shù)坐標(biāo)系中對數(shù)函數(shù)的圖象的圖象)1, 0(log = =aaxyaxyalog= =xya1log= =)1( a)0 , 1( 第52頁/共95頁第五十三頁，共96頁。正弦(zhngxin)函數(shù)的圖象xysin= =xysin=(四)三角函數(shù)(snjihnsh)的圖形 第53頁/共95頁第五十四頁，共96頁。xycos= =xycos=余弦函數(shù)(hnsh)的圖象第54頁/共95頁第五十五頁，共96頁。第5

29、5頁/共95頁第五十六頁，共96頁。第56頁/共95頁第五十七頁，共96頁。(五)反三角函數(shù)(snjihnsh)的圖象第57頁/共95頁第五十八頁，共96頁。第58頁/共95頁第五十九頁，共96頁。第59頁/共95頁第六十頁，共96頁。第60頁/共95頁第六十一頁，共96頁。 設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1, 函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1, 則由 yfg(x), xD確定(qudng)的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域?yàn)镈, 變量u稱為中間變量. 函數(shù) g與函數(shù) f 構(gòu)成(guchng)的復(fù)合函數(shù)通常記為f o g, 即 (f o g)(x)fg

30、(x). 說明: g與f 構(gòu)成(guchng)的復(fù)合函數(shù)f o g的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域Df 內(nèi), 即g(D)Df . 否則, 不能構(gòu)成(guchng)復(fù)合函數(shù). 例如v復(fù)合函數(shù) 第61頁/共95頁第六十二頁，共96頁。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限(yuxin)次的四則運(yùn)算和有限(yuxin)次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 都是初等(chdng)函數(shù). 例如(lr), 函數(shù)v初等函數(shù) 第62頁/共95頁第六十三頁，共96頁。雙曲函數(shù) 應(yīng)用(yngyng)上常遇到的雙曲函數(shù)是: 雙曲正弦:2sh xxeex-=雙曲余弦:2c

31、h xxeex-+=雙曲正切:xxxxeeeexxx-+-=chshth v雙曲函數(shù)(hnsh)與反雙曲函數(shù)(hnsh) 第63頁/共95頁第六十四頁，共96頁。v雙曲函數(shù)(hnsh)與反雙曲函數(shù)(hnsh) 雙曲函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)比較(bjio) sin(xy)=sin x cos ycos x sin y. sh(xy)=sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x=1, ch(xy)=ch x ch ysh x sh y, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. 比較 cos(xy)=cos x cos y sin x sin y.

32、第64頁/共95頁第六十五頁，共96頁。v雙曲函數(shù)(hnsh)與反雙曲函數(shù)(hnsh) 反雙曲函數(shù)(hnsh) 雙曲函數(shù) y=sh x, y=ch x, y=th x的反函數(shù)依次(yc)記為 反雙曲正弦: y=arsh x, 反雙曲余弦: y=arch x, 反雙曲正切: y=arth x.可以證明 第65頁/共95頁第六十六頁，共96頁。6.小結(jié)(xioji) P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(1), 基本初等(chdng)函數(shù)的概念;:作業(yè)(2), 基本初等函數(shù)(hnsh)的圖象及性質(zhì);(3), 復(fù)合函數(shù)的概念及性質(zhì);(4), 雙曲函數(shù)的概念;(5), 初等函數(shù)的概念.第66頁

33、/共95頁第六十七頁，共96頁。 (1) 符號符號(fho)函函數(shù)數(shù) = = =010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyoxxx = = sgnv幾個(gè)(j )特殊函數(shù)舉例 第67頁/共95頁第六十八頁，共96頁。(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過(chogu) 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯階梯(jit)曲曲線線x第68頁/共95頁第六十九頁，共96頁。 = = =是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函

34、數(shù)狄利克雷函數(shù)(hnsh)第69頁/共95頁第七十頁，共96頁。(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù)(hnsh)(),(maxxgxfy = =)(),(minxgxfy = =yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第70頁/共95頁第七十一頁，共96頁。 - - - -= =0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12- -= =xy12- -= = xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).第71頁/共95頁第七十二頁，共96頁。第72頁/共95頁第七十三頁，共96頁。1. 單調(diào)(

35、dndio)函數(shù) 單調(diào)遞增(dzng)函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).xyof (x)單調(diào)遞增xyof (x)單調(diào)遞減設(shè)f (x)在(a, b)有定義. 若x1, x2(a, b). x10, 使x(a, b), 有| f (x) |M.則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有界.否則, 稱f (x)在(a, b)內(nèi)無界.第82頁/共95頁第八十三頁，共96頁。若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有上界. M1稱為(chn wi)它的一個(gè)上界,看圖. 若M2, 使x(a, b), 有 M2 f (x), 則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有下界. M2稱為

36、(chn wi)它的一個(gè)下界,看圖.xyo abM2xyoabM1第83頁/共95頁第八十四頁，共96頁。f (x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界(xi ji).易見, 若f (x)在(a, b)有上界M1, 則它在(a, b)有無窮(wqing)多個(gè)上界. 若f (x)在(a, b)有下界(xi ji)M2, 則它在(a, b)有無窮多個(gè)下界(xi ji). 比如M2 1, M2 2, 都是它的下界(xi ji).比如M1 +1, M1 +2, 都是它的上界.第84頁/共95頁第八十五頁，共96頁?？梢宰C明, 在這無窮多個(gè)上界(shngji)中必有一個(gè)最小的

37、上界(shngji)M, 稱為f (x)在(a, b)的上確界.記作)(sup),(xfMbax=在這無窮多個(gè)(du )下界中必有一個(gè)最大的下界m, 稱為f (x)在(a, b)的下確界.記作)(inf),(xfmbax=第85頁/共95頁第八十六頁，共96頁。比如y=sinx, 由于|sinx|1. 所以(suy), 1和1分別是sinx的上界和下界. 若f (x)在(a, b)內(nèi)不滿足(mnz)有界性定義4, 則稱f (x)在(a, b)無界. 且可看出(kn ch)1是sinx的上確界. 而-1是sinx的下確界.即, 若對M 0, $x0(a, b), 使得 | f (x0)| M, 則稱f (x)在(a, b)無界.第86頁/共95頁第八十七頁，共96頁。xy1=比如, , 在(0, 1)內(nèi)無界. xy1=從幾何(j h)上看, 它的圖形不能全部夾在任何兩條平等于x 軸的直線之間.y011x第87頁/共95頁第八十八頁，共96頁。2.反函數(shù) 設(shè)函數(shù) f : Df(D)是單射, 則它存在(cnzi)逆映射 f 1: f(D)D, 稱此映射f 1為函數(shù)