排列組合基礎(chǔ)知識(shí)打印版

1、排列組合基礎(chǔ)知識(shí)1、 兩大原理1. 加法原理（1） 定義：做一件事，完成它有類方法，在第一類方法中有中不同的方法，第二類方法中有種不同的方法.第類方法中種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。（2） 本質(zhì)：每一類方法均能獨(dú)立完成該任務(wù)。（3） 特點(diǎn)：分成幾類，就有幾項(xiàng)相加。2. 乘法原理（1） 定義做一件事，完成它需要個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有中不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同的方法.做第個(gè)步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。（2） 本質(zhì)：缺少任何一步均無法完成任務(wù)，每一步是不可缺少的環(huán)節(jié)。（3） 特點(diǎn)：分成幾步，就有幾項(xiàng)相乘。2、 排列組合1. 排列（1） 定義：從個(gè)不同的

2、元素中，任取個(gè)（）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同的元素中，選取個(gè)元素的一個(gè)排列，排列數(shù)記為，或記為。（2） 使用排列的三條件個(gè)不同元素；任取個(gè)；講究順序。（3） 計(jì)算公式（4）關(guān)于P若，責(zé)稱為全排列，記為，全排列（）尤其：例如：例：把4個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球，有多少種放法？2. 組合（1） 定義：從個(gè)不同的元素中，任取個(gè)（）元素并為一組，叫做從個(gè)不同的元素中，選取個(gè)元素的一個(gè)組合，組合數(shù)記為。（2） 使用三條件個(gè)不同元素；任取個(gè)；并為一組，不講順序。（3） 計(jì)算公式尤其：（4）關(guān)于PPS. 規(guī)定及例如：例：孫佳在自助餐廳就餐，這只超級(jí)能吃的豬準(zhǔn)備挑選三種肉

3、類中的一類，四種蔬菜中的兩種，以及四種點(diǎn)心中的一種。若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少種不同的選擇方法？例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？A.226B.246C.264D.288例2.旅行社有豪華游5種和普通游4種，某單位欲從中選擇4種，其中至少有豪華游和普通游各一種的選擇有（）種。A.60B.100C.120D140排列組合的常見題型及其解法一. 特殊元素（位置）用優(yōu)先法把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？分析：解有限制條件

4、的元素（位置）這類問題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。解法1：（元素分析法）因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥?，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個(gè)位置上，有種站法，故站法共有：480（種）解法2：（位置分析法）因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯?，故第一步先從甲以外?個(gè)人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個(gè)人（含甲）站在中間4個(gè)位置，有種，故站法共有：（種）二. 相鄰問題用捆綁法對于要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個(gè)元素看作一個(gè)整體，視為一個(gè)元素，及其他元素進(jìn)行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2. 5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一

5、排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？解：把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，及5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有種，然后女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有種，所以排法共有：（種）。三. 相離問題用插空法元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個(gè)空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）四. 定序問題用除法對于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法。解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此

6、只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，則有種排列方法。例4.由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)？解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個(gè)位及十位上的數(shù)字一定，所以所求的六位數(shù)有：（個(gè)）五. 分排問題用直排法對于把幾個(gè)元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。例5. 9個(gè)人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？解：9個(gè)人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，所以三排可以看作一排來處理，不同的坐標(biāo)共有種。六. 復(fù)雜

7、問題用排除法對于某些比較復(fù)雜的或抽象的排列問題，可以采用轉(zhuǎn)化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應(yīng)用此法時(shí)要注意做到不重不漏。例6. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（）A. 150種B. 147種C. 144種D. 141種解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上

8、三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：（種）。七. 多元問題用分類法按題目條件，把符合條件的排列、組合問題分成互不重復(fù)的若干類，分別計(jì)算，最后計(jì)算總數(shù)。例7.已知直線中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。解：設(shè)傾斜角為，由為銳角，得，即a，b異號(hào)。（1）若c0，a，b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（，），故有：3×327（條）。（2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：3×3×436（條）。從而符合要求的直線共有：73643（條）八. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略處理排列、組合綜合性問題一般是先選元素，后排列。例8. 將4名教師分派到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？解：可分兩步進(jìn)行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學(xué)任教有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分派方案共有：（種）。因此共有36種方案。九. 隔板模型