數(shù)列極限與函數(shù)極限學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)列極限數(shù)列極限(jxin)與函數(shù)極限與函數(shù)極限(jxin)第一頁，共46頁。定義定義(dngy)1設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 nx與常數(shù)與常數(shù),a如果當(dāng)如果當(dāng)n無限增無限增大時(shí)大時(shí),nx無限接近于無限接近于 ,a則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為為數(shù)列數(shù)列 nx收收斂于斂于 ,a記為記為,nnlim xa 或或).( naxn如果一個(gè)如果一個(gè)(y )數(shù)列沒有極限數(shù)列沒有極限,就稱該數(shù)列就稱該數(shù)列(shli)是發(fā)散的是發(fā)散的.注注:記號記號)( naxn常讀作常讀作:當(dāng)當(dāng)n趨于無窮大時(shí)趨于無窮大時(shí),nx趨于趨于. a第1頁/共45頁第二頁，共46頁。例例1其收斂其收斂(shulin)于何值于何值.若收斂若收斂

2、(shulin),下列各數(shù)列是否下列各數(shù)列是否(sh fu)收斂收斂,試指出試指出;2)1(n;1)2(n;)1)(3(1 n 1(4). nn解解(1)數(shù)列數(shù)列2n即為即為,2 , 8 , 4 , 2n易見易見, ,當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí), ,n2也無限增大也無限增大, ,故該故該數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列是發(fā)散的; ;第2頁/共45頁第三頁，共46頁。(2),1,31,21, 1n解解易見易見, ,當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí), ,n1也無限接近也無限接近0, ,故該故該數(shù)列收斂于數(shù)列收斂于 ; ; 0解解(3)數(shù)列數(shù)列 1( 1) n 即為即為,)1( , 1, 1 , 1, 11 n易見易見,

3、 ,當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí), ,)1(1 n無休止地反復(fù)無休止地反復(fù)取取11 、兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù), ,而不會(huì)無限接近于任何而不會(huì)無限接近于任何(rnh)一個(gè)確一個(gè)確第3頁/共45頁第四頁，共46頁。故該數(shù)列故該數(shù)列(shli)是發(fā)散的是發(fā)散的; 定的常數(shù)定的常數(shù)(chngsh),(4)數(shù)列數(shù)列 1 nn 即為即為,1,43,32,21, 0nn 易見易見, ,當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí), ,nn1 無限接近于無限接近于 , ,1故該數(shù)列收斂于故該數(shù)列收斂于 . . 1第4頁/共45頁第五頁，共46頁。 數(shù)數(shù)列列函數(shù)函數(shù)(hnsh)極限的引入極限的引入數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正

4、整數(shù) 的函數(shù)的函數(shù):n),(nfxn 數(shù)列數(shù)列 nx的極限為的極限為, a即即:當(dāng)自變量當(dāng)自變量 n取正整數(shù)取正整數(shù)且無限增大且無限增大)( n時(shí)時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(nf無限無限接近數(shù)接近數(shù).a若將數(shù)列極限概念中自變量若將數(shù)列極限概念中自變量n和函數(shù)和函數(shù)值值)(nf的特殊性撇開的特殊性撇開,可以可以(ky)由此引出函數(shù)極限的由此引出函數(shù)極限的一般一般(ybn)概念概念:在自變量在自變量x的某個(gè)變化過程中的某個(gè)變化過程中,如果對如果對應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)的函數(shù)值)(xf無限接近于某個(gè)確定的數(shù)無限接近于某個(gè)確定的數(shù),A則則A就稱為就稱為x在該變化過程中函數(shù)在該變化過程中函數(shù))(xf的極限的極

5、限.顯然顯然,極限極限 是與自變量是與自變量 的變化過程密切相關(guān)的變化過程密切相關(guān)Ax第5頁/共45頁第六頁，共46頁。自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)(hnsh)(hnsh)的極限的極限當(dāng)當(dāng)lim( )( )() 或或xf xAf xA x定義定義2 2 如果當(dāng)如果當(dāng) 的絕對值無限增大時(shí)，函數(shù)的絕對值無限增大時(shí)，函數(shù)x( )f xA無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) ，則稱常數(shù)，則稱常數(shù) 為函數(shù)為函數(shù)A( )f x時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作 x如果在上述定義中，限制如果在上述定義中，限制 只取正無窮或負(fù)無窮即有只取正無窮或負(fù)無窮即有xlim( )lim( )或或xxf xAf xA第

6、6頁/共45頁第七頁，共46頁。( )f x則稱常數(shù)則稱常數(shù) 為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng) A 或或xx時(shí)的極取限時(shí)的極取限. .注意到注意到 意味著同時(shí)考慮意味著同時(shí)考慮 x 與與xx可以得到可以得到(d do)(d do)下面的定理下面的定理定理定理1 1 極限極限的充分必要條件是的充分必要條件是lim( ) xf xAlim( )lim( )xxf xf xA第7頁/共45頁第八頁，共46頁。例例2 求極限求極限 1lim 1. xx解解 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 的絕對值無限增大時(shí)，的絕對值無限增大時(shí)，1xx無限接近于無限接近于0 0即函數(shù)即函數(shù) 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)1,1,11 x所以所以(suy

7、)(suy) 1lim 11 xx第8頁/共45頁第九頁，共46頁。例例3 討論討論(toln)極限極限觀察函數(shù)觀察函數(shù)的圖形（見下圖）易知的圖形（見下圖）易知：sin( ) yx所以極限所以極限limsin( )xx不存在不存在. .當(dāng)自變量當(dāng)自變量 的絕對值的絕對值 無限增大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值無限增大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值 在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上振蕩，不接近任何常數(shù)上振蕩，不接近任何常數(shù)yx|xlimsin( )xx第9頁/共45頁第十頁，共46頁。例例4 4 討論討論(toln)(toln)極限極限解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， x2y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， x2 y 所以所以(suy) (suy) 不

8、存在不存在. .limarctanxxlimarctanxx第10頁/共45頁第十一頁，共46頁。自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)(hnsh)的極限的極限現(xiàn)在研究自變量現(xiàn)在研究自變量x無限接近有限值無限接近有限值0 x(即即 )0 xx 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù))(xf的變化趨勢的變化趨勢.定義定義(dngy)3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義定義(dngy).如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xxxx 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù))(xf無限接無限接近于常數(shù)近于常數(shù),A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限.記作記作Axfxx )(lim0或或

9、).)()(0 xxAxf第11頁/共45頁第十二頁，共46頁。例例5試根據(jù)定義說明試根據(jù)定義說明(shumng)下列結(jié)論下列結(jié)論:解解;lim)1(00 xxxx ).(lim)2(0為為常常數(shù)數(shù)CCCxx (1)當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨于趨于0 x時(shí)時(shí), ,顯然顯然(xinrn),函數(shù)函數(shù)xy 也趨于也趨于,0 x故故;lim00 xxxx (2)當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨于趨于0 x時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)Cy 始終取相始終取相同的值同的值,C故故.lim0CCxx 第12頁/共45頁第十三頁，共46頁。函數(shù)函數(shù)(hnsh)的左極限與右極限的左極限與右極限函數(shù)函數(shù))(xf從左側(cè)從左側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))趨于

10、趨于當(dāng)自變量當(dāng)自變量x0 x時(shí)時(shí),趨于常數(shù)趨于常數(shù)A,則稱則稱A為為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的處的左極限左極限(或右極限或右極限(jxin),記為記為Axfxx )(lim0或或Axfxx )(lim0左極限左極限(jxin)和右極限和右極限(jxin)的示意圖的示意圖.注意到注意到0 xx 意味著同時(shí)考慮意味著同時(shí)考慮 0 xx與與,0 xx可以得到下面的定理可以得到下面的定理:第13頁/共45頁第十四頁，共46頁。定理定理(dngl)2極限極限Axfxx )(lim0的充分必要條件是的充分必要條件是.)(lim)(lim00Axfxfxxxx 第14頁/共45頁第十五頁，共46頁。例例 6

11、設(shè)設(shè),0, 10,)( xxxxxf求求).(lim0 xfx解解因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx xx 0lim. 0 即有即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.第15頁/共45頁第十六頁，共46頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1.數(shù)列數(shù)列(shli)的極限的極限數(shù)列極限數(shù)列極限(jxin)的定義的定義2.函數(shù)的極限函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)的左極限與右極限第1

12、6頁/共45頁第十七頁，共46頁。極限極限(jxin)運(yùn)算法則運(yùn)算法則定理定理(dngl)設(shè)設(shè),)(limAxf ,)(limBxg 則則(1)(2)(3);)()(limBAxgxf ;)()(limBAxgxf ,)()(limBAxgxf 其中其中. 0 B推論推論(tuln)1)(limxf如果如果存在存在, ,而而C為常數(shù)為常數(shù), ,則則).(lim)(limxfCxCf 即即: :常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面. .推論推論2)(limxf如果如果存在存在, ,而而n是正整數(shù)是正整數(shù), ,則則.)(lim)(limnnxfxf 第17頁/共45頁第十八頁，

13、共46頁。例例1求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：設(shè)設(shè),)(110nnnaxaxaxf 則有則有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 第18頁/共45頁第十九頁，共46頁。例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373593222 .229 第19頁/共45頁第二十頁，共46頁

14、。例例 3求求.321lim221 xxxx解解分子和分母分子和分母(fnm)的極限都是零的極限都是零.1x時(shí)時(shí), ,此此時(shí)應(yīng)先約去不為零的無窮小因子時(shí)應(yīng)先約去不為零的無窮小因子(ynz)1 x后再求后再求極限極限(jxin).321lim221 xxxx)1)(3()1)(1(lim1 xxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去零因子法第20頁/共45頁第二十一頁，共46頁。例例 4計(jì)算計(jì)算(j sun).354lim4 xxx解解不能直接不能直接(zhji)使用商的極限運(yùn)算法則使用商的極限運(yùn)算法則.但可采用分母有理化但可采用分母有理化(lhu)消去分母中趨于零的因子消去分母中趨于

15、零的因子.)35)(35()35)(4(lim4 xxxxx4x時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)),05( x354lim4 xxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx第21頁/共45頁第二十二頁，共46頁。定理定理2(復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限(jxin)運(yùn)算法則運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xgfy 是由函數(shù)是由函數(shù))(ufy 與函數(shù)與函數(shù))(xgu 復(fù)合而成復(fù)合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 則則)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心鄰域內(nèi)有的某去心鄰域內(nèi)有0 x注注:若函數(shù)若函數(shù)

16、)(uf)(xg和和滿足該定理的條件滿足該定理的條件,則作代換則作代換),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化為求化為求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理(dngl)2表明表明:第22頁/共45頁第二十三頁，共46頁。例例 5計(jì)算計(jì)算.2sinlim0 xx解解令令,2xu 因?yàn)橐驗(yàn)? 02, 0 xux. 0sinlim2sinlim00 uxux則函數(shù)則函數(shù)xy2sin 可視為由可視為由xuxy2,2sin 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù). .且且0u時(shí)時(shí), 0sinu所以所以(suy)第23頁/共45頁第二十四頁，共46頁。例例 6計(jì)算計(jì)算.2

17、lim1xx 解解所以所以(suy)令令,1xu 則則, 01lim xx且且, 12lim0 uu. 12lim2lim1 uxxx第24頁/共45頁第二十五頁，共46頁。第一重要第一重要(zhngyo)(zhngyo)極限極限sinlim1xxx xsin xx1.000 0.100 0.841470 0.9983340.010 0.9999830.9999990.001 第25頁/共45頁第二十六頁，共46頁。例例 7求求.tanlim0 xxx解解. 1 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 第26頁/共45頁第二十七頁，共46

18、頁。例例 8求求.cos1lim20 xxx 解解原式原式2202sin2limxxx 2022022sinlim2122sinlim21 xxxxxx.211212 第27頁/共45頁第二十八頁，共46頁。例例 9求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxx2sin2sinlim0 xxxxx2sin12sin1lim0 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 第28頁/共45頁第二十九頁，共46頁。exxx 11lim利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)(zh ge)等式等式.等式等式(dngsh)右端的右端的其值為其值為 e2.7

19、18 281 828 459 045,數(shù)數(shù) 是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù),e基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)xey 下表有助于讀者理解下表有助于讀者理解(lji)這個(gè)極限這個(gè)極限.以及自然對數(shù)以及自然對數(shù)xyln 中的底中的底 就是這個(gè)常數(shù)就是這個(gè)常數(shù).e x12xx 112101 000 10 0000 100 0001 000 002.252.5942.7172.7181 2.71812 2.718128第29頁/共45頁第三十頁，共46頁。例例 10求求.11lim3 xxx解解311lim xxx 311lim11 xxxx311lim11lim xxxxx

20、.1ee 第30頁/共45頁第三十一頁，共46頁。例例 11求求.)1(lim10yyy 解解令令,1xy 則則0y時(shí)時(shí), , x于是于是(ysh).)11(lim)1(lim10exyxxyy 注注: :本例的結(jié)果本例的結(jié)果(ji gu),)1(lim10eyyy 今后常作為今后常作為(zuwi)公式使用公式使用.第31頁/共45頁第三十二頁，共46頁。例例 12求求.)21(lim10 xxx 解解xxx10)21(lim 2210)21(lim xxx2210)21(lim xxx.2 e第32頁/共45頁第三十三頁，共46頁。例例13解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim

21、 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 第33頁/共45頁第三十四頁，共46頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 掌握極限的四則運(yùn)算掌握極限的四則運(yùn)算(s z yn sun)法則法則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf 則則.)()(lim BAxgxf)0( B2. 會(huì)用復(fù)合會(huì)用復(fù)合(fh)函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限.)(lim)(lim00Aufxgfuuxx 第34頁/共45頁第三十五頁，共46頁。其中其中(qzhng).(lim00 xguxx 3.了解極限存在了解極限存在(cnzi)準(zhǔn)則準(zhǔn)則,掌握兩個(gè)重要掌握

22、兩個(gè)重要(zhngyo)極限及其應(yīng)用極限及其應(yīng)用.11limexxx ; 1sinlim0 xxx第35頁/共45頁第三十六頁，共46頁。無窮小的概念無窮小的概念(ginin)定義定義(dngy)極限極限(jxin)(jxin)為零的變量稱為無窮小為零的變量稱為無窮小. .例如例如: :, 0sinlim0 xx時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小. .函數(shù)函數(shù)xsin是當(dāng)是當(dāng)0 x, 01lim xx時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小. .函數(shù)函數(shù)x1是當(dāng)是當(dāng) x, 0)1(lim nnn時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小. .函數(shù)函數(shù)nn)1( 是當(dāng)是當(dāng) n注意注意: :(1)無窮小是變量無窮小是變量, ,不能與很小的數(shù)混淆不能與很

23、小的數(shù)混淆. .(2)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù). .第36頁/共45頁第三十七頁，共46頁。無窮小的運(yùn)算無窮小的運(yùn)算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1有限有限(yuxin)個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .例如例如, ,n1是無窮小是無窮小, ,n但但個(gè)個(gè)n1之和為之和為1, ,不是無窮小不是無窮小. .時(shí)時(shí), , x性質(zhì)性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .例如例如 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,變量變量,1sinxxxx

24、1arctan2都是無窮小都是無窮小. .性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)性質(zhì)4有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小. .常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .第37頁/共45頁第三十八頁，共46頁。例例 1解解所以所以(suy),求求.sinlimxxx 因?yàn)橐驗(yàn)閤xxxxxsin1limsinlim 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí), xx1是無窮小量是無窮小量,是有界量是有界量xsin),1sin( x.0sinlim xxx第38頁/共45頁第三十九頁，共46頁。無窮大的概念無窮大的概念(ginin)定義定義(dngy)2并記作并記作 )(lim0 xfxx).)(lim( xfx

25、或或(或或 )時(shí)時(shí),如果在如果在0 xx x函數(shù)函數(shù))(xf的絕對值無限的絕對值無限(wxin)增大增大,)(xf為當(dāng)為當(dāng)0 xx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(或或 )時(shí)的時(shí)的無窮大無窮大. x當(dāng)當(dāng)0 xx (或或 )時(shí)為無窮大的函數(shù)時(shí)為無窮大的函數(shù) x),(xf按按通常的意義來說通常的意義來說,極限是不存在的極限是不存在的.但為了敘述函但為了敘述函數(shù)這一形態(tài)的方便數(shù)這一形態(tài)的方便,我們也說我們也說“函數(shù)的極限是無窮函數(shù)的極限是無窮大大”,如果在定義中如果在定義中,將將“函數(shù)函數(shù) 的絕對值無限增大的絕對值無限增大”)(xf第39頁/共45頁第四十頁，共46頁。無窮大舉例無窮大舉例(j l)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)

26、時(shí),0 xx1無限增大無限增大,故故x1是當(dāng)是當(dāng)0 x時(shí)的無窮大時(shí)的無窮大,即即.1lim0 xx(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 xxln取負(fù)值無限減小取負(fù)值無限減小,故故xln是當(dāng)是當(dāng) 0 x時(shí)的負(fù)無窮大時(shí)的負(fù)無窮大,即即.lnlim0 xx(3)當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)時(shí),xe1取正值無限增大取正值無限增大,故故xe1當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)是正無窮大時(shí)是正無窮大,即即.lim10 xxe第40頁/共45頁第四十一頁，共46頁。無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系(gun x)無窮大與無窮小之間有著無窮大與無窮小之間有著(yu zhe)密切的關(guān)系密切的關(guān)系.例如例如(lr),當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)x1是無窮大是無窮大,但其倒數(shù)但其倒數(shù), x則是則是同一變化過程中的無窮小同一變化過程中的無窮小;又如又如,當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí),函函數(shù)數(shù)21x是無窮小是無窮小,但其倒數(shù)但其倒數(shù)2x則是同一變化過程則是同一變化過程中的無窮大中的無窮大.一般地一般地,可以證明下列定理可以證明下列定理.定理定理2在自變量變化的同一過程中在自變量變化的同一過程中,無窮大的無窮大的倒數(shù)為無窮小倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大.根