解答題題型突破三——數(shù)列

1、解答題題型突破三數(shù)列對近幾年高考解答題題型分析,全國卷中的數(shù)列試題難度不大,主要考查等差、 等比數(shù)列的通項與求和問題,有時結(jié)合函數(shù)、不等式等進行綜合考查,涉及內(nèi)容較為全面,試題題型常規(guī)、方法可循.題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、 等比數(shù)列的綜合問題時,重點在于讀懂題意,靈活利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式解決問題,求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用.角度 1利用方程的思想求基本量【例 1-1】已知等差數(shù)列 an滿足a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列 an的通項公式.(2)記sn為數(shù)列 an的前n項和 ,是否存在正整數(shù)n,使得sn60n+800

2、? 若存在 ,求n的最小值 ;若不存在 ,說明理由.【分析】 (1)設(shè)an的公差為d,由 2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項公式表示出數(shù)列an的通項.(2)根據(jù)數(shù)列 an的通項公式表示出數(shù)列an的前n項和公式sn,令sn60n+800, 解此不等式.【解析】 (1)設(shè)數(shù)列 an的公差為d,依題意 ,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列 ,故有 (2+d)2=2(2+4d), 化簡得d2-4d=0,解得d=0 或d=4.當(dāng)d=0 時,an=2, 當(dāng)d=4 時,an=2+(n-1) 4=4n-2, 從而得數(shù)列 an的通項公式為an=2 或an=4n-2.(2)當(dāng)an=2 時,sn=

3、2n.顯然 2n60n+800 成立.當(dāng)an=4n-2 時,此時sn=2n2,令 2n260n+800, 即n2-30n-4000, 解得n40 或n60n+800 成立 ,n的最小值為41.綜上 ,當(dāng)an=2 時,不存在滿足題意的n.當(dāng)an=4n-2 時,存在滿足題意的正整數(shù)n,其最小值為 41.【針對訓(xùn)練 1-1】在等差數(shù)列 an中 ,a2=1,a4=5.(1)求數(shù)列 an的通項公式 ; (2)設(shè)數(shù)列cn=an+bn,且數(shù)列 cn是等比數(shù)列 ,若b1=b2=3,求數(shù)列 bn的前n項和sn.【解析】 (1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d, 由a2=1,a4=5,得a1=-1,d=2, 所以an=

4、a1+(n-1)d=2n-3,nn*.(2)由a1=-1,b1=3,得c1=2,由a2=1,b2=3,得c2=4.因為 cn是等比數(shù)列 ,=2, 所以cn=c1-1=2n.所以bn=cn-an=2n-(2n-3), 所以sn=b1+b2+bn=-=2n+1-n2+2n-2,nn*.角度 2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明【例 1-2】已知數(shù)列 an的前n項和sn=1-kan(k0,nn*).(1)用n,k表示an.(2)若數(shù)列 bn對任意正整數(shù)n,均有 (bn+1-bn+2)ln a1+(bn+2-bn)ln a3+(bn-bn+1)ln a5=0,求證 :數(shù)列bn為等差數(shù)列.【分析】 (1)先

5、利用an=sn-sn-1 的關(guān)系 ,得到-=,再利用等比數(shù)列的定義判斷,并求出an.(2)利用等差中項來判斷.【解析】 (1)由已知得a1=s1=1-ka1,所以a1=.又當(dāng)n2 時,an=sn-sn-1=kan-1-kan, 所以-=, 所以 an是以為首項 ,為公比的等比數(shù)列, 所以an=-1=-(k0,nn*).(2)令等比數(shù)列 an的公比為q, 則q1,a3=a1q2,a5=a1q4代入等式化簡 , 所以 (bn+2+bn-2bn+1)ln q=0.因為q1,所以 2bn+1=bn+2+bn, 所以數(shù)列 bn為等差數(shù)列.【針對訓(xùn)練 1-2】 已知數(shù)列 an的前n項和為sn,a1=1,s

6、n+1=4an+2(nn*),若bn=an+1-2an,求證 :bn是等比數(shù)列.【解析】an+2=sn+2-sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an, =-=-=-=2.s2=a1+a2=4a1+2,a2=5. b1=a2-2a1=3.數(shù)列 bn是首項為 3,公比為 2 的等比數(shù)列.題型二數(shù)列的通項與求和數(shù)列的通項與求和是高考必考的熱點.求通項屬于基本問題,常涉及等差、等比的定義,性質(zhì) ,基本量運算.求和問題的關(guān)鍵在于分析通項的結(jié)構(gòu)特征,選擇合適的求和方法.常考的求和方法有錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等.【例 2】數(shù)列 an的前n項和為sn,sn=(2n-1)an,且a1

7、=1.(1)求數(shù)列 an的通項公式 ; (2)若bn=nan,求數(shù)列 bn的前n項和tn.【分析】 (1)根據(jù)an=sn-sn-1 求得-=(n2),由定義判斷 an為等比數(shù)列 ;(2)利用錯位相減法求和.【解析】 (1)由sn=(2n-1)an,可得sn-1=(2n-1-1)an-1(n 2), 兩式相減 ,得sn-sn-1=(2n-1)an-(2n-1-1)an-1, (2n-2)an=(2n-1-1)an-1,即-=(n2), 故an是以 1 為首項 , 為公比的等比數(shù)列, 所以an=-1.(2)bn=nan=n-1.tn=b1+b2+b3+bn=1+2+3+n-1,tn=1+2+(n-

8、1)-1+n. 由-得,tn=1+-1-n=2-, 所以tn=4-.【針對訓(xùn)練 2】已知數(shù)列 an是公差不為零的等差數(shù)列,其前n項和為sn,滿足s5-2a2=25,且a1,a4,a13恰為等比數(shù)列 bn的前三項.(1)求數(shù)列 an,bn的通項公式 ; (2)設(shè)tn是數(shù)列的前n項和 ,是否存在kn*,使得等式 1-2tk=成立 ?若存在 ,求出k的值 ;若不存在 ,請說明理由.【解析】 (1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d(d 0), -解得a1=3,d=2,an=2n+1.b1=a1=3,b2=a4=9, 等比數(shù)列 bn的公比q=3,bn=3n.(2)不存在.理由如下 : =-, tn=-=-,

9、1-2tk= +(kn*), 易知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列, 0,且 a1an=s1+sn對一切正整數(shù)n都成立.(1)求數(shù)列 an的通項公式 ; (2)設(shè)a10,=100, 當(dāng)n為何值時 ,數(shù)列的前n項和最大 ? 【分析】(1)討論a1的值 ,化簡遞推公式 ,構(gòu)造等比數(shù)列 ,利用定義求通項公式;(2)根據(jù)的單調(diào)遞減性 ,找到由正值轉(zhuǎn)負值時的n值,從而判斷前n項和最大.【解析】 (1)取n=1,得 =2s1=2a1, 即a1(a1-2)=0.若a1=0,則sn=0,當(dāng)n 2 時,an=sn-sn-1=0-0=0, 所以an=0.若a10,則a1=,當(dāng)n2 時,2an= +sn,2an-1= +sn-1

10、, 兩式相減得 2an-2an-1=an, 所以an=2an-1(n 2),從而數(shù)列 an是等比數(shù)列 , 所以an=a1 2n-1= 2n-1=.綜上 ,當(dāng)a1=0 時,an=0; 當(dāng)a10 時,an=.(2)當(dāng)a10 且 =100 時,令bn=lg, 由(1)知bn=lg=2-nlg 2.所以數(shù)列 bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為-lg 2).所以b1b2b6=lg =lg lg 1=0, 當(dāng)n7 時,bnb7=lg =lg 0.依題意有由a1=b1=3,又q0,解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1,n n*, bn=b1qn-1=33n-1=3n

11、,nn*.(2)因為cn=an+bn=2n+1+3n, 所以前n項和sn=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn) =3+5+(2n+1)+(31+32+3n) =+-=n(n+2)+(3n-1), 所以前n項和sn=n(n+2)+(3n-1),nn*.5.(2018 河北石家莊模擬)已知等差數(shù)列 an的前n項和為sn,且sm-1=-4,sm=0,sm+2=14(m 2 且mn*).(1)求m的值 ; (2)若數(shù)列 bn滿足=log2bn(nn*),求數(shù)列 (an+6)bn的前n項和.【解析】 (1)由已知得am=sm-sm-1=4,且am+1+am+2=sm+2-sm=14, 設(shè)數(shù)列 an

12、的公差為d,則有 2am+3d=14, d=2.由sm=0,得ma1+-2=0,即a1=1-m, am=a1+(m-1)2=m-1=4, m=5.(2)由(1) 可知a1=-4,d=2,an=2n-6, n -3=log2bn,得bn=2n-3.(an+6)bn=2n2n-3=n 2n-2.設(shè)數(shù)列 (an+6)bn的前n項和為tn, 則tn=12-1+220+(n-1)2n-3+n 2n-2,2tn=120+221+(n-1)2n-2+n 2n-1. 由-,得-tn=2-1+20+2n-2-n2n-1 =-n2n-1=2n-1- -n2n-1, tn=(n-1)2n-1+(nn*).6.(20

13、18 江蘇無錫模擬 )已知數(shù)列 an滿足-=(nn*),sn是數(shù)列 an的前n項的和.(1)求數(shù)列 an的通項公式 ; (2)若ap,30,sq成等差數(shù)列 ,ap,18,sq成等比數(shù)列 ,求正整數(shù)p,q的值 ; (3)是否存在kn*,使得為數(shù)列 an中的項 ?若存在 ,求出所有滿足條件的k的值 ;若不存在 ,請說明理由.【解析】 (1)因為-=(nn*), 所以當(dāng)n=1 時,1-=,a1=2.當(dāng)n2 時,由-=和-=-,可得 1-=-,即an-an-1=1(n2), 所以數(shù)列 an是首項為 2,公差為 1 的等差數(shù)列.所以an=n+1.(2)因為ap,30,sq成等差數(shù)列 ,ap,18,sq成等比數(shù)列 , 所以于是或當(dāng)時,解得當(dāng)時,無正整數(shù)解 , 所以p=5,q=9.(3)假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)k,使得=am(mn*), 則=m+1, 平方并化簡得 ,(2m+2)2-(2k+3)2=63, 則(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, 所以-或-或-解得或或-(舍去 ).綜上所述 ,k=3 或k=14.7.(2018 遼寧朝陽模擬 )已知數(shù)列 an滿足an0,a