三角形外角的性質(zhì)及應用

1、三角形外角的性質(zhì)及應用蔡志武 阮正法 角是平面幾何中基本的、重要的概念之一，也是學好直線形和圓的基礎。本文談談三角形外角的性質(zhì)及應用。一. 三角形外角的概念及特征如圖1，像acd那樣，三角形的一邊與另一條邊延長線組成的角叫三角形的外角。圖1外角特征：（1）頂點在三角形的一個頂點上，如acd的頂點c是abc的一個頂點；（2）一條邊是三角形的一邊，如acd的一條邊ac正好是abc的一條邊；（3）另一條邊是三角形某條邊的延長線如acd的邊cd是abc的bc邊的延長線。 二. 性質(zhì)1. 三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補。2. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。3. 三角形的一個外角大于任何一

2、個和它不相鄰的內(nèi)角。4. 三角形的外角和等于360。 三. 應用1. 求角的度數(shù)例1. （ 2005年四川省南充中考）一個三角形的兩個內(nèi)角分別是55和65，這個三角形的外角不可能是（ ）a. 115 b. 120 c. 125 d. 130解析：如圖2，a的外角為：180=125。b的外角為：18065=115acb的外角為：55+65=120所以選d。圖2 例2. （2005年浙江省寧波市中考）如圖3，ab/cd，b=23，d=42，則e=（ ）a. 23 b. 42 c. 65 d. 19圖3解析：延長be交cd于f因為ab/cd所以1=b=23bed是edf的外角則bed=1+d=23+

3、42=65故選c。 例3. （2006年重慶市中考）如圖4，ab=ac，bad=，且ae=ad，則edc=（ ）a. b. c. d.圖4解析：設edc=x因為adc是abd的外角所以adc=abc+bad即ade+x=abc+ （1）因為ab=ac，ad=ae所以b=c，ade=aed而aed是dec的外角所以aed=edc+c即aed=x+c （2）將（2）代入（1）得：所以所以選a。 2. 判定三角形的形狀例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個三角形是（ ）a. 銳角三角形b. 直角三角形c. 鈍角三角形d. 以上三種情況都有可能解析：如圖5，在

4、三角形abc中，bac的外角cadbac而cad+bac=180即：cad=180bac所以180bac90故選c圖5 3. 證明兩角相等例5. （2002年福建省龍巖市中考）如圖6，在abc中，ab=ac，d、e分別在bc、ac邊上，且ade=b，ad=de。求證：adbdec。圖6分析：因為adc是adb的外角所以adc=b+bad而ade=b，adc=ade+cde所以ade+cde=ade+bad因此bad=cde又ab=ac，可得b=c而ad=de所以adbdec 例6. （2004年荊州市中考）在等邊三角形中，p為bc上一點，d為ac上一點，且apd=60，bp=1，則abc的邊長

5、為（ ）a. 3 b. 4 c. 5 d. 6圖7分析：因為abc為等邊三角形，所以b=c=60又因為apc是abp的外角所以apc=b+bap而b=apd=60所以bap=cpd又b=c，所以abppcd所以。設abc邊長為x，則解得x=3故選a 4. 證明角度不等關系例7. 已知，如圖8，在abc中，d是三角形內(nèi)一點，求證：bdcbac。圖8證明：延長bd交ac于e在abe中，beca在cde中，bdcbec所以bdca 例8. 已知：如圖9，在abc中，bac=90，adbc于d，e是ad上一點，求證：decabc。圖9證明：因為bac=90所以bad+dac=90又因為adbc所以ad

6、b=90所以abc+bad=90所以abc=dac又因為dec是aec外角所以decdac所以decabc 5. 證明角度的和差關系例9. 如圖10，已知：在abc中，abac，aef=afe，延長ef與bc的延長線交于g，求證：。圖10證明：因為aef=b+g又因為aef=afe，afe=gfc所以aef=gfc所以gfc=b+g 又因為acb=gfc+g +得：acb=b+2g所以 例10. 如圖11，求證：a+b+c+d+e=180。圖11證明：如圖11，1=c+d，2=a+e而1+2+b=180所以a+b+c+d+e=180 練習：1. （1996年昆明市中考）如圖12，、分別是abc的外角，且，則acb等于（ ）a. 20 b. 30 c. 40 d. 80圖122. （2004年陜西省中考）如圖13，在銳角三角形中，cd、be分別是ab、ac邊上的高，且cd、be交于一點p。若a=50，則bpc的度數(shù)是（ ）a. 1