多元統(tǒng)計(jì)分析重點(diǎn)

1、多元統(tǒng)計(jì)分析重點(diǎn)宿舍版第一講：多元統(tǒng)計(jì)方法及應(yīng)用；多元統(tǒng)計(jì)方法分類（按變量、模型、因變量等）多元統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用選擇題：數(shù)據(jù)或結(jié)構(gòu)性簡化運(yùn)用的方法有：多元回歸分析，聚類分析，主成分分析，因子分析分類和組合運(yùn)用的方法有：判別分析，聚類分析，主成分分析 變量之間的相關(guān)關(guān)系運(yùn)用的方法有：多元回歸，主成分分析，因子分析， 預(yù)測與決策運(yùn)用的方法有：多元回歸，判別分析，聚類分析因果模型（因變量數(shù)）：多元回歸，判別分析 橫貫數(shù)據(jù)：相依模型（變量測度）：因子分析，聚類分析多元統(tǒng)計(jì)分析方法選擇題：多元統(tǒng)計(jì)方法的分類：1）按測量數(shù)據(jù)的來源分為：橫貫數(shù)據(jù)（同一時間不同案例的觀測數(shù)據(jù)），縱觀數(shù)據(jù)（同樣案例在不同時間的多次

2、觀測數(shù)據(jù)）2）按變量的測度等級（數(shù)據(jù)類型）分為：類別（非 測量型）變量，數(shù)值型（測量型）變量3）按分析模型的屬性分為：因果模型，相依模型4）按模型中因變量的數(shù)量分為：單因變量模型，多因變量模型，多層因果模型第二講：計(jì)算均值、協(xié)差陣、相關(guān)陣；相互獨(dú)立性第三講：主成分定義、應(yīng)用及基本思想，主成分性質(zhì)，主成分分析步驟主成分定義：何謂主成分分析 就是將原來的多個指標(biāo) （變量）線性組合成幾個新的 相互無關(guān)的綜合指標(biāo)（主成分），并使新的綜合指標(biāo)盡可能多地反映原來的指標(biāo)信息。主成分分析的應(yīng)用 ：（1）數(shù)據(jù)的壓縮、結(jié)構(gòu)的簡化； （2）樣品的綜合評價(jià)，排序主成分分析概述一一思想：（1）把給定的一組變量 X1,X

3、2 - XF?通過線性變換，轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的變量 Y1, Y2,丫已（2）在這種變換中，保持變量的總方差 （X1, X2, - Xp的方差之和）不變，同時，使 Y1具有最大方差，稱為第一主成分；Y2具有次大方差，稱為第二主成分。依次類推，原來有P個變量，就可以轉(zhuǎn)換出 P個主成分（3）在實(shí)際應(yīng)用中，為了簡化問題，通常找能夠反映原來P個變量的絕大部分方差的q （q<p）個主成分。主成分性質(zhì)：1）性質(zhì)1 :主成分的協(xié)方差矩陣是對角陣：（2）性質(zhì)2:主成分的總方差等于原始變量的總方差（3）性質(zhì)3:主成分Yk與原始變量Xi的相關(guān)系數(shù)為：pV, 一、k （yk，xD = tki,并稱之為因子負(fù)何重

4、（或因子載何重） 。 V 0" ii主成分分析的具體步驟：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；建立變量的相關(guān)系數(shù)陣；求的特征根為：L ； 0，相應(yīng)的特征向量為T；,r,L ,T；;由累積方差貢獻(xiàn)率確 p、 、 * 、 、一 ., 、 、 * *定王成分的個數(shù)（m ），并與出王成分為 Y （Ti ） X , i 1,2,L ,m第四講：因子分析定義，因子載荷統(tǒng)計(jì)意義，因子分析模型及假設(shè)，因子旋轉(zhuǎn)因子分析定義：因子分析就是通過對多個變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的研究，找出同時影 響或支配所有變量的共性因子的多元統(tǒng)計(jì)方法。因子載荷統(tǒng)計(jì)意義：1 .因子載荷aij的統(tǒng)計(jì)意義對于因子模型i 1,2,L , pXi&

5、1F1ai2F2L ajFjLaimFmi我們可以得到， Xi與Fj的協(xié)方差為:mCov(Xi,Fj) Cov(aikFki,Fj)k 1 mCov(aikFk, Fj) Cov( i,Fj)-k 1aij如果對XI作了標(biāo)準(zhǔn)化處理,Xi的標(biāo)準(zhǔn)差為1,且Fj的標(biāo)準(zhǔn)差為1,因此rXi,FjCov(Xi,Fj).D(Xi) D(Fj)Cov(Xi,Fj) aj(7.6)那么，從上面的分析，我們知道對于標(biāo)準(zhǔn)化后的Xi, aij是Xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它一方面表示乂頃寸Fj的依賴程度，絕對值越大，密切程度越高；另一方面也反映了 變量Xi對公共因子 上的相對重要性。了解這一點(diǎn)對我們理解抽象的因子含義有非

6、常重要的作用。h22 .變量共同度hi的統(tǒng)計(jì)意義設(shè)因子載荷矩陣為 A,稱第i行元素的平方和，即m 22hiaj I 1,2,L , p為變量Xi的共同度。由因子模型，知2 一 aimD(Fm) D( i)_2_ _2 _ _D(Xi) anD(Fi) ai2D(F2)L22an ai2 L2aimD ( i )h22ii(7.8)這里應(yīng)該注意,(7.8)式說明變量Xi的方差由兩部分組成：第一部分為共同度hi2,它描述了全部公共因子對變量Xi的總方差所作的貢獻(xiàn)，反映了公共因子對變量Xi的影響程度。第二部分為特殊因子】對變量Xi的方差的貢獻(xiàn)，通常稱為個性方差。如果對Xi作了標(biāo)準(zhǔn)化處理，有22(7.

7、9)1hiiF23、公因子的方差貝獻(xiàn)9j的統(tǒng)計(jì)息義 設(shè)因子載荷矩陣為 A,稱第j列元素的平方和，即p22gjajj 1,2,L ,m為公共因子上對乂的貢獻(xiàn)，即g2表示同一公共因子Fj對各變量所提供的方差貢獻(xiàn) 之總和，它是衡量每一個公共因子相對重要性的一個尺度。因子分析模型及假設(shè) 數(shù)學(xué)模型：每一個變量都可以表示成公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和，即：Xi=ai1*F1+a12*F2+ - +aim*Fm+ i （i=1,2,式中的 F1, F2,-Fm 稱為公共因子,a 稱為Xi的特殊因子。該模型可用矩陣表示為：X=AF+&且滿足：（1） m <p（2）Cov（F, ）=0,即公共

8、因子與特殊因子是不相關(guān)的；（3） DF=D（F）=21,0,0.00,1,0.01,0,0.020,2,0.020 0 0 1,、，0,0,0.0,0,0.=Im,即各個公共因子不相關(guān)且萬差為1; (4) D =D( )=p ,即各個特殊因子不相關(guān)，方差不要求相等。因子旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)的目的：初始因子的綜合性太強(qiáng)，難以找出因子的實(shí)際意義，因此需要通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，使因子負(fù)荷兩極分化，要么接近于0,要么接近于？1,從而降低因子的綜合性，使其實(shí)際意義凸現(xiàn)出來，以便于解釋因子。因子旋轉(zhuǎn)的基本方法：一類是正交旋轉(zhuǎn)（保持因子間的正交性，3種，常用最大方差旋轉(zhuǎn)），一類是斜交旋轉(zhuǎn)（因子間不一定正交）公共因子提取個數(shù)

9、：（1）選特征值大于等于 1的因子（主成分）作為初始因子，通過求響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化正交特征向量來計(jì)算因子載荷（2）碎石圖：刪去特征值變平緩的那些因子（3）累計(jì)方差貢獻(xiàn)率大于 85%第五講：聚類類型，系統(tǒng)聚類、K-均值聚類思想及步驟，系統(tǒng)聚類方法，相似性測度方法聚類類型：根據(jù)分類的對象可將聚類分析分為：系統(tǒng) Q型與R型（即樣品聚類與變量聚類）系統(tǒng)聚類、K-均值聚類思想及步驟：系統(tǒng)聚類的基本思想：距離相近的樣本（或變量）先聚成類，距離相遠(yuǎn)的后聚成類，過程一直進(jìn)行下去，每個樣品（或變量） 總能聚到合適的類中。 聚類過程及步驟：假設(shè)總共有n個樣品（或變量），第一步將每個樣品（或變量）獨(dú)自聚成一類，共有 n類

10、；第二步根據(jù)所確定的樣品（或變量）“距離”公式，把距離較近的兩個樣品（或變量）聚合為一類，其它的樣品（或變量）仍各自聚為一類， 共聚成n-1類；第三步將“距離”最近的兩個類進(jìn)一步聚成一類，共聚成n-2類；，以上步驟一直進(jìn)行下去，最后將所有的樣品（或變量）全聚成一類。最后可以畫譜系圖分析。 快速聚類的基本思想，步驟： （也稱為K-均值法，逐步聚類，迭代聚類），基本思想是將每一個樣品分配給最近中心（均值）的類中，具體的算法步驟如下：（1）將所有的樣品分成 K個初始類；（2）通過歐氏距離將某個樣品劃入離中心最近的類中，并對獲得樣品與失去樣品的類，重新計(jì)算重心坐標(biāo)。（3）重復(fù)步驟2,直到所有的樣品都不

11、能再分配時為止。系統(tǒng)聚類方法：最短距離法（單連接），最長距離法（完全連接），中間距離法， 類 平均法（組間平均連接法），可變類平均法， 重心法，可變法，離差平方和法相似性測度方法： 不同樣本相似性度量：距離測度里包括：明氏，馬氏，和蘭式 不同變量相似度的度量：包括：夾角余弦，相關(guān)系數(shù)。第六講：判別分析及各判別方法思想，判別分析假設(shè)條件，距離判別與貝葉斯判別關(guān)系判別分析定義：一種進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判別和分組的技術(shù)手段。它可以就一定數(shù)量案例的一個分組變量和相應(yīng)的其他多元變量的已知信息，確定分組與其他多元變量之間的數(shù)量關(guān)系, 建立判別函數(shù)（discriminant Function ）。然后便可以利用這一數(shù)量

12、關(guān)系對其他已知多元變量信息、但未知分組類型所屬的案例進(jìn)行判別分組。各判別方法思想： 距離判別：求新樣品 X到Gi的距離與到G2的距離之差，如果 其值為正，X屬于G2；否則X屬于G Baye s判別：由于k個總體Gl，G2, ，Gk出現(xiàn)的先驗(yàn)概率分別為 qi，q2， 中 ,則用規(guī)則R來進(jìn)行判別所造成的總平均損失為g(R) k qir(i,R)Qi C( j |i)P( j |i ,R)i 1i 1 j 1(4.12)所謂Bayes判別法則，就是要選擇 R1, R2, , Rk，使得(4.12)式表示的總平均損失g(R)達(dá)到極小。 Fisher判別的基本思想和步驟：從K個總體中抽取具有p個指標(biāo)的樣

13、品觀測數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個線性判別函數(shù)：U(X)= 1X12X2pXp 'X，其中系數(shù)=(1,2，,p)'確定的原則是使得總體之間區(qū)別最大，而使每個總體內(nèi)部的離差最小。有了線性判別函數(shù)后，對于一個新的樣品，將它的p個指標(biāo)值代入線性判別函數(shù)式中求出U(X)值，然后根據(jù)判別一定的規(guī)則，就可以判別新的樣品屬于哪個總體。判別分析假設(shè)條件： 判別分析的假設(shè)之一，是每一個判別變量(解釋變量)不能是 其他判別變量的線性組合。即不存在多重共線性問題。判別分析的假設(shè)之二，是各組變量的協(xié)方差矩陣相等。判別分析最簡單和最常用的 形式是采用線性判別函數(shù)，它們是判別變量的簡單線性組合。在各組

14、協(xié)方差矩陣相 等的假設(shè)條件下，可以使用很簡單的公式來計(jì)算判別函數(shù)和進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。判別分析的假設(shè)之三，是各判別變量之間具有多元正態(tài)分布，即每個變量對于所有 其他變量的固定值有正態(tài)分布。在這種條件下可以精確計(jì)算顯著性檢驗(yàn)值和分組歸 屬的概率。當(dāng)違背該假設(shè)時，計(jì)算的概率將非常不準(zhǔn)確。距離判別與貝葉斯判別關(guān)系：距離判別中兩個總體的距離判別規(guī)則為:X G,如果W(X) 0X G2,如果W(X) 0葉斯判別規(guī)則為：x G,當(dāng) V（x） d,二者唯一差別僅在于閥值點(diǎn)，從某種x G2,當(dāng) V（x） d意義上講，距離判別是貝葉斯判別的特殊情形。題型及分?jǐn)?shù)：一、判斷對錯并改正（4題，8分）二、不定項(xiàng)選擇（10題

15、，20分）三、簡答題（4題，32分）（六選四）主成分基本思想，系統(tǒng)聚類，K-均值聚類基本思想及過程， 判別分析及費(fèi)希爾基本思想， 比較聚類與回歸、判別，因子分析及因子旋轉(zhuǎn)聚類與回歸、判別： 判別與回歸：聯(lián)系：都是根據(jù)已有數(shù)據(jù)判別未來趨勢。區(qū)別：多元回歸的因變量是數(shù)值型變量，且自變量可是0-1變量；判別分析的因變量是類別型變量，而自變量不是 0-1變量判別與聚類：聚類分析：類別未知，利用樣本確定分組數(shù)及所屬類別；判別分析：類別數(shù)及意義已知，還能“預(yù)測”新樣本所屬類別；聚類中加進(jìn)一個變量需要對類進(jìn)行更新， 重新計(jì)算與其他類的距離， 而判別對新樣本進(jìn)行判別后， 不更新所屬的類。四、計(jì)算題（1題，10

16、分） 計(jì)算樣本均值、協(xié)差陣、相關(guān)陣五、分析題（2題，30分）（四選二）1） 主成分分析的SPS成例分析（主成分個數(shù)確定，主成分表達(dá)式，主成分分析步驟）2） 因子分析的SPS以例分析（因子分析模型，公因子的解釋命名分析）（二選一）3）聚類分析的SPS以例分析（分類數(shù)確定， 聚類結(jié)果命名分析，優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)策略 ）分類數(shù)確定 樹狀圖，確定原則是組內(nèi)距離小，組間距離大。 聚合系數(shù)圖：在曲線開始變得平緩的點(diǎn)選擇合適的分類樹 任何類都必須在鄰近各類中是突出的，即各類重心間的距離必須大 各類所包含的元素都不要過分地多 分類數(shù)目應(yīng)符合使用的目的 若采用幾種不同的聚類法，則在各自的聚類圖上應(yīng)發(fā)現(xiàn)相同的類 對聚類過程中聚合系數(shù)分類數(shù)的變化（曲線）進(jìn)行分析，可以輔助確定 合理的分類數(shù)聚類分析的缺點(diǎn)層次聚類法的結(jié)果容易受奇異值的影響，而快速聚類法受奇異值、相似測度和不適 合的聚類變量的影響較小。層次聚類法可以得到一系列的聚類數(shù)，而快速聚類只能得到指定類數(shù)的聚類數(shù)。層次聚類法在數(shù)據(jù)比較多時計(jì)算量比較大，需要占據(jù)非常大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間，