同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其應(yīng)用(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用方法溫燕紅 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是三角函數(shù)題型中隱藏的條件，隨時可以拿來應(yīng)用，這就需要學(xué)生們非常熟練的掌握這種關(guān)系，能夠運(yùn)用同角三角函數(shù)之間關(guān)系求三角函數(shù)值或化簡三角式。 我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義：任意角的終邊上取點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），OP=r，我們定義 因此我們很容易得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： （1） 平方關(guān)系：，即同一個正角的正弦、余弦的平方和等于1. （2）商數(shù)關(guān)系：，即同一個角的正弦、余弦的商等于這個角的正切。注意：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹凳沟仁絻蛇叾加幸饬x時才能成立。在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算

2、數(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意的選取。考查題型一 已知一個三角函數(shù)值，求兩外兩個三角函數(shù)值。 例1：若解析：分析：此類題型屬于較易題型，在角象限確定的情況下，三角函數(shù)值得正負(fù)也就確定了，若角所在象限不確定，則應(yīng)分類討論。題型二 已知的值，求關(guān)于的齊次分式時，可將求值式變?yōu)殛P(guān)于的代數(shù)式，此方法可稱為弦化切。例題2：已知，則= 解析：由題意可得，把上下同時除以，得到。例3：已知，求解析：將分子、分母同時除以得。例4：已知解析：注：如果已知一個角的正切值，我們利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以聯(lián)立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此類題型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法簡單，所以，弦化切的方法

3、是一個基本技巧，需要學(xué)生掌握。題型三 三角函數(shù)的化簡在對三角函數(shù)化簡時，在題設(shè)的條件下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要明確化簡的基本要求是使結(jié)果盡可能地簡單。對化簡的一般要求是：（1）項數(shù)要最少；（2）次數(shù)要最低；（3）函數(shù)種類要最少；（4）分母不含根號；（5）能求值的要求值。例5：化簡：解析：原式=cos360-sin236cos360-sin3602 =cos360-sin360cos360-sin360 =cos360-sin360cos360-sin360=1注：此題中首先需要利用湊完全平方式，去根式。其次一定要判斷正余弦三角函數(shù)的大小。判斷方法，我們只需根據(jù)三角函數(shù)線判斷終邊在第一象限

4、與第三象限時三角函數(shù)值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一負(fù)很容易判斷。口訣：0<<450，余弦大；45<<900，正弦大；1800<<2250，正弦大，2250<<2700，余弦大。例6：化簡:1-2sin4cos4解析：原式=sin24+cos24-2sin4cos4 =sin4-cos42 =sin4-cos4因為54<4<64所以根據(jù)三角函數(shù)線知道：cos4>sin4所以原式=cos4-sin4題型四 注意1的妙用，在同角三角函數(shù)關(guān)系中，sin2+cos2=1,可變形成sin+cos2-2sincos=1,

5、期中sin+cos與sincos很容易與一元二次方程中的韋達(dá)定理產(chǎn)生聯(lián)系。若以sin、cos為兩根構(gòu)造一元二次方程，則可利用上述關(guān)系解決相關(guān)問題。例題7：已知：sin+cos=15，0，求值：1tan;2sin-cos.解析：sin+cos=15，0，。sin+cos2=125，即sin2+cos2+2sincos=125sincos=-1225<0sin>0,cos<0,且sin，cos是方程x2-15x-1225=0的兩根。解方程得x1=45,x2=-35,sin=45,cos=-35.1tan=sincos=-43.2sin-cos=75.方法總結(jié)：同角三角函數(shù)的解題方

6、法：（1）弦化切（2）1的妙用（3）對于已知sin±cos=型的問題，將兩邊平方。（4）利用韋達(dá)定理，將sin，cos看做一元二次方程的兩根靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形能力，進(jìn)一步掌握化歸思想方法。練習(xí)：1若sin，且是第二象限角，則tan的值等于（）ABC±D±2已知sincos，且0<，那么tan等于（）ABCD3若sin4cos41，則sincos等于（）A±B1C1D±1二、填空題4若sin3cos0，則的值為_5已知tan2，則_三 解答題 6 已知sinm（|m|<1），求tan，cos 7已知

7、tancot2，求：（1）sin·cos的值；（2）sincos的值；（3）sin3cos3的值答案：一、1A 根據(jù)是第二象限角，由平方關(guān)系可得cos，從而tan2A 解方程組得或又因為0<，故取sin，這時cos，求得tan3D （sin2cos2）2sin4cos42sin2cos212sin2cos2，sin2cos21sin2cos20sincos0當(dāng)sin0時，cos±1 當(dāng)cos0時，sin±1所以sincos±1二、4 由已知可得tan3，于是原式5 tan2三、6解：（1）當(dāng)1<m<1，且m0時，若在第一、四象限，則cos，tan；若在第二、三象限，則cos，tan（2）若m0，則k（kZ），tan0，cos±1點(diǎn)評：當(dāng)已知角的一個三角函數(shù)值為字母時，應(yīng)對分類討論7解：（1）tancot2，2，2 sin·cos；（2）（sincos）2sin22sin·coscos212×2又t