(新教材)2020新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)案：8.2立體圖形的直觀圖Word版含答案

1、& 2 立體圖形的直觀圖導(dǎo)I學(xué)I聚I焦考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面圖形的直觀圖會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖直觀想象簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖直觀想象直觀圖的還原與計(jì)算會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算研悽導(dǎo)學(xué)嘗試 .預(yù)習(xí)教材 P107 P111 的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題:1 畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖的步驟是什么？2 .水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法有哪些規(guī)則？3 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？新知初痕1 .用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1) 建系：在已知圖形中取互相垂直的 x 軸和

2、 y 軸，兩軸相交于點(diǎn) 0畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們 畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x 軸與 y 軸，兩軸交于點(diǎn) 0,且使/ x0y= 45 (或 135 )，它們確定的平面表示 水平面.(2) 平行不變：已知圖形中平行于 x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于 x 軸或y軸的線段.(3) 長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸 的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.2 .空間幾何體直觀圖的畫(huà)法(1) 與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)z 軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z 軸.(2) 直觀圖中平面 x 0 y 表示水平平面，平面 y 0 z 和 x，0，z，表示豎直平面.(3) 已知圖

3、形中平行于 z 軸(或在 z 軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變.(4) 成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線_ 名師點(diǎn)撥(1)畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可.(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖要掌握水平長(zhǎng)不變，垂線長(zhǎng)減半，直角畫(huà)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)45 （或 135） .L自我檢測(cè)O 判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的/ A 時(shí)，若/ A 的兩邊分別平行于 x 軸和 y 軸，且/A=90 則在直觀圖中，/ A = 45 .()(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖

4、中仍平行.()相等的角在直觀圖中仍相等.()答案：XV(3)X根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)直觀圖時(shí)，把 Ox, Oy, Oz 軸畫(huà)成對(duì)應(yīng)的O x , O y ,Oz ,則/ x O y 與/ x O z的度數(shù)分別為()A. 90, 90B. 45, 90C. 135 , 90D. 45 或 135, 90解析：選 D.根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，/x O y 的度數(shù)應(yīng)為 45 或135， & O z 指的是畫(huà)立體圖形時(shí)的橫軸與豎軸的夾角，所以度數(shù)為90下列關(guān)于直觀圖的說(shuō)法不正確的是()A 原圖形中平行于 y 軸的線段，對(duì)應(yīng)線段平行于直觀圖中 y 軸，長(zhǎng)度不變 B 原圖形中平行于 x 軸的線段，對(duì)應(yīng)

5、線段平行于直觀圖中 x軸，長(zhǎng)度不變C.畫(huà)與直角坐標(biāo)系 xOy 對(duì)應(yīng)的 x O y 時(shí)，/ x O y可以畫(huà)成 45D .在畫(huà)直觀圖時(shí)，由于選軸的不同所畫(huà)直觀圖可能不同解析：選 A.平行于 y 軸的線段，直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，故A 錯(cuò).劭利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為1 cm 的正方形的直觀圖，可能是下面的(解析：選 c正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長(zhǎng)不相等，故選C 項(xiàng).答案：6如圖所示的直觀圖A O B ，其原平面圖形的面積為ABC畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖例 I 畫(huà)水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示.【解】 在已知的直角梯形 OBCD 中，以底邊 0B 所在直線為 x 軸，垂直于OB 的

6、腰 0D 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖 所示.畫(huà)相應(yīng)的 x 軸和 y 軸，使/ x 0 y = 45，在 x 軸上截取 OB= 0B，在 y 軸上截取 O D1- 一 一=20D，過(guò)點(diǎn) D 作 x 軸的平行線 I，在 I 上沿 x 軸正方向取點(diǎn) C 使得 D C = DC.連接 B C ，如 圖畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫(huà)圖.畫(huà)圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長(zhǎng)度的關(guān)系是否發(fā)生變化.圖.(其中 O, E 分別為線段 AB, DC 的中

7、點(diǎn))解：畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系 x O y ，使/ x O y = 451以 O 為中點(diǎn)在 x 軸上取 A B = AB，在 y 軸上取 O E = ?OE,以 E為中點(diǎn)畫(huà) C D/ x 軸,并使 C D = CD.(3)連接 B C , D A ，所得的四邊形 A B C D 就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直觀圖，如圖.探究點(diǎn)麼_畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖所得四邊形 O B C D 就是直角梯形OBCD 的直觀圖.如圖.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中等腰梯形ABCD 的直觀O R反思A o a x例 已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為 6，高為 4,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出此正四棱臺(tái)的直觀圖.【解】 畫(huà)軸

8、.如圖 ，畫(huà) x 軸、y 軸、z 軸，三軸相交于點(diǎn) O,使/ xOy= 45,*Oz=90=90得 GH = 3，再過(guò) G , H 分別作 AB 綊 EF, CD 綊 EF，且使得 AB 的中點(diǎn)為 G , CD 的中點(diǎn)為 H ,連接 AD，BC,這樣就得到了正四棱臺(tái)的下底面ABCD 的直觀圖.(3)畫(huà)上底面.在 z 軸上截取線段 OOi= 4,過(guò) Oi作 Oix Ox, Oiy Oy，使/xOiy=45,建立坐標(biāo)系 xOiy,在 xOiy中仿照 2)的步驟畫(huà)出上底面 AiBiCiDi的直觀圖.(4)連接AAi、BBi、CCi、DDi,擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖(如圖).畫(huà)

9、空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x 軸、y 軸、z 軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫(huà)成平行于 x 軸、y 軸、z 軸的線段.(2)平行于 x 軸、z 軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，平行于 12.由如圖所示幾何體的三視圖畫(huà)出直觀圖.畫(huà)下底面以O(shè) 為中點(diǎn)，在 x 軸上取線段EF，使得 EF = 6，在 y 軸上取線段 GH，使y 軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的側(cè)視圖A /C B律=90解：(1)畫(huà)軸.如圖，畫(huà)出 x 軸、y 軸、z 軸，三軸相交于點(diǎn)O,使/ xOy= 45,*Oz(2)畫(huà)底面.作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖ABC.(3)畫(huà)側(cè)棱過(guò) A, B, C

10、各點(diǎn)分別作 z 軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段BB ,CC,且 AA= BB = CC,如圖.(4)成圖，順次連接 A B ,C ，并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示的圖形就是所求的幾何體的直觀圖，如圖.探究點(diǎn)畫(huà)直觀圖的還原與計(jì)算2/ C1D1, AIBI=|CiDi= 2, AIDI=O DI=1.試畫(huà)出原四邊形，并求原圖形的面積.OC = 0G = 2.在過(guò)點(diǎn) D 與 y 軸平行的直線上截取 DA = 2DiAi= 2在過(guò)點(diǎn) A 與 x 軸平行的直線上截取 AB = AiBi= 2連接 BC,便得到了原圖形(如圖).由作法可知，原四邊形 ABCD 是直角梯形，上、下底長(zhǎng)

11、度分別為AB = 2, CD = 3，直角腰長(zhǎng)度為 AD = 2.2+ 3所以面積為 S= 一廠X2 = 5.規(guī)律方孫(1)直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x 軸、y 軸平行的直線或線段，且平行于x 軸的線段AA,得到例3如圖所示，梯形 AIBICIDI是一平面圖形 ABCD 的直觀圖.若 AIDI/ 0 y,AIBIA1【解】 如圖，建立直角坐標(biāo)系1= 1 ,(2)畫(huà)底面.作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖ABC.還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2 倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.（2）直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形

12、的面積為S,其直觀圖的面積為 S,則有 S = 41 2S 或 S= 22S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.已知正三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 a,那么 ABC 的平面直觀圖 ABC的面積B.D.解析：選 D.如圖所示為實(shí)際圖形和直觀圖.仁用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A .原來(lái)相交的仍相交B .原來(lái)垂直的仍垂直C.原來(lái)平行的仍平行D .原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)答案：B2 .如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項(xiàng)中的（）由可知，B，C，=BC= a, O A，=OA= ja,在圖中作 A D 丄 B C 于點(diǎn) D,則

13、A D = OA，=86a.所以 S，BC = B，C，AD，=|xa 乂尋=需2.解析：選 C由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，該平面圖形為直角梯形，又因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)的邊 平行于 y 軸，故選 C.3 .如圖是一梯形OABC 的直觀圖，其直觀圖面積為S,則梯形 OABC 的面積為（）A. 2SB. 2SC. 2 ,2SD. . 3S解析：選 C.法一:設(shè) O C = h,則原梯形是一個(gè)直角梯形且高為2h, C B =B , O A =0A.過(guò) C 作 C D丄 OA 于點(diǎn) D (圖略)，則 C D =22h.由題意知1CD (C B + O A ) = S,即 了 h(C B + O A) = S.又

14、原直角梯形面積為14S lS = 2h（CB + OA）= h（C B + O A ）=缶=22S.所以梯形 OABC 的面積為22S.故選 C.、一亞法一：由 S直觀圖=S原圖，4S可得 S梯形OABC=C.4 .若把一個(gè)高為 10 cm 的圓柱的底面畫(huà)在 x O y 平面上，則圓柱的高應(yīng)畫(huà)成（）A .平行于 z 軸且大小為 10 cmB .平行于 z 軸且大小為 5 cmC.與 z 軸成 45且大小為 10 cmD .與 z 軸成 45且大小為 5 cm解析：選 A.平行于 z 軸（或在 z 軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.5.畫(huà)一個(gè)正四棱錐（底面為正方形，側(cè)面為全等

15、的等腰三角形）的直觀圖（尺寸自定）.解：步驟：（1）畫(huà)軸.如圖 ，畫(huà) x 軸、y 軸、z 軸，使/ xOy= 45 ,*Oz = 90.畫(huà)底面.以 O 為中心，在 xOy 平面內(nèi)，畫(huà)出正方形的直觀圖ABCD.畫(huà)頂點(diǎn).在 Oz 軸上截取 OS,使 OS 等于已知正四棱錐的高.畫(huà)棱.連接 SA, SB, SC, SD,擦去輔助線（坐標(biāo)軸），得到正四棱錐 S-ABCD 的直觀圖,如圖所示.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 對(duì)于用斜二測(cè)畫(huà)法所得的直觀圖，以下說(shuō)法正確的是（）A 等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B 正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖不是梯形D 正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析：選 B.根據(jù)斜二測(cè)

16、畫(huà)法的要求知，正方形的直觀圖為平行四邊形.2 如圖，A B / O y, B C/ O x,則直觀圖所示的 平面圖形是（）A 任意三角形B 銳角三角形C.直角三角形D .鈍角三角形解析：選 C.因?yàn)?A B / O y ，且 B C / O x :所以原平面圖形中 AB 丄 BC.所以 ABC 為直角三角形.3 .已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為 2 cm,另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3 cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為（ ）A 2 cmB 3 cmC. 2.5 cmD 5 cm解析：選 D.圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離

17、為 2+ 3= 5（cm），在直觀圖中與 z 軸平行的線段長(zhǎng)度不變，仍為5 cm，故選 D.4 已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4,則此正方形的面積是（）A . 16B. 64應(yīng)用案C. 16 或 64D .都不對(duì)解析：選 C.根據(jù)直觀圖的畫(huà)法，平行于 x 軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸的線段變?yōu)樵瓉?lái)的一半，于是長(zhǎng)為 4 的邊如果平行于 x 軸，則正方形邊長(zhǎng)為 4,面積為 16,邊長(zhǎng)為 4 的邊如果平行于 y 軸，則正方形邊長(zhǎng)為8，面積是 64.5.正方形 OABC 的邊長(zhǎng)為 1 cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）B. 8 cm所以四邊形 O

18、ABC 的周長(zhǎng)為 8 cm.解析：因?yàn)? D AB= 45，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知 / DAB = 90,又因四邊形 ABC D 為平行四邊形，且 A B = 2B C ，所以 AB = BC,所以原四邊形 ABCD 為正方形.答案：正方形7 .如圖是四邊形 ABCD 的水平放置的直觀圖 A B C D,則原四邊形 ABCD 的面積是C. (2+ 3 .2)cmD . (2 +2 ,3)解析：選 B.如圖，OA = 1 cm,在 Rt OAB 中，OB = 2 2 cm ,所以AB= -6 .如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖,則它的原圖形四邊形ABCD 的形狀為C14*2x答案：288.如圖所示的是

19、一個(gè)水平放置的正方形解析：因?yàn)?A D/ y 軸，A B C D ,A B 色D ,又 A D = 4,所以原直角梯形的上、下底及高分別是12, 5, 8，故其面積為 S=-X(2 + 5)X8= 28.ABCO，它在直點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(2, 2),則用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)ABCO 是有一個(gè)角為 45且長(zhǎng)邊為 2,短邊為 1 的平行四邊形,所以頂點(diǎn) B 到 x 軸的距離為乎.答案：豐9.如圖是上、下底面處在水平狀態(tài)下的棱長(zhǎng)為2 cm 的正方體的直觀圖，比例尺為 1 ： 1,回答下列問(wèn)題：(1) 線段 ABi在圖中、實(shí)物中長(zhǎng)度各為多少？/ABi在圖中、實(shí)物中的度數(shù)各為多少？(2

20、) 在實(shí)物中，/ ABC、/ AEB、/ BEC、/ ABD、/ CBD 的度數(shù)是多少？(3) 線段 BC 在圖中、實(shí)物中的長(zhǎng)度各是多少？/ AD1A1、/ CB1C1在實(shí)物中的度數(shù)是多少？解：平面 AA1B1B 處在鉛直狀態(tài)下，其內(nèi)部的圖形為真實(shí)圖形， 由已知 AA1= A1B1= 2 cm ,AA1丄 A1B1,所以 AB1=”，23 4+ 22= 2 2 (cm).所以線段 AB1在圖中，實(shí)物中的長(zhǎng)度都是 2.2 cm,/AB1A1在圖中、實(shí)物中度數(shù)都是45(2)在實(shí)物中，/ ABC = / AEB = / BEC= 90,zABD = / CBD = 45.線段 BC 在圖中、實(shí)物中的

21、長(zhǎng)度分別是1 cm, 2 cm，/AD1A1、/ CB1C1在實(shí)物中的度數(shù)都是 45 10.如圖所示，四邊形 ABCD 是一個(gè)梯形，CD / AB, CD = BO = 1,三 角形AOD 為等腰直角三角形， O 為 AB 的中點(diǎn)，試求梯形 ABCD 水平放置 的直觀圖的面積.解：法一： 在梯形 ABCD 中，AB= 2,高 OD = 1,由于梯形 ABCD 水平 放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD 和下底 AB 的長(zhǎng)度都不變，如圖所示，在1 12直觀圖中，O D =OD = 2，梯形的高 D E =才,33=十(1+2)X1=2B 到 x 軸的距離為解析：在直觀圖中四邊形1-J2W2于是梯形

22、A B C D 的面積為 2X(1 + 2) X-4 =訂.1法二：梯形 ABCD 的面積 S= /DC + AB)XOD所以梯形 ABCD 直觀圖的面積為s密亞x 3=理2s4s428.B 能力提升11.如圖所示的是水平放置的三角形ABC 的直觀圖厶ABC；其中 D是 AC 的中點(diǎn)，在原三角形 ABC 中，/ ACB豐60,則原圖形中與線段BD 的長(zhǎng)相等的線段有()A . 0 條B . 1 條C. 2 條D . 3 條解析：選 C先按照斜二測(cè)畫(huà)法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找出與線段 BD 長(zhǎng)度相等的線段把三角形ABC 還原后為直角三角形，則D 為斜邊AC 的中點(diǎn)，所以 AD = DC = BD.故選 C.12. 如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為 45、腰和上底長(zhǎng)均為 1 的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是( )1 2 2 A.2 + 2 一B . 1 + 2C. 1 + 2D . 2 + .2解析：選 D.因?yàn)?A D/ B C ，所以 AD / BC.因?yàn)? A B C = 45,所以/ ABC = 90所以 AB 丄 BC.所以四邊形 ABCD 是直角梯形，如圖所示.其中，AD = A D = 1 ,