有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點(diǎn)+練習(xí)題

1、數(shù)列的分類（1） 按項(xiàng)數(shù)分：可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，即如果項(xiàng)數(shù)是有限的那么就是有窮數(shù)列，如果項(xiàng)數(shù)是無限的那么就是無窮數(shù)列：（2）按增減分：可以分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列，即如果數(shù)列的項(xiàng)是隨著項(xiàng)數(shù)的增加而增加的就是遞增數(shù)列，如果數(shù)列的項(xiàng)是隨著項(xiàng)數(shù)的增加而減小的就是遞減數(shù)列；（3）按項(xiàng)的特點(diǎn)分：可以分為搖擺數(shù)列和常數(shù)列，即如果數(shù)列的項(xiàng)是在某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)之間來回?fù)u擺就是搖擺數(shù)列，如果數(shù)列的每一項(xiàng)都相等而且都是一個(gè)常數(shù)那么就是常數(shù)列。有窮數(shù)列的定義：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列；無窮數(shù)列的定義：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列；遞增數(shù)列的定義：一般地，一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

2、叫做遞增數(shù)列。遞減數(shù)列的定義：如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列。單調(diào)數(shù)列：遞增數(shù)列和遞減數(shù)列通稱為單調(diào)數(shù)列. 數(shù)列的單調(diào)性:1.對單調(diào)數(shù)列的理解:數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊在于其定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的子集.有些數(shù)列不存在單調(diào)性.有些數(shù)列在正整數(shù)集上有多個(gè)單調(diào)情況,有些數(shù)列在正整數(shù)集上單調(diào)性一定;2.單調(diào)數(shù)列的判定方法:已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式，要討論這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，即比較an與an+1的大小關(guān)系，可以作差比較；也可以作商比較，前提條件是數(shù)列各項(xiàng)為正。擺動(dòng)數(shù)列的定義：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列。巧用(-1)n求擺動(dòng)數(shù)列的

3、通項(xiàng)：在數(shù)列中，我們經(jīng)常會碰到求形如：1，-1,1，-1，或-1,1，-1,1，等數(shù)列的通項(xiàng)，很顯然，我們只要利用(-1)n進(jìn)行符號的調(diào)整，就能很快求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們在其它搖擺數(shù)列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通項(xiàng)公式。例題1.有窮數(shù)列1，23，26，29，23n+6的項(xiàng)數(shù)是（      ）A3n+7 B3n+6Cn+3Dn+2答案：C例題2.已知an是遞增的數(shù)列，且對于任意nN*，都有an=n2+n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：an是遞增的數(shù)列，anan+1對任意的nN*恒成立，即n2+n(n+1)2+(n+1)，解得-2n-1，-2n-1-3，&

4、#160;-3例題3.共有10項(xiàng)的數(shù)列an的通項(xiàng)an=，則該數(shù)列中最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的情況是（       ）A.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a10 B.最大項(xiàng)為a10，最小項(xiàng)為a1 C.最大項(xiàng)為a6，最小項(xiàng)為a5 D.最大項(xiàng)為a4，最小項(xiàng)為a3答案：D例題4*.在單調(diào)遞增數(shù)列an中，a1=2，不等式(n+1)anna2n對任意nN*都成立，（）求a2的取值范圍；（）判斷數(shù)列an能否為等比數(shù)列？說明理由；（）設(shè)，求證：對任意的nN*，（）解：因?yàn)閍n是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，令n=1，所以。（）證明：數(shù)列an不能為等比數(shù)列。用反證法證明：假設(shè)數(shù)列a

5、n是公比為q的等比數(shù)列，因?yàn)閍n單調(diào)遞增，所以q1，因?yàn)閚N*，(n+1)anna2n都成立，所以nN*，  因?yàn)閝1，所以，使得當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋╪N*），所以，當(dāng)時(shí)，與矛盾，故假設(shè)不成立。（）證明：觀察：，猜想：；用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立；當(dāng)n=k+1時(shí)，所以，根據(jù)（1）（2）可知，對任意nN*，都有，即，由已知得，所以，所以當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)椋詫θ我鈔N*，對任意nN*，存在mN*，使得，因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以。例題5.已知下列數(shù)列：(1)2 000，2 004，2 008，2 012；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(

6、5)1，0， -1，sin，；(6)3，3，3，3，3，3其中，有窮數(shù)列是（    ），無窮數(shù)列是（    ），遞增數(shù)列是（    ），遞減數(shù)列是（    ），常數(shù)列是（    ），擺動(dòng)數(shù)列是（    ），周期數(shù)列是（    ）。（將合理的序號填在橫線上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例題6.下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為 （ &

7、#160; ）數(shù)列an，an=2是常數(shù)列； 數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列；若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則數(shù)列an·an+1也是遞增數(shù)列；A1B2C3D4答案：C例題7.已知Sk表示數(shù)列ak的前k項(xiàng)和，且Sk+Sk+1=ak+1(kN*），那么此數(shù)列是（   ）A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列 C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列例題8.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和（n=1，2，3，）。按如下方式定義數(shù)列 an：a1=m（mN*），對任意kN*，k1，設(shè)ak為滿足0akk-1的整數(shù)，且k整除Sk，（）當(dāng)m=9時(shí)，試給出an的前6項(xiàng)；（）證明：kN*，有；（）證明：對任

8、意的m，數(shù)列an 必從某項(xiàng)起成為常數(shù)列。解：（）m=9時(shí)，數(shù)列為9，1，2，0，3，3，3，3，即前六項(xiàng)為9，1，2，0，3，3。（）； （）有，由（）可得，為定值且單調(diào)不增，數(shù)列必將從某項(xiàng)起變?yōu)槌?shù)，不妨設(shè)從l項(xiàng)起為常數(shù)，則，于是，所以，所以an當(dāng)nl+1時(shí)成為常數(shù)列。例題9*.數(shù)列an滿足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，。（）若數(shù)列an為常數(shù)列，求a1的值；（）若a1=，求證：； （）在（）的條件下，求證：數(shù)列a2n單調(diào)遞減。（）解：因?yàn)閿?shù)列為常數(shù)列，所以，由n的任意性知，或。（）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，符合上式；假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時(shí)，

9、60;因?yàn)椋?所以，即，從而，即，因?yàn)?，所以，?dāng)n=k+1時(shí)，成立，由，知，。 （）證明：因?yàn)椋╪2），所以只要證明，由（）知，所以只要證明，即證明，令，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以，即成立，故，所以?shù)列單調(diào)遞減。例題10*.已知An（an，bn）（nN*）是曲線y=ex上的點(diǎn)，a1=a，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足：，n=2，3，4， （）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（）確定a的取值集合M，使aM時(shí)，數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；（）證明當(dāng)aM時(shí)，弦AnAn+1（nN*）的斜率隨n單調(diào)遞增。解：（）當(dāng)n2時(shí)，由已知得，因?yàn)椋? 于是，  由-得，  于是，  由-得，  所以(n2)是常數(shù)列。（）由有，由有，而表明：數(shù)列