三角函數(shù)應(yīng)用題練習(xí)及問(wèn)題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三角函數(shù)的應(yīng)用題第一階梯例1如圖，adbc，acbc，若ad=3，dc=5，且b=30°，求ab的長(zhǎng)。解：dac=90°由勾股定理，有cd2=ad2+ac2ad=3，dc=5ac=4b=30°ab=2acab=8 例2如圖，abc中，b=90°，d是bc上一點(diǎn)，且ad=dc，若tgdac=,求tgbad。探索：已知tgdac是否在直角三角形中？如果不在怎么辦？要求bad的正切值需要滿足怎樣的條件？點(diǎn)撥：由于已知中的tgdac不在直角三角形中，所以需要轉(zhuǎn)化到直角三角形中，即可地d點(diǎn)作ac的垂線。又要求bad的正切值應(yīng)已知rtbad的三

2、邊長(zhǎng)，或兩條直角邊ab、bd的長(zhǎng)，根據(jù)已知可知沒(méi)有提供邊長(zhǎng)的條件，所以要充分利用已知中的tgdac的條件。由于ad=dc，即c=dac，這時(shí)也可把正切值直接移到rtabc中。解答：過(guò)d點(diǎn)作deac于e，且設(shè)de=k，則ae=4kad=dc,dac=c，ae=ecac=8k設(shè)ab=m，bc=4m由勾股定理，有ab2+bc2=ac2由勾股定理，有cd2=de2+ec2由正切定理，有例3如圖，四邊形abcd中，d=90°，ad=3，dc=4，ab=13，bc=12，求sinb。探索：已知條件提供的圖形是什么形？其中d=90°，ad=3，dc=4，可提供什么知識(shí)？求sinb應(yīng)放在什

3、么圖形中。點(diǎn)撥：因已知是四邊形所以不能求解，由于有d=90°，ad=3，dc=4，這樣可求ac=5，又因有ab=13，bc=12，所以可證abc是rt，因此可求sinb。解：連結(jié)acd=90°由勾股定理，有ac2=cd2+cd2ad=3，cd=4，ac=5ab=13，bc=12132=122+52acb=90°由正弦定義，有 第二階梯例1如圖，在河的對(duì)岸有水塔ab，今在c處測(cè)得塔頂a的仰角為30°，前進(jìn)20米后到d處，又測(cè)得a的仰角為45°，求塔高ab。探索：在河對(duì)岸的塔能否直接測(cè)得它的高度？為什么在c、d兩處測(cè)得仰角的含義是什么？怎樣用cd的

4、長(zhǎng)？點(diǎn)撥：要直接隔岸測(cè)得塔高是不可能的，也不可能直接過(guò)河去測(cè)量，這時(shí)只能考慮如何利用兩個(gè)仰角及cd長(zhǎng)，由于塔身與地面垂直，且c、d、b三點(diǎn)共線這時(shí)可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且有acb=30°，adb=45°，這時(shí)就可以借助解直角三角形的知識(shí)求解了。解：根據(jù)仰角的定義，有acb=30°，adb=45°又abcb于b。dab=45°db=ab設(shè)ab=x由正切定義，有解得即塔高答：塔高ab為米。 第三階梯例1已知等腰三角形的頂點(diǎn)為a，底邊為a，求它的周長(zhǎng)及面積。探索：在現(xiàn)在的已知條件下能否求得周長(zhǎng)與面積？如果不能求解是因?yàn)槭裁丛蛟斐傻?，這時(shí)底邊為a，

5、能否確定腰長(zhǎng)及各個(gè)內(nèi)角呢？首先能否確定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么辦？點(diǎn)撥：由于沒(méi)有相應(yīng)的圖形，所以應(yīng)先確定圖形，若是等腰三角形，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形是斜三角形，再根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化為直角三角形，再求相應(yīng)的量。設(shè)已知abc中，ab=ac，bc=a（如圖）解：過(guò)a點(diǎn)作：adbc竽d點(diǎn)，設(shè)bad=ab=acbd=cd=根據(jù)正弦定義，有ab+ac+bc=a+由余切定義，有ad=注意：也可設(shè)bac=，則bad=。 例2有一塊矩形紙片abcd，若把它對(duì)折，b點(diǎn)落在ad上f處，如果dc=6cm，且dfc=2，ecb=，求折痕ce長(zhǎng)。探索：根據(jù)已知條件圖形對(duì)折，b點(diǎn)落在f點(diǎn)的含義是什么？它

6、會(huì)有怎樣的結(jié)論？這時(shí)又可以形成什么圖形關(guān)系？另知dc的長(zhǎng)能否求折痕呢？又根據(jù)條件我們還可以確定什么？這時(shí)又可形成怎樣的問(wèn)題？點(diǎn)撥：由于f點(diǎn)的形成是因?qū)φ踒點(diǎn)而形成的，因此可有ebcfec，同時(shí)又可有aefcdf。根據(jù)已知條件dfc=2及ecb=，這時(shí)就可以形成與角有關(guān)的圖形。進(jìn)而可求ce的長(zhǎng)。解：根據(jù)已知條件，有ebcfeceb=ef，bc=fc，ecb=ecfcfd=2，且ecb=ecf=由余弦定義，有adc=90°2由余弦定義，有例3如圖6-5-5，某船向正東方向航行，在a處望見(jiàn)燈塔c在東北方向，前進(jìn)到b處望見(jiàn)燈塔c在北偏西30°，又航行了半小時(shí)，望見(jiàn)燈塔c恰在西北方向

7、，若船速為每小時(shí)20海里，求a、d兩點(diǎn)間的距離，（結(jié)果不取近似值）圖6-5-5思路分析：易知acd是等腰直角三角形，要求ad，不能利用acd直接求得，由于圖形中再?zèng)]有其他的直角三角形，必須構(gòu)造直角三角形，作cead于e，只要求出ce，就可能以求出ad，借助兩個(gè)直角三角形（bce和dce）中，be、de與bd的關(guān)系以及be與ce之間的關(guān)系就可求ce。解作cead，垂足為e，設(shè)ce=x海里 cad=cda=90°-45°=45°，ce=ae=de=x。在rtbce中，cbe=90°-30°=60°，由de-be=bd得，解得。答：a、d兩

8、點(diǎn)間的距離為海里。第四階梯例1有一段防洪大堤，其橫斷面為梯形abcd，abdc，斜坡ad的坡度i1=1:1.2,斜坡bc的坡度i2=1:0.8，大壩頂寬dc為6米，為了增強(qiáng)抗洪能力，現(xiàn)將大堤加高，加高部分的橫斷面為梯形dcfe，efdc，點(diǎn)e、f分別在ad、bc的延長(zhǎng)線上（如圖6-5-6），當(dāng)新大壩頂寬ef為3.8米時(shí)，大壩加高了幾米？ 圖6-5-6思路分析：本題實(shí)質(zhì)上是梯形cdef的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，注意到大堤加高但坡度不變，即de、cf的坡度公別為1:1.2,1:0.8,又dc=6米，ef=3.8米,要求大壩加高的高度,分別作fhdc于g,fhdc于h,利用rtdeg, rtcfh和矩形efh

9、g可以求出新大壩的高度.解作egdc,fhdc,垂足分別為g,h,則四邊形efhg是矩形,gh=ef=3.8米.設(shè)大壩加高x米,則eg=fh=x米。i1=1:1.2, i2=1:0.8,由dg+gh+ch=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1答：大壩加高了1.1米。例2如圖6-5-7，臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形式氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市a的正南方向220千米b處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30°方向往c移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)

10、中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響。（1）該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？圖6-5-7思路分析：（1）作adbc于d，達(dá)到或超過(guò)四級(jí)風(fēng)力所影響的范圍是距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)（12-4）×20=160千米的范圍內(nèi)，比較ad與160的大小關(guān)系，就可以確定該城市是否受這次臺(tái)風(fēng)的影響。（2）當(dāng)a點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將受到臺(tái)風(fēng)的影響，如圖6-5-7，ae=af=160千米，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從e處移到f處時(shí)，該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，利用勾股定理計(jì)算出

11、ef的長(zhǎng)度，就可以計(jì)算出這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間。（3）顯然當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于d處時(shí)，a市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大。解（1）如圖6-5-7，由點(diǎn)a作adbc，垂足為d。 ab=220，b=30°，。由題意，當(dāng)a點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，由于ad=110<160,所以a市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響. (2)在bd及bd的延長(zhǎng)線上分別取e,f兩點(diǎn),使ae=af=160千米.由于當(dāng)a點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí),將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.所以當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從e點(diǎn)移到f點(diǎn)時(shí),該城市都會(huì)到這次臺(tái)風(fēng)的影響.在rtade中,由勾股定理,得(千米).該臺(tái)風(fēng)中心以15千米/時(shí)的速度移動(dòng)

12、,這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間(小時(shí)).(3)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于d處時(shí),a市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大,其最大風(fēng)馬牛不相及力為四、【課后練習(xí)】 a組1如圖：6-5-8，一鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，根據(jù)圖示數(shù)據(jù)計(jì)算路基的下底寬ab=_。2如圖6-5-9，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要 _米（精確到0.1米） 圖6-5-8圖6-5-93如圖6-5-10，在高離鐵塔150米的a 處，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，已知測(cè)角儀高ad=1.52米，則塔高be=_（精確到0.1米）圖6-5-10圖6-5-114某防洪堤壩的橫斷面是梯形，已知背水坡的坡長(zhǎng)為60米，坡

13、角為30°，則壩高為_(kāi) 米。5升國(guó)旗時(shí)，某同學(xué)站地離旗桿底部24米處行注目禮，當(dāng)國(guó)旗升至旗桿頂端時(shí)，該同學(xué)視線的仰角恰為30°，若雙眼離地面1.5米，則旗桿高度為_(kāi) 米，（用含根號(hào)的式子表示）6在地面上一點(diǎn)，測(cè)得一電視塔尖的仰角為45°，沿水平方面再向塔底前進(jìn)a米，又測(cè)得塔尖的仰角為60°，那么電視塔高為_(kāi)。7若太陽(yáng)光線與地面成37°角，一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為10m，則樹(shù)高h(yuǎn)的取值范圍是（ ）a3<h5 b、5<h<10 c.10<h<15 d.h>158河堤的橫斷面如圖6-5-11所示。堤高bc是5米，迎水坡ab的

14、長(zhǎng)是13米。那么斜坡ab的坡寬i是（ ）a1：3 b、1：2 6 c.1:2.4 d.1:29.某地夏季中午，當(dāng)太陽(yáng)移到屋頂上方偏南時(shí)，光線與地面成80°角。房屋朝南的窗子高ab=1.8m,要在窗子外面上方安裝一個(gè)水平擋光板ac，使午間光線不能直接射入室內(nèi)（如圖：6-5-12），那么擋光板ac的寬度至少應(yīng)為（ ）圖6-5-12 圖6-5-13a1.8tan80°m b.1.8cos80°m c.m d.1.8cot80°m10.如圖6-5-13，水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形，壩頂寬6米，壩高24米，斜坡ab的坡角為45°，斜坡cd的坡度i=1：2，則

15、壩底ad的長(zhǎng)為（ ）a42米 b、（30+24）米 c、78米 d、（30+8）米11、如圖6-5-14，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為a,則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）a b. c.sina d.1圖6-5-1412.如圖6-5-15，直升飛機(jī)在跨河大橋ab的上方p點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度po=450米，且a、b、o三點(diǎn)在一條直線上，測(cè)得大橋兩端的俯角分別為=30°,=45°，求大橋ab的長(zhǎng)（精確到1米，供選的數(shù)據(jù)：1.41, 1.73）.13.某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖6-5-16所示，其中abcd，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算ac、bd和c

16、d的長(zhǎng)度。（結(jié)果保留根號(hào)） 14如6-5-17，某水庫(kù)大壩的橫斷面是等腰梯形，壩頂寬度為6米，壩高10米，斜坡ab的坡度是1：2（ar：br），現(xiàn)要加高2米，在壩頂寬度和斜坡坡度不變的情況下，加固一條長(zhǎng)50米的大壩，需要多少土方？15如圖6-5-18,已知c城市在b城市的正北方向，兩城市相距100千米，計(jì)劃在兩城市間修筑一條高速公路（即線段bc），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)a在b城市的北偏東40°方向上，又在c城市的南偏東56°的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)a的范圍是以a為圓心，半徑為50千米的圓，問(wèn)：計(jì)算修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)？為什么？（已知tan40°=0

17、.839,tan56°=1.483） b組1、 1、  知小山的高為h,為了測(cè)得小山頂上鐵塔ab的高x,在平地上選擇一點(diǎn)p，在p點(diǎn)處測(cè)得b點(diǎn)的仰角為，a點(diǎn)的仰角為。（見(jiàn)右表中測(cè)量目標(biāo)圖6-5-19）（1）試用、和h的關(guān)系式表示鐵塔高x;（2）在右表中根據(jù)第一次和第二次的“測(cè)得數(shù)據(jù)”，填寫“平均值”一列中、的數(shù)值；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出鐵塔x的值。（精確到0.01m）2.如圖6-5-20，某校的教室a位于工地o的正西方向，且oa=200米，一臺(tái)拖拉機(jī)從o點(diǎn)出發(fā)，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行駛，設(shè)拖拉機(jī)的噪聲污染半徑為130米，試問(wèn)教室a是否在拖拉機(jī)

18、的噪聲污染范圍內(nèi)？若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若在，求出教室a受污染的時(shí)間有幾秒？（已知sin53°0.80,sin37°0.60,tan37°0.75） 圖 6-5-20c組1、已知abc中，bac=90°，adbc于d，cd=9，ab=20，求sinb。2、已知水庫(kù)大壩的橫截面是梯形abcd，若bcad，壩頂bc寬5米，壩高20米，斜坡ab的坡度之i=12.5，斜坡cd的坡度i=12，求壩底ad及ab、cd長(zhǎng)。3、在rtabc中，acb=rt,cdab于點(diǎn)d，ad4,則cd，bc。 a組答案1、34m 2、5.5 3、88.1米 4.30 5.(8+1.5) 6.米 7b 8、c 9、d