山東省青島市膠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、山東省青島市膠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020 學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中模擬檢測（時間： 120分鐘滿分： 150分）一、單選題1.已知復(fù)數(shù)z 滿足12zii，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ （a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 d 【解析】復(fù)數(shù) z 滿足12i zi（2121311122iiiziiii（則復(fù)數(shù)z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)13,22在第四象限，故選d.2.3sin502cos20sin20（）a. 1b. 2c. 1d. 2【答案】 d 【解析】【分析】先通分 ,再利用正弦的二倍角公式,進(jìn)而利用正弦的差角公式化簡即可.【詳解】2sin 60403

2、sin503sin502sin 20 cos203cos40sin402cos202sin20sin20sin20sin20故選 : d【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查正弦的二倍角公式和差角公式的應(yīng)用.3.若函數(shù)( )sin 23cos2f xxx在,3t上的值域?yàn)?,2，則t的最小值為（）a. 23b. 2c. 712d. 512【答案】 d 【解析】【分析】把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解【詳解】( )sin23cos2f xxx132(sin2cos2 )2sin(2)223xxx，, 3xt時，2,2333xt，由于( )3,2f x，232t，512

3、t，t的最小值是512故選： d.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查兩角差的正弦公式，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵4.已知復(fù)數(shù)z滿足12zii（i為虛數(shù)單位） ，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）.a. 12b. 12c. 12id. 12i【答案】 a 【解析】【分析】首先21izi，然后化簡求虛部.【詳解】231122iiiz，虛部12.故選 a.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于簡單題型.5.若樣本數(shù)據(jù)1210,x xx的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)121x，221x，1021x的標(biāo)準(zhǔn)差為（）a. 8b. 15c. 16d. 32 【答案】 c 【解析】試題分析：樣本數(shù)據(jù)1x，2x，10

4、x的標(biāo)準(zhǔn)差為8， 所以方差為64 ， 由214dxd x可得數(shù)據(jù)121x，221x，1021x的方差為4 64，所以標(biāo)準(zhǔn)差為46416考點(diǎn)：方差與標(biāo)準(zhǔn)差6.已知042a，且5sincos5，4sin45則sin()（）a. 3 1010b. 155c. 155d. 3 1010【答案】 d 【解析】【分析】首 先 根 據(jù)5sincos5， 求 得10sin410， 結(jié) 合 角 的 范 圍 ， 利 用 平 方 關(guān) 系 ， 求 得3 10cos410， 利 用 題 的 條 件 ， 求 得3cos45， 之 后 將 角 進(jìn) 行 配 湊 ， 使 得sinsin44a，利用正弦的和角公式求得結(jié)果. 【詳

5、解】因?yàn)?sincos5，所以10sin410，因?yàn)?2a，所以3 10cos410. 因?yàn)?4，4sin45，所以3cos45，所以sinsin44a1033 1043 1010510510，故選 d. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關(guān)注角的范圍.7.在等腰直角三角形abc中，090 ,2ccau uu v，點(diǎn)p為abc所在平面上一動點(diǎn)，且滿足1bpuuu v,求()bpcacbu u u vuu u vuuu v的取值范圍a. 22,0b. 0,2 2c. 2 2,d. 22, 2 2【答案】

6、d 【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系， 用坐標(biāo)表示向量， 用參數(shù)方程表示點(diǎn)p的坐標(biāo)，從而求出bp cacbuu u v uu u vuuu v的取值范圍【詳解】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則 a（0（2（b（2（0（c（0（0（由|bpuuu v|=1 知，點(diǎn) p在以 b 為圓心，半徑為1 的圓上，設(shè) p（2+cos（sin （0 （2（則bpuuu v=（ cos （ sin （又cauu u v+cbuu u v=（ 2（ 2（bpuu u v?（cau u u v+cbu u u v（ =2cos +2sin =22sin （+4（當(dāng) +4=2，即 =4時，bpuuu v?（

7、cauu u v+cbu uu v）取得最大值22（當(dāng) +4=32，即 =54時，bpuu u v?（cau u u v+cbuu u v）取得最小值22（bpuu u v?（cau u u v+cbu u u v）的取值范圍是 （22（22 （故選 d（【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，是中檔題向量的兩個作用：（載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、 作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；（ 工具作用： 利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題. 8.王明同學(xué)隨機(jī)抽查某市10 個小區(qū)所得到的綠化率情況如下表所示：小區(qū)綠化率（ %）20253032小區(qū)個數(shù)2431則關(guān)于這1

8、0 個小區(qū)綠化率情況，下列說法錯誤的是( ) a. 方差是 13% b. 眾數(shù)是 25% c. 中位數(shù)是25% d. 平均數(shù)是26.2% 【答案】 a 【解析】【分析】分別求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，眾數(shù)為25% ，選項(xiàng)b正確；中位數(shù)為25%，選項(xiàng)c正確；平均數(shù)為2022543033226.210，選項(xiàng)d正確；方差222212(2026.2)4(2526.2)3(3026.2)(3226.2) 15.9610；選項(xiàng)a錯誤 .故選 :a.【點(diǎn)睛】本題考查方差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算，意在考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9.已知復(fù)數(shù)z 滿足23z z

9、izai，ar，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）a. 1b. 4c. 0d. 5【答案】 abc 【解析】【分析】設(shè)zxyi，從而有222 ()3xyi xyiai，利用消元法得到關(guān)于y的一元二次方程，利用判別式大于等于 0，從而求得a的范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)zxyi，222 ()3xyi xyiai，222223,23042,xyyayyxa，244(3)04a，解得：44a，實(shí)數(shù)a的值可能是1, 4,0. 故選： abc. 【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.10. 已知單位向量av、bv，則下面正確的式子是（）a. 1a bvvb.

10、22abvvc. abvvd. 0abvv【答案】 bd 【解析】【分析】根據(jù)單位向量的概念和性質(zhì)，對四個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從而得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄縜r、br為兩個單位向量，所以cos,a ba ba br rrrr r，當(dāng)ar與br的夾角不為0 時，不能得到1a br r，abrr，故選項(xiàng)a、c 錯誤；因?yàn)橄蛄縜r、br為兩個單位向量，所以1abrr，所以22abrr，0abrr都成立，故選項(xiàng)b、d 正確 .故選： bd【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念和性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡單題.11. 將函數(shù)3cos 213fxx的圖象向左平移3個單位長度，再向上平移1 個單位長度，得到函數(shù)g x

11、的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g x的說法正確的是（）a. 最大值為3，圖象關(guān)于直線12x對稱b. 圖象關(guān)于y軸對稱c. 最小正周期為d. 圖象關(guān)于點(diǎn),04對稱【答案】 bcd 【解析】【分析】利用函數(shù)sin(+yax）的圖象變換規(guī)律，求得( )g x的解析式，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論【詳解】將函數(shù)3cos 213fxx的圖象向左平移3個單位長度，得到3cos 213cos 213cos2133yxxx的圖象；再向上平移1 個單位長度，得到函數(shù)3cos2g xx的圖象，對于函數(shù)g x，它的最大值為3，由于當(dāng)12x時，32g x，不是最值，故g x的圖象不關(guān)于直線12x對稱，故a 錯誤；由于

12、該函數(shù)為偶函數(shù)，故它的圖象關(guān)于y 軸對稱，故b 正確；它的最小正周期為22，故 c 正確；當(dāng)4x時，0g x，故函數(shù)g x的圖象關(guān)于點(diǎn),04對稱，故d 正確 .故選： bcd【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)sin(+yax）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題12. 下列說法正確的有（）a. 在abc中，:sin:sin:sina b cabcb. 在abc中，若sin2sin2ab，則abc. 在abc中，若sinsinab，則ab，若ab，則sinsinab都成立d. 在abc中，sinsinsinabcabc【答案】 acd 【解析】【分析】設(shè)abc的外接圓半徑為r，利用正弦定理可判

13、斷a、d 選項(xiàng)的正誤；利用正弦定理與大邊對大角定理可判斷 c 選項(xiàng)的正誤；利用正弦定理與余弦定理可判斷b 選項(xiàng)的正誤 .綜合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)abc的外接圓半徑為r，由正弦定理得2sinsinsinabcrabc.對于 a 選項(xiàng)，:2sin: 2 sin:2sinsin:sin:sina b crarbrcabc，a 選項(xiàng)正確；對于 d 選項(xiàng)，2sin2sin2sinsinsinsinsinbcrbrcarbcbca，d 選項(xiàng)正確；對于 b 選項(xiàng)，由二倍角公式得2sincos2sincosaabb，則2222222222bcaacbabbcac，即22222222abcabacb，整理得4

14、422220aba cb c，即222220ababc，則220ab或222abc，所以ab或2c，b 選項(xiàng)錯誤；對于 c 選項(xiàng)，sinsinababab（大邊對大角） ， c 選項(xiàng)正確 .故選： acd.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，解題時充分利用邊角互化的思想求解較為簡單，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題 .三、填空題13. 設(shè)復(fù)數(shù)1i2i1iz，則z_【答案】 3【解析】【分析】將復(fù)數(shù)1i2i1iz化為( ,)abi a br的形式，利用復(fù)數(shù)的模的定義即可求出z【詳解】因?yàn)?1i(1i)2i2ii1i(1i)(1i)2z，所以3zi，所以220( 3)3z故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的

15、四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題14. 已知菱形abcd的棱長為 3，e 為棱cd上一點(diǎn)且滿足2ceed，若6ae ebuuu v uu u v，則 cosc =_.【答案】13【解析】【分析】利用 e 為三等分點(diǎn)結(jié)合向量加減法把所給數(shù)量積轉(zhuǎn)化為,cd cbuuu r uu u r之間的關(guān)系即可解決【詳解】解：如圖，2ceedu uu ruuu rq，ce2ed，由6ae ebuuu r uu u r得() ()6dedacbceuu u ru uu ruuu ru uu r，得6de cbde ceda cbda ceuuu r uuu ruuu r u uu ruu u r uuu ruuu

16、 r u uu r，得296ed cbcb ceu uu r u uu ruu u r u uu r，得(1ceedcbuuu ruu u ru uu r），即1ed cbuuu r uuu r，即113cd cbuu u r u uu r13 3cos13c，1cos3c，故答案為13【點(diǎn)睛】此題考查了向量數(shù)量積的定義，向量加減法法則，難度不大15. 已知向量ar，br滿足| 2av，2bv，且2aabrrr，則br在ar方向上的投影為_.【答案】 -1【解析】【分析】利用向量的垂直關(guān)系，推出a br r，然后求解br在ar方向上的投影?！驹斀狻肯蛄縜r，br滿足| 2ar，|2br，且2a

17、abrrr，可得20aabrrr，即220aa brr r，可得2a br r，則br在ar方向上的投影為：1a bar rr故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積以及向量數(shù)量積的幾何意義，要熟記向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。16. 若方程3cos 265x在(0,)的解為1x，2x，則12cos xx_.【答案】35-【解析】分析】由已知可得1276xx，得到1276xx，則1227coscos26xxx，結(jié)合已知得答案【詳解】解：由方程3cos 265x在(0,)的解為1x，2x，得123cos 2cos 2665xx，(0,),xq112,666x，而當(dāng)332,0cos 2666

18、25xx，1222662xx，1276xx，1227coscos26xxx，又23cos 265x，122273coscos2cos 2665xxxx，故答案為35-【點(diǎn)睛】本題考查acos()yx型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是對稱性的應(yīng)用是關(guān)鍵，是中檔題四、解答題17. 從高三學(xué)生中抽出50 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖. 利用頻率分布直方圖求：【（1）這 50 名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這 50 名學(xué)生的平均成績.（答案精確到0.1）【答案】（ 1）眾數(shù)為75 分，中位數(shù)為76.7分； （2） 76.2分【解析】【分析】（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可求得眾

19、數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念可求得中位數(shù)；.（2）由平均數(shù)的概念和頻率直方圖可求得平均數(shù). 【詳解】（ 1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可知，這50 名學(xué)生成績的眾數(shù)為75 分.因?yàn)閿?shù)學(xué)競賽成績在40,70頻率為0.0040.0060.020100.3，數(shù)學(xué)競賽成績在70,80的頻率為0.030 100.3.所以中位數(shù)為0.50.3701076.70.3.（2）這 50 名學(xué)生的平均成績?yōu)?50.004 10550.006 10650.020 1075(0.030 10)850.024 10950.016 1076.2.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率直方圖求得數(shù)字特征，關(guān)鍵在于理解各數(shù)字特征的含義，屬于基礎(chǔ)

20、題.18. 已知向量ar（cosx，3cosx） ，br（cosx，sinx） （1）若arbr，02x，求 x 的值；（2）若 f（x）ar?br，02x，求 f（x）的最大值及相應(yīng)x的值【答案】（ 1）2x或3x（2）( )f x 的最大值為32，此時6x【解析】【分析】（1）利用向量共線得到三角方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問題，易解；（2）把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用角的范圍結(jié)合單調(diào)性即可得到最大值【詳解】 解： （1）3acosxcosxr，bcosxsinxr，的abrpr，23cosxsinxcos x，30cosx sinxcosx，cosx0或30sinxcosx，即 cosx0；

21、或 tanx3，02x，2x或3x；（2）fxa brr23cos xcosxsinx123222cos xsin x1262sinx02x，72666x，12162sinx，302fx，故 f（x）的最大值為32，此時6x【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了向量共線與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力與計算能力.19.已知角a、b、c是abc的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量2(2 3sin,2cos)22aamr，(cos, 1)2anr，mnrr（1）求角a的大小；（2）若32,cos3ab，求b的長【答案】（ 1）3a（2）4 23b【解析】【分析】（1） 根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量

22、積為0， 利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡0mnrr， 利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，提取 2后，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由a的范圍求出此角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出a的度數(shù)；（2）由b的范圍及cosb的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin b的值，然后由a，sin a及sin b的值，利用正弦定理求出b的值即可【詳解】 解： （1）qmnrr，2(23sin,2cos) (cos, 1)222aaam nrrgg22 3sincos2cos222aaa3sincos10aa3sincos1aa，1sin()62a，0aq，5

23、666a，66a，3a；（2）在abc中，3a，2a，3cos3b，216sin1cos133bb，由正弦定理知：sinsinabab，62sin4 23sin332abba4 23b【點(diǎn)睛】 本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，三角函數(shù)的恒等變換及正弦定理要求學(xué)生掌握平面向量垂直時滿足的關(guān)系及正弦函數(shù)的值域，牢記特殊角的三角函數(shù)值20. 為了了解居民的用電情況, 某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量( 單位 :kw hg), 并將樣本數(shù)據(jù)分組為160,180,180,200,20,220,220,240,240,260,260,280,280,300 , 其頻率分布直方圖如圖所示. (

24、1) 若樣本中月均用電量在240,260的居民有30戶, 求樣本容量 ; (2) 求月均用電量的中位數(shù); (3) 在月均用電量為220,240,240,260,260,280,280,300的四組居民中, 用分層隨機(jī)抽樣法抽取22戶居民 , 則月均用電量在260,280的居民應(yīng)抽取多少戶? 【答案】 (1)200 (2)224 (3)4 戶【解析】【分析】(1)因 為(0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x, 所 以 月 均 用 電 量 在240,260的頻率為0.0075 200.15, 即可求得答案 ; (2) 因?yàn)?0.00200.00950.

25、0110)200.450.5, 設(shè)中位數(shù)為a,0.450.0125(220)0.5a, 即可求得答案 ; (3) 月均用電量為220,240,240,260,260,280,280,300的頻率分別為 , 0.25,0.15,0.1,0.05.即可求得答案 . 【詳解】 (1)q (0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x, 得0.0075x. 月均用電量在240,260的頻率為0.0075 200.15. 設(shè)樣本容量為n, 則0.1530n, 200n. (2)q (0.00200.00950.0110)200.450.5, 月均用電量的中位數(shù)在22

26、0,240內(nèi). 設(shè)中位數(shù)為a, 0.450.0125(220)0.5a, 解得224a, 即中位數(shù)為224. (3) 月均用電量為220,240,240,260,260,280,280,300的頻率分別為0.25,0.15,0.1,0.05.應(yīng)從月均用電量在260,280的用戶中抽取0.12240.250.150.10.05( 戶) 【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計總體的相關(guān)計算, 解題關(guān)鍵是掌握分層抽樣的計算方法和樣本容量, 中位數(shù)定義 , 考查了分析能力和計算能力, 屬于基礎(chǔ)題 . 21. 已知函數(shù)2( )12 32,f xsinxcosxsin x xr（1）求函數(shù)( )f x 的單調(diào)區(qū)間

27、. （2）若把( )f x 向右平移6個單位得到函數(shù)( )g x，求( )g x在區(qū)間,02上的最小值和最大值. 【答案】（）增區(qū)間是：k ,36kkz減區(qū)間是：2k,63kkz； （） -2，1.【解析】【分析】（）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)fx化為2sin2 +6x（），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)fx的遞增區(qū)間；（） 若把fx向右平移6個單位得到函數(shù)g x的解析式，求得2 +6x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】（）21+2 3sin cos2sinfxxxx=3sin2 +cos2xx=2sin2 +6x（），由+2k2 +2k262x得，增區(qū)間是：k,36kkz，由3+2k2 +2k262x得減區(qū)間是：2k,63kkz（）由（）可得把fx向右