均值不等式的推廣及應(yīng)用

1、    均值不等式的推廣及應(yīng)用    陳軍 【摘 要】均值不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的不等式，是高考的一個必考的知識點，同時也是學(xué)生感到比較難的知識點，所以研究均值不等式是很有意義的.近年來，對均值不等式的研究越來越多，涉及的領(lǐng)域也越來越廣.本文借鑒前人研究成果，在均值定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，把算術(shù)平均與幾何平均的關(guān)系進(jìn)行了個數(shù)、指數(shù)、系數(shù)及形式的推廣，本文還舉例說明各個不等式的應(yīng)用，通過建立圖表指出各個不等式之間的關(guān)系，從而使讀者可以對均值不等式的各個形式及其關(guān)系有一個整體、清晰的認(rèn)識，有利于開拓解題思路、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力、探究問題的實質(zhì)，并期望能為解

2、決數(shù)學(xué)不等式問題提供一種參考.【關(guān)鍵詞】均值不等式;推廣;應(yīng)用解題活動中一種司空見慣的情況是題目解完了，方法的功能也隨之而結(jié)束，而實際情況卻常常是：一個問題的解決導(dǎo)致了更多問題的來臨，于是客觀情況需要我們?nèi)ニ伎?解決前一個問題的方法是否可以用來解決后繼問題呢？可能性是存在的，但解決問題的方法不拘一格，有的完全依賴于問題的特殊條件，有的則觸及到該問題的實質(zhì)，因而有的解法很難作推廣，充其量只是平凡的推廣，只有那些抓住問題實質(zhì)的方法，才可以提供深刻推廣的途徑.例1：已知a、b，求證：   .（1）證法一：由，開方即得.證法二：將（1）變形，兩邊同乘，得左邊=1（基本不等式反用）.

3、兩種證法都可以進(jìn)行“個數(shù)”的推廣，但證法一不便進(jìn)行“指數(shù)”上的推廣，更難于進(jìn)行“系數(shù)”上的推廣，我們利用證法二進(jìn)行“個數(shù)”、“指數(shù)”、“系數(shù)”的推廣，這對于不等式的性質(zhì)認(rèn)識有進(jìn)一步的提高作用.一、均值不等式的推廣推廣一個數(shù)推廣若（2）證明：將（2）變?yōu)?對照證法二可見，這個推廣是十分容易，非常平凡的.本題也可以用柯西（cauchy）不等式來證明：若是兩組實數(shù)，則有當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.證明：由柯西不等式得所以即 .例2  設(shè)，求max e與min e.解：由題設(shè)有由（2）有所以 ，故 .因為分別令與時，有，所以maxe=，mine=0.推廣二  指數(shù)推廣對（3）證明：將（3）兩邊同乘化為參考文獻(xiàn)1查鼎盛，余鑫暉，黃培銑.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，廣西師范大學(xué)出版社，1999年7月2喬先峰.關(guān)于對算術(shù)平均與幾何不等式的研究與推廣，中等職業(yè)教育2005年第4期3藍(lán)興蘋.均值不等式的推廣與應(yīng)用，云南民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2006年1月4陳夏