(2)多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)課

1、多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、典型例題上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v二重積分的定義 以閉區(qū)域D為底 曲面zf(x y)為頂?shù)那斨w的體積為 ( , ).DVf x y d 占有閉區(qū)域D 面密度為(x y)的平面薄片的質(zhì)量為( , ).DMx y dv定理 連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的二重積分必定存在 iiiniDfdyxf),(lim),(10 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v二重積分的性質(zhì)v性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲

2、線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2 則 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( v性質(zhì)3 DDdd1(為 D 的面積) 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v二重積分的性質(zhì)v性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值 為D的面積 則有 MdyxfmD),( v性質(zhì)6(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x y)在閉區(qū)域D上連續(xù) 為D的面積 則在D上至少存在一點(diǎn)( )使得 ),(),(fdyxfD v性質(zhì)4 如果在D上 f(x y)g(x y) 則有不等式dyxgdyxfDD),(),( 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要dxdyyxfdyxfba

3、xxD ),(),()()(21 如果D是X型區(qū)域: D(x y)|1(x)y2(x) axb 則 v化二重積分為二次積分 如果D是Y型區(qū)域: D(x y)|y1(y)xy2(y) cyd 則 dcyyDdydxyxfdyxf)()(21),(),(yy 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v對(duì)稱性問題 設(shè) D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱. (1)若 f(-x, y) -f(x, y), 則 ( , )0.Df x y d(2)若 f(-x, y) f(x, y), 則 1( , )2( , ),DDf x y df x y d其中 D1 為 D 在 y 軸右半部分. xyOab( )xx

4、y -( )xx y提示: ( , )Df x y d( )( )( , )yybaxxf x y ddxy-1( , )Df x y d( )0( , )xbayf x y dxdy上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 坐標(biāo)變換公式:cossinxy 面積元素:ddd 如果積分區(qū)域可表示為D: 1()2() ab 則21( )( )( , )( cos ,sin )Df x y dxdydfdb a 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要 設(shè)曲面 S: zf(x y) (x y)D, 則 S 的面積為221()()DzzAdxdyxyyzxOD(

5、 , )zf x yv曲面的面積上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v三重積分的物理意義v三重積分的定義iiiinivfdvzyxf),(lim),(10 設(shè)物體占有空間區(qū)域, 體密度為 f(x, y, z), 則物體的質(zhì)量為Vdvv三重積分的幾何意義 的體積為 ( , , )Mf x y z dv上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁D注：當(dāng)計(jì)算二重積分時(shí)用極坐標(biāo), 則得柱面坐標(biāo)的計(jì)算法.內(nèi)容提要 設(shè)積分區(qū)域 : 12( , )( , ), ( , )z x yzzx yx yD則 21( , )( , )( , , )( , , )zx yzx yDf x y z dxdyd

6、zf x y z dz dxdy 求圍定頂 v三重積分計(jì)算之投影法上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要 設(shè)積分區(qū)域?yàn)?x y z)|(x y)Dz c1zc2 則zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21 v宜用截面法的題型 ( )g z dxdydz21( )zccDg z dzdxdy21( )()czcg zD dzv三重積分計(jì)算之截面法上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要 特殊區(qū)域的球面坐標(biāo)表示 直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系 xrsincos yrsinsin zrcos 球面坐標(biāo)系中的體積元素 dvr2sindrdd 提示: |OP| rsin. v

7、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容提要v對(duì)弧長的曲線積分 設(shè)光滑曲線弧L的參數(shù)方程為xx(t) yy(t) (atb) 則有22()()dxdydsdtdtdt22( , ) ( ), ( ) ()()Ldxdyf x y dsf x ty ydtdtdtbav對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 設(shè) L: xx(t) yy(t), 起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為a和b 則有( , )( , )LP x y dxQ x y dy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )P x ty y x tQ x ty y y tdtba上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁-LDQd

8、yPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 v格林公式內(nèi)容提要上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 設(shè) P(x y), Q(x y)在單連通區(qū)域 D 內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則在 D 內(nèi)下列條件等價(jià): v格林公式的應(yīng)用內(nèi)容提要(2) 曲線積分 (3) 存在函數(shù) u(x, y), 使 (1) ( , )( , )LP x y dxQ x y dy與路徑無關(guān);PQyx( , )( , ).duP x y dxQ x y dy00( , )(,),x yx yuCPdxQdy 函數(shù)

9、 u(x, y) 的計(jì)算公式00(,).Cu xy上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁例1 比較積分ln()Dxy d與2ln()Dxyd的大小,解在D內(nèi)有3,xye故ln()1,xy于是2ln()ln() ,xyxy因此2ln()ln().DDxy dxyd典型例題知識(shí)點(diǎn)其中 D 是閉圓域:222(3)2(3)9.xy-xyO33(3,3)D3xy積分區(qū)域 D 在直線 xy3 的右上方,上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 解 積分區(qū)域如圖示, 例2 計(jì)算1130.1xydxdyy 提示: 的計(jì)算較繁,31ydyy考慮改換積分次序.xyOyx1y 1: 01,Dy0.xy表示為Y型區(qū)

10、域:知識(shí)點(diǎn)11301xydxdyy13001yydydxy21301ydyy1301ln(1)3y1ln23上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 例3 改換下列二次積分的積分次序.22200( , ).x xdxf x y dy- 解 積分區(qū)域如圖示, 表示為Y型區(qū)域:22111011( , )yydyf x y dx-1: 01,Dy22yxx-22(1)1xy-22yxx-211xy- -2提示: xyO211xy -211xy -221111yxy- -22200( , )x xdxf x y dy-知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 例4 改換下列二次積分的積分次序.1

11、2330010( , )( , ).yydyf x y dxdyf x y dx- 解 積分區(qū)域如圖示, 分為D1和D2兩部分,2302( , )xxdxf x y dy-32xy3xy-xyO3211D2D12330010( , )( , )yydyf x y dxdyf x y dx-知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁2: 02, 12.Dyxxx- 解 積分區(qū)域如圖示, 表示為 型區(qū)域: 0,4D1x 222xyx22yxx-22 cos2提示: xyOsec2cos 例5 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中( , )Df x y d122yxx-cos1sec2cos( ,

12、)Df x y d2cos40sec( cos ,sin )dfd 知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁yxO(1,2)2yxx1yx例6 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分.2110( , )xxxdxf x y dy2yxx提示: 拋物線 yx2x 在點(diǎn)(0, 0)處的切線方程為.yx2sin( cos )cos(tan1)sec-1yxsincos11(sincos )-解 積分區(qū)域如圖2110( , )xxxdxf x y dyarctan2(tan1)sec04( cos ,sin )dfd -yx1(sincos )2arctan20( cos ,sin )dfd -知識(shí)點(diǎn)上頁下

13、頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 例7 設(shè)區(qū)域 計(jì)算2: 01,Dyx- 解 積分區(qū)域如圖示, 222sin.1DxyxIdxdyxy212200( cos )21dd 122221DxIdxdyxy21yx-1xyO112220012cos(1)1dd -122 212201ln(1)2-(1ln2)4-記 D1 為 D 的右半部分, 則有 D1知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁解1 積分區(qū)域如圖22202y ydyydx-Dydxdy220(22)yyydy-22021 (1) yydy-121(1)(21)uudu-1uy-212121(21)uduuu- 42- 例8 設(shè)

14、 計(jì)算2:22,02,Dxyyy- -.DydxdyxyO22-22xyy -D知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁記區(qū)域xyO22-22xyy -D 102204D Dydxdydxydy- 428sin3d 8 3 13 4 2 2 24208sin3d 1D 12sin202sinDydxdyddd 例8 設(shè) 計(jì)算2:22,02,Dxyyy- -.Dydxdy解2 積分區(qū)域如圖21:20,02Dyyxy- 11DD DDydxdyydxdyydxdy- 42-知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 在 xOy 面的投影區(qū)域 D 的邊界曲線為: 解 0,1,yxyD: 1

15、1,x- 01yx - 的底面: 0z 的頂面: 21zx -: 201,zx -( , )x yD( , , )f x y z dv2111100( , , )xxdxdyf x y z dz- 例9 化 為三次積分,其中由以下曲面所圍:( , , )f x y z dv21,0,0,1.xz yzxy -1x -xyz21xz -1xy O1xyDOyx111-1x -求圍定頂 知識(shí)點(diǎn)作圖 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 在 zOx 面的投影區(qū)域?yàn)? 解 Dzx: 01,z11zxz-: 01,yx -( , )zxz xD( , , )f x y z dv111010( , ,

16、 )zxzdzdxf x y z dy- 例9 化 為三次積分,其中由以下曲面所圍:( , , )f x y z dv 討論: 化為先 y 再 x 后 z 的三次積分.21,0,0,1.xz yzxy -xyz21xz -1xy O知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 思考: 化為先 x 再 y 后 z 的三次積分.21,0,0,1.xz yzxy -xyz21xz -1xy O 解1 提示: 的后底: 前頂: 1xz -1xz-或1xy -22zyy-Ozy21在yOz面的投影區(qū)域如圖示. 11yz -11yz -( , , )f x y z dv1111001( , , )zzz

17、dzdyf x y z dx-11110111( , , )zyzzdzdyf x y z dx- 例9 化 為三次積分,其中由以下曲面所圍:( , , )f x y z dv知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁( , , )f x y z dv 例9 化 為三次積分,其中由以下曲面所圍:( , , )f x y z dv 思考: 化為先 x 再 y 后 z 的三次積分.21,0,0,1.xz yzxy -110011( , , )zxzdxfddxzy zy-xyz21xz -1xy O1xyOyx111z-1z-zD水平截面法 11101( , , )zzzdyf x y z d

18、x-111111( , , )zyzzdyf x y z dx- 解2 10dz10dz知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁202042zdzdd提示: 的上邊界曲面為z4 下邊界曲面為zx2y2 用極坐標(biāo)可表示為z2 所以 2z4 提示: 在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2y24 用極坐標(biāo)表示為: 02 02 解1 2z4 02 02 于是 dzddzzdxdydzdzddzzdxdydz -20204)16(21dd364618 2212062-20204)16(21dd364618 2212062-20204)16(21dd364618 2212062- 例 3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重

19、積分zdxdydz 其中是 由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域 例10 閉區(qū)域可表示為: 知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁閉區(qū)域可表示為: 解2 -20204)16(21dd364618 2212062- ( , ),04,zx yDz22:.zDxyz于是 dzddzzdxdydz40zDzdzdxdy420z dz 由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域 例 3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zdxdydz 其中是 例10 知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 在 xOy 面的投影區(qū)域 D: 解 02,01xy: 3062 ,2xzy-Vdv 例11 求由以下曲面

20、所圍立體的體積:3(62 )2Dxy dxdy-21003(62 )2xdxy dy-( , )x yDOxzy0,0,0,2,1,342120.xyzxyxyz-203(5)2xdx-7知識(shí)點(diǎn)作圖 上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 在 xOy 面的投影區(qū)域 D: 解 222xy: 2222262,xyzxy-Vdv22226 22xyxyDdxdydz- 例12 求由以下曲面所圍立體的體積:22222,62.zxyzxy-22(633)Dxydxdy-222003(2)dd -242016 ()4 -6( , )x yDxyzO2262zxy-222zxy知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上

21、頁下頁結(jié)束返回首頁 例13 已知曲面S1與曲面S2, 它們的方程為2221:,zaxyS-222:.zxyS (1) 求兩曲面所圍成的立體的體積V; (2) 求立體的S1部分的表面積A.zxyO 在 xOy 面的投影區(qū)域?yàn)?解 22222()DVaxyxydxdy-2/22200()adad -/222 3/230112()33aa -3223a-2221:2D xya知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 例13 已知曲面S1與曲面S2, 它們的方程為 (1) 求兩曲面所圍成的立體的體積V; (2) 求立體的S1部分的表面積A.222Dadxdyaxy-2/20022aadda -/

22、22202aaa -3(22) a-221()()DzzAdxdyxyzxyO2221:,zaxyS- 解 ( , )x yD2221:,zaxyS-222:.zxyS2221:2D xya知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁例14 已知 L 為圓周 x2y22ax (a0), 計(jì)算 22.Lxy dsxyO22:2L xyax:(1cos ),sin ,L xatyat02 .t 22Lxy ds22222(1cos )xyaxat22(sin )( cos )dsatatdt-adt2202(1cos )atadt2202|cos|2tadt204cos2tadt28a解1 利用

23、圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程來計(jì)算. 知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁例14 已知 L 為圓周 x2y22ax (a0), 計(jì)算 解2 2cos2 cos,xa.22-22Lxy ds2222 cosxyaxa22( 4 cos sin )(2 cos2 )dsaad-2ad/2/22 cos2aad-28a/208cosad 22.Lxy ds利用圓的極坐標(biāo)方程來計(jì)算. :2 cos ,Lasinsin2 ,yaxyO22:2L xyax知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁記 D 為圓域 x2y22x, 解 由格林公式有 例15 設(shè) L 是正向圓周 x2y2 2x 計(jì)算 22(3

24、3)DIxydxdy/22cos2/203dd -/24/212cosd -/24024cosd 3 1244 2 292xyO22:2L xyxD知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁例16 已知 L 為圓周 x2y22y 上從原點(diǎn) O 按逆時(shí)針方向到點(diǎn) A(0,2) 的圓弧, 計(jì)算 (sin)(1cos ).yyLIexy dxex dy-解 (sin)(1cos )yyAOIexy dxex dy-sin(sin1)yyDexexdxdy-2(sin)(1cos )2yyOAIexy dxex dy-20(1)2yedy-232e -xAOyLD知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁

25、結(jié)束返回首頁例17 已知 L 為上半圓周 x2y22x 上從原點(diǎn) O 到點(diǎn) A(1,1) 的圓弧, 計(jì)算 22()(sin).Lxy dxxy dy-解 xyOL(1,1)A記 2,Pxy-2(sin),Qxy -1,Py -1Qx -,PQyx所以曲線積分與路徑無關(guān). 22()(sin)Lxy dxxy dy-112200(1sin)x dxy dy-1011cos2132ydy- -107sin264y -sin2746-知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 例18 驗(yàn)證: 在整個(gè)xOy面內(nèi) 記 解 所以存在u(x,y), 使 是某個(gè)函數(shù)的全微分 并求出一個(gè)這樣的函數(shù) 2232(38)(812)yx yxydxxx yyedy2238,Px yxy32812yQxx yye2316,Pxxyy2316Qxxyx,PQyxduPdxQdy( , )(0,0)x yuPdxQdy320(812)yyxx yyedy3224121212yyx yx yyee-知識(shí)點(diǎn)上頁下頁結(jié)束返回首頁上頁下頁結(jié)束返回首頁 的側(cè)面方程, 在 xOy 面的投影區(qū)域 D 的邊