排列組合知識點與方法歸納(共5頁)

1、排列組合知識點與方法歸納一、 知識要點1. 分類計數(shù)原理與分步計算原理（1） 分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ mn種不同的方法。（2） 分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1× m2×× mn種不同的方法。2. 排列（1） 定義從n個不同元素中取出m（ ）個元素的所有排列的個數(shù)，

2、叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為 .（2） 排列數(shù)的公式與性質(zhì)a) 排列數(shù)的公式： =n（n-1）（n-2）（n-m+1）= 特例：當(dāng)m=n時， =n！=n（n-1）（n-2）×3×2×1 規(guī)定：0！=1b) 排列數(shù)的性質(zhì)：（） =（）（） 3. 組合（1） 定義a) 從n個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合b) 從n個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示。（2） 組合數(shù)的公式與性質(zhì)a) 組合數(shù)公式： （乘積表示） （階乘表示）特例： b) 組合數(shù)的主要

3、性質(zhì)：（） （） 4. 排列組合的區(qū)別與聯(lián)系（1） 排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2）注意到獲得（一個）排列歷經(jīng)“獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排列”兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系： 二、經(jīng)典例題例1、某人計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（ ）A .5種 B.6種 C. 7種 D. 8種解：注意到購買3片軟件和2盒磁盤花去32

4、0元，所以，這里只討論剩下的180元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有2種方法； 第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法；于是由分類計數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選C。例2、在中有4個編號為1，2，3，4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是

5、相同顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，進(jìn)而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時有N1=5×4×4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時有N2=5×4×3×3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。例3、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3，并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：注意到這里“0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“

6、0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選兩個作排列有 種；進(jìn)而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個。第二類：含有“0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間接法”：首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選一個，而后與0，2，3進(jìn)行全排列，這樣的排列共有 個。其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險：（1）0在首位的，有 個；（2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有 個（3）0在個位的，但2與3相鄰的，有 個因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有 =30個于是可知，符合條件的四位數(shù)共有3

7、6+30=66個例4、某人在打靶時射擊8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）A.720種 B.480種 C.24種 D.20種分析：首先，對未命中的4槍進(jìn)行排列，它們形成5個空擋，注意到未命中的4槍“地位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2個排進(jìn)去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結(jié)果菜有 種。例5、（1） ；（2）若 ，則n=；（3） ；（4）若 ，則n的取值集合為 ；（5）方程 的解集為 ；解：（1）注意到n滿足的條件 原式= （2）運用楊輝恒等式，已知等式 所求n=4。（3）根