向量-向量叉乘向量點(diǎn)乘

1、向量-向量叉乘向量點(diǎn)乘2010年07月28日 星期三 14:33向量(Vector)在幾乎所有的幾何問(wèn)題中，向量(有時(shí)也稱矢量)是一個(gè)基本點(diǎn)。向量的定義包含方向和一個(gè)數(shù)(長(zhǎng)度)。在二維空間中，一個(gè)向量可以用一對(duì)x和y來(lái)表示。例如由點(diǎn)(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)來(lái)表示。這里大家要特別注意，我這樣說(shuō)并不代表向量定義了起點(diǎn)和終 點(diǎn)。向量?jī)H僅定義方向和長(zhǎng)度。向量加法向量也支持各種數(shù)學(xué)運(yùn)算。最簡(jiǎn)單的就是加法。我們可以對(duì)兩個(gè)向量相加，得到的仍然是一 個(gè)向量。我們有：V1 (x1, y1 ) +V2 (x2, y2 ) =V3(x1+x2, y1+y2)下圖表示了四個(gè)向量相加。注意就像普通的

2、加法一樣，相加的次序?qū)Y(jié)果沒(méi)有影響(滿足交換律)，減法也是一樣的。The sum of vectors A+B+C+D點(diǎn)乘(Dot Product)如果說(shuō)加法是憑直覺(jué)就可以知道的，另外還有一些運(yùn)算就不是那么明顯的，比如點(diǎn)乘和叉乘。點(diǎn)乘比較簡(jiǎn)單，是相應(yīng)元素的乘積的和：V1( x1, y1)V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2注意結(jié)果不是一個(gè)向量，而是一個(gè)標(biāo)量(Scalar)。點(diǎn)乘有什么用呢，我們有：A B = |A|B|Cos( 3)。是向量A和向量B見(jiàn)的|B。這里|A|我們稱為向量 A的模(norm),也就是A的長(zhǎng)度，在二維空間中就是|A| = sqrt(x2+y2)。這樣我們

3、就和容易計(jì)算兩條線的:Cos( 0 ) = A B /(|A|B|)當(dāng)然你知道要用一下反余弦函數(shù)acos()啦。(回憶一下cos(90)=0和cos(0) = 1還是有好處的，希望你沒(méi)有忘記。)這可以告訴我們?nèi)绻c(diǎn)乘的結(jié)果，簡(jiǎn)稱點(diǎn)積，為 0的話就表示這兩個(gè)向量垂直。當(dāng)兩向量平行時(shí)，點(diǎn)積有最大值另外，點(diǎn)乘運(yùn)算不僅限于 2維空間，他可以推廣到任意維空間。(譯注：不少人對(duì)量子力學(xué)中的高維空間無(wú)法理解，其實(shí)如果你不要試圖在視覺(jué)上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數(shù)學(xué)上的推廣，那么就好理解了)fl叉乘(cross product)相對(duì)于點(diǎn)乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：V1(x1, y1)

4、 X V2(x2, y2) = x1y2 - y1x2看起來(lái)像個(gè)標(biāo)量，事實(shí)上叉乘的結(jié)果是個(gè)向量，方向在z軸上。上述結(jié)果是它的模。在二維空間里，讓我們暫時(shí)忽略它的方向， 將結(jié)果看成一個(gè)向量，那么這個(gè)結(jié)果類似于上述的點(diǎn)積， 我們有：A x B = |A|B|Sin( 。)然而角度 。和上面點(diǎn)乘的角度有一點(diǎn)點(diǎn)不同，他是有正負(fù)的，是指從 A到B的角度。下圖 中。為負(fù)。另外還有一個(gè)有用的特征那就是叉積的絕對(duì)值就是A和B為兩邊說(shuō)形成的平行四邊形的面積。也就是AB所包圍三角形面積的兩倍。在計(jì)算面積時(shí)，我們要經(jīng)常用到叉積。(譯注：三維及以上的叉乘參看維基：/wiki

5、/Cross_product )Parallelogram from A and B點(diǎn)-線距離找出一個(gè)點(diǎn)和一條線間的距離是經(jīng)常遇見(jiàn)的幾何問(wèn)題之一。假設(shè)給出三個(gè)點(diǎn)，A, B和C,你想找出點(diǎn)C到點(diǎn)A、B定出的直線間距離。第一步是找出 A到B的向量AB和A到C的 向量AC ,現(xiàn)在我們用該兩向量的叉積除以|AB|,這就是我們要找的的距離了(下圖中的紅線)。如果你有基礎(chǔ)的高中幾何知識(shí)，你就知道原因了。上一節(jié)我們知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面積，這個(gè)三角形的底是 |AB|，高就是C到AB的距離。有時(shí)叉積得到的是一個(gè)負(fù) 值，這種情況下距離就是上述結(jié)果的絕對(duì)值。當(dāng)我們要找點(diǎn)到線段的距離時(shí)，情況變

6、得稍稍復(fù)雜一些。這時(shí)線段與點(diǎn)的最短距離可能是點(diǎn)到線段的某一端點(diǎn)，而不是點(diǎn)到直線的垂線。例如上圖中點(diǎn) C到線段AB的最短距離應(yīng)該 是線段BC。我們有集中不同的方法來(lái)判斷這種特殊情況。第一種情況是計(jì)算點(diǎn)積AB Bc來(lái)判定兩線段間 。如果點(diǎn)積大于等于零，那么表示 AB到BC是在-90到90度間，也就是 說(shuō)C到AB的垂線在AB外，那么AB上到C距離最近的點(diǎn)就是B。同樣，如果 BAAC大于等于零，那么點(diǎn) A就是距離C最近的點(diǎn)。如果兩者均小于零，那么距離最近的點(diǎn)就在線 段AB中的莫一點(diǎn)。源代碼參考如下：/Compute the dot product AB BCint dot(int A, int B,

7、int C)AB = new int2;BC = new int2;AB0 = B0-A0;AB1 = B1-A1;BC0 = C0-B0;BC1 = C1-B1;int dot = AB0 * BC0 + AB1 * BC1;return dot;/Compute the cross product AB x ACint cross(int A, int B, int C)AB = new int2;AC = new int2;AB0 = B0-A0;AB1 = B1-A1;AC0 = C0-A0;AC1 = C1-A1;int cross = AB0 * AC1 - AB1 * AC0;r

8、eturn cross;/Compute the distance from A to B double distance(int A, int B) int di = A0 - B0; int d2 = A1 - B1; return sqrt(d1*d1+d2*d2);/Compute the distance from AB to C/if isSegment is true, AB is a segment, not a line.double linePointDist(int A, int B, int C, boolean isSegment)double dist = cros

9、s(A,B,C) / distance(A,B);if(isSegment)(int dotl = dot(A,B,C);if(dot1 > 0)return distance(B,C);int dot2 = dot(B,A,C);if(dot2 > 0)return distance(A,C);return abs(dist);上面的代碼看起來(lái)似乎是很繁瑣。不過(guò)我們可以看看在C+和C#中，采用了運(yùn)算符重載的類point，用*代表點(diǎn)乘，用時(shí)代表叉乘(當(dāng)然'+''-'還是你所希望的)，那么看起來(lái)就簡(jiǎn)單些, 代碼如下：/Compute the distance from AB to C/if isSegment is true, AB is a segment, not a line.double linePointDist(point A, point B, point C, bool isSegment)(double dist = (B-A)A(C-A) / sqrt(B-A)*(B-A);if