創(chuàng)設(shè)動態(tài)情境發(fā)展空間觀念

1、    創(chuàng)設(shè)動態(tài)情境發(fā)展空間觀念    王小權(quán) 戴銀杏【摘 要】運(yùn)動變化觀點(diǎn)下的圖形與幾何教學(xué)，就是把圖形的運(yùn)動融入到課堂教學(xué)中，從而實(shí)現(xiàn)將靜態(tài)的幾何知識在動態(tài)處理中變式表征、挖掘本質(zhì)、梳理關(guān)系，使幾何表征更加直觀形象，空間關(guān)系更加簡潔清晰，知識結(jié)構(gòu)更加完整系統(tǒng)，從而促使學(xué)生在課堂上精準(zhǔn)理解概念內(nèi)涵、深度拓寬概念外延、系統(tǒng)構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展空間觀念?！娟P(guān)鍵詞】運(yùn)動變化；圖形與幾何；動態(tài)情境；空間觀念空間觀念是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心概念之一，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出，小學(xué)生在圖形與幾何的學(xué)習(xí)過程中，能對實(shí)物及圖形的

2、運(yùn)動與變化進(jìn)行適當(dāng)?shù)拿枋?，并能把握相互間的關(guān)系。由此可見，物體及圖形的運(yùn)動已經(jīng)成為課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要途徑之一。為此，筆者開展了運(yùn)動變化觀點(diǎn)下的小學(xué)圖形與幾何教學(xué)的實(shí)踐，就是將物體和圖形的運(yùn)動融入課堂教學(xué)中，將靜態(tài)的幾何圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等動態(tài)化處理，讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的動態(tài)情境中獲得直觀體驗(yàn)，從而更加精準(zhǔn)、深刻地理解圖形的本質(zhì)特征和空間關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。一、動態(tài)挖掘概念本質(zhì)，精準(zhǔn)理解概念內(nèi)涵小學(xué)生的思維以具體形象為主，教材在內(nèi)容的編排時(shí)一般都會順應(yīng)學(xué)生的思維特點(diǎn)，使學(xué)習(xí)素材力求體現(xiàn)直觀形象、易于感知。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，容易被事物外部的顯性表征所吸引，使學(xué)習(xí)活動流于表層，對具

3、有高度抽象性和內(nèi)隱性的本質(zhì)特征卻感而不悟。因此，在圖形與幾何的教學(xué)中，可以借助動態(tài)處理，使概念內(nèi)隱的本質(zhì)特征顯性化，從而促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的感悟與理解。比如，“平行與垂直”一課，教材的編排意圖是讓學(xué)生任意畫兩條直線，然后通過觀察分類得出兩條直線的位置關(guān)系，并總結(jié)平行線的概念。如果就此按部就班進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生往往能熟練記住概念，但對于“兩條直線相交但還沒有交叉”的情況往往不能做出正確的判斷。筆者覺得問題的癥結(jié)在于學(xué)生對平行線的概念認(rèn)知建立在兩條直線“不相交”的外在表征上，而沒有透過這一現(xiàn)象挖掘出“平行線之間的距離處處相等”的本質(zhì)屬性。于是，筆者從動態(tài)處理的視角進(jìn)行了實(shí)踐探索。（一）動態(tài)想象，呈

4、現(xiàn)素材課始，筆者通過多媒體演示對圖形的平移和旋轉(zhuǎn)知識進(jìn)行了回顧復(fù)習(xí)，然后組織學(xué)生通過空間想象創(chuàng)設(shè)了下面的動態(tài)情境：師：請閉上眼睛，根據(jù)老師的描述展開想象，格子圖上有一條直線，它開始向上作平移運(yùn)動，然后停下來了。想一想，這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？此時(shí)，學(xué)生根據(jù)老師的描述展開空間想象。師：格子圖上的一條直線繞著線上的某個(gè)點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)，它不停地轉(zhuǎn)，忽然停了下來。想一想，這兩條直線的位置關(guān)系又是怎樣的？學(xué)生在動態(tài)想象中，既積累了直線運(yùn)動的活動經(jīng)驗(yàn)，又借助已有的圖形運(yùn)動經(jīng)驗(yàn)充分感知了平面內(nèi)兩條直線的空間關(guān)系，為后續(xù)的探究活動提供了研究素材，激活了相關(guān)的活動經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也促進(jìn)了空間想象能力的發(fā)展。（二）經(jīng)

5、驗(yàn)遷移，挖掘本質(zhì)學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于自身經(jīng)驗(yàn)的生長，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生緊密聯(lián)系的平移情境，激活了學(xué)生已有的活動經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生對平行線本質(zhì)特征的挖掘。在學(xué)生完成作品后，筆者有針對性地挑選了部分作品（如下圖）進(jìn)行了交流。師：請你仔細(xì)觀察，看看哪些作品是通過圖形平移得到的，哪些作品是通過圖形旋轉(zhuǎn)得到的？在學(xué)生進(jìn)行區(qū)分后，教師繼續(xù)追問。師：比較一下，通過平移得到的兩條直線和通過旋轉(zhuǎn)得到的兩條直線的位置關(guān)系有什么不同？生：通過旋轉(zhuǎn)得到的兩條直線會相交，而通過平移得到的兩條直線不會相交。師：通過平移得到的兩條直線為什么不會相交呢？生：直線平移后，直線上的每一個(gè)點(diǎn)都平移了，所以每一處對應(yīng)點(diǎn)的距離都是相等的。師：每一處的

6、距離都要相等嗎？相差一點(diǎn)點(diǎn)也不行嗎？生：只要有一處不相等，就不是通過平移得到的，所以就不平行。以上過程中，學(xué)生把從平移中獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移到平行線的認(rèn)知中，使“平行線之間的距離處處相等”這一隱性特征得以顯性化，加深了學(xué)生對概念本質(zhì)的深度理解，同時(shí)也為后續(xù)平行線的應(yīng)用埋下了伏筆。（三）操作應(yīng)用，內(nèi)化概念當(dāng)學(xué)生理解了概念的本質(zhì)屬性后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐應(yīng)用加深對所學(xué)知識的理解并得到內(nèi)化。隨后，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷畫平行線的過程，進(jìn)一步感悟“平移平行平移”的認(rèn)知過程，即從平移現(xiàn)象中學(xué)習(xí)平行的本質(zhì)特征，再用本質(zhì)特征去解釋平移的現(xiàn)象，深化概念的理解。二、動態(tài)變式概念表征，深度拓寬概念外延小學(xué)教材中，幾何概念的

7、本質(zhì)屬性一般通過基本圖形的共性特征得到體現(xiàn)，因而易于被學(xué)生所感知，但也往往造成學(xué)生認(rèn)知上的局限。因此，筆者通過圖形的運(yùn)動變式概念表征，使學(xué)生從圖形“變”的現(xiàn)象中感悟“不變”的本質(zhì)，從而拓寬概念外延，突破認(rèn)知局限，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。比如，人教版五年級下冊“三角形的認(rèn)識”一課中，以銳角三角形為例學(xué)習(xí)了高的概念以后，需要引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)特征在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)一步認(rèn)識兩類特殊的高，這也是學(xué)生認(rèn)識高的一個(gè)難點(diǎn)，筆者從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行了探索。（一）動中察變，感知規(guī)律教學(xué)中，在學(xué)生認(rèn)識了銳角三角形中的高后，筆者出示了平行線內(nèi)的一個(gè)銳角三角形，并作動態(tài)演示（如下圖）：兩條平行線間的銳角三角形abc

8、，以bc為底畫出三角形的高，然后把頂點(diǎn)a沿著平行線中的一條直線向右平移，此時(shí)三角形底邊上的高也會隨著頂點(diǎn)a向右移動，形成了一系列同底等高的銳角三角形，然后引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)圖形運(yùn)動的變化規(guī)律。師：三角形的什么在變，什么沒有變？生：三角形的形狀在變，但底不變。生：高隨著頂點(diǎn)移動，但長短不變。師：你能說說高的位置移動與三角形的形狀變化之間有什么聯(lián)系嗎？生：高的位置越來越靠近ac這條邊。繼續(xù)演示：向右平移頂點(diǎn)a，當(dāng)出現(xiàn)高與ac重合時(shí)停止。師：高在什么位置？生：三角形的高與直角邊重合了，這時(shí)直角邊ac既是三角形的邊，又可以看作是三角形的高。此環(huán)節(jié)的教學(xué)，通過圖形的動態(tài)演示，讓學(xué)生在觀察圖形的變與不變中，感知

9、圖形的形狀和高的位置在變，但三角形高的本質(zhì)不變。（二）變中求聯(lián)，拓寬外延在學(xué)生認(rèn)識了直角邊上的高，感知了三角形高的位置移動變化規(guī)律后，筆者繼續(xù)讓學(xué)生通過動態(tài)變化想象鈍角三角形鈍角邊上的高。師：如果直角三角形的頂點(diǎn)a繼續(xù)向右邊平移，想象一下，會產(chǎn)生什么三角形？它的高又會在什么位置呢？學(xué)生展開動態(tài)想象，大部分學(xué)生對于高的位置不置可否。此時(shí)教師繼續(xù)演示：向右平移頂點(diǎn)a，形成了一個(gè)鈍角三角形。師：這是什么三角形？（鈍角三角形）它的高在什么位置？生：在三角形的外面。師：這還是三角形的高嗎？生：還是三角形的高，因?yàn)檫@還是一條從三角形的頂點(diǎn)a向它的對邊bc所做的一條垂直線段。師：通過剛才的一系列變化，你有什

10、么發(fā)現(xiàn)？生：不管哪一條高，都是頂點(diǎn)到它的對邊作一條垂直線段，但位置不一樣了。銳角三角形的高在三角形里面，直角三角形的高與直角邊重疊，鈍角三角形的高跑到三角形的外面了。以上的教學(xué)過程，筆者從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，抓住三類三角形“同底等高”的這一聯(lián)系點(diǎn)，通過平移三角形的頂點(diǎn)，拓寬了三角形高的外延，突破了三角形高的認(rèn)知局限，同時(shí)也突出了三角形高的本質(zhì)屬性，促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。（三）聯(lián)中促通，突破難點(diǎn)當(dāng)學(xué)生完整建構(gòu)了三角形高的概念后，畫高成了學(xué)生學(xué)習(xí)的重要任務(wù)，特別是畫鈍角三角形外面的高時(shí)，學(xué)生往往找不到三角板擺放的位置。筆者在實(shí)踐中采取“聯(lián)中促通、動態(tài)遷移”的方法突破了畫高難點(diǎn)。師：畫這條鈍角邊

11、上的高，你覺得三角尺放在什么位置合適呢？（出示一個(gè)鈍角三角形）生：我們可以借助平移高的方法，讓三角板的一條直角邊與三角形的底邊重合，然后沿著三角形的底邊向頂點(diǎn)所在一邊平移，直到三角尺的另一直角緊靠著頂點(diǎn)，然后畫出高。以上教學(xué)片段中，學(xué)生在畫鈍角三角形外面的高時(shí)，沒有采取從頂點(diǎn)向?qū)呑饕粭l垂線的常規(guī)畫法，而是借助了之前因平移頂點(diǎn)而導(dǎo)致高的位置移動的活動經(jīng)驗(yàn)，通過平移三角板的方式找到了高的準(zhǔn)確位置，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的融通和方法的遷移，突破了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。三、動態(tài)梳理概念關(guān)系，系統(tǒng)建立知識結(jié)構(gòu)圖形與幾何教學(xué)中，每一個(gè)概念都有著各自獨(dú)特的屬性，概念之間也有著非常密切的聯(lián)系。在動態(tài)中梳理概念之間的關(guān)系，既可以清

12、晰地掌握概念的本質(zhì)特征，同時(shí)又可以系統(tǒng)構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了五年級上冊平面圖形的面積后，在學(xué)生借助面積計(jì)算公式梳理知識后，筆者嘗試讓學(xué)生通過圖形的運(yùn)動尋找多邊形間的特殊關(guān)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。（一）變中求異，初步感知師：平行四邊形和梯形是四邊形家族中的重要成員，它們間有什么不同的地方呢？生：它們都是四邊形，最大的不同是平行四邊形有兩組對邊平行，而梯形只有一組對邊平行。筆者通過動態(tài)演示：把梯形上底的一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行平移，使兩腰也平行，變成了平行四邊形。師：通過剛才的演示，什么在變，什么沒有變？生：當(dāng)梯形的上、下底長度相等時(shí)，該梯形也就成了一個(gè)“特殊”的梯形。學(xué)生在動態(tài)演示過程中，初步感知了通過

13、改變圖形的特征，可以實(shí)現(xiàn)圖形間的相互轉(zhuǎn)化，從“另類”的視角打開了圖形關(guān)系梳理的一扇窗。（二）變中求同，系統(tǒng)建構(gòu)當(dāng)學(xué)生初步感知了梯形和平行四邊形的變與不變之后，筆者借助多媒體繼續(xù)演示：沿著梯形的上底向右平移頂點(diǎn)a，（如右上圖）當(dāng)上下底相等時(shí)，圖形變成了上下底相等的“特殊梯形”（平行四邊形）；如果反之，當(dāng)這個(gè)a點(diǎn)逐漸挨近b點(diǎn)，當(dāng)上底的兩個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，圖形變成了上底等于零的“特殊梯形”（三角形）。在圖形的動態(tài)變化過程中，學(xué)生感悟了改變梯形上下底的長度關(guān)系，梯形可以在平行四邊形和三角形之間互相轉(zhuǎn)化，那么梯形的面積計(jì)算公式就可以將平行四邊形和三角形的面積計(jì)算方法包括其中，達(dá)到以簡馭繁、以少統(tǒng)多的效果，使概念間的關(guān)系在動態(tài)梳理中更加系統(tǒng)。（三）變中求解，綜合應(yīng)用我們經(jīng)常會碰到這樣的一類題目：比較兩條平行線之間的平行四邊形、三角形和梯形的面積大?。ㄈ缦聢D）。對于此類題目，我們一般的處理方法是假設(shè)出高的值，然后運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算比較。以上方法是建立在圖形面積公式的熟練計(jì)算的基礎(chǔ)上，如果我們借助圖形的動態(tài)處理，把三角形和平行四邊形分別看作上底是零、上下底相等的特殊梯形。那么在高相等的前提下，只要比較梯形上下底和的大小，就可以輕而易舉地得出三個(gè)圖形面積的大小關(guān)系，既解決了問題，又發(fā)展了學(xué)生的思維。總之，運(yùn)動變