高斯公式 通量與散度

1、高斯公式高斯公式物理意義物理意義-通量通量與與散度散度小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) flux divergence第六節(jié)第六節(jié) 高斯高斯 (Gauss)公式公式 通量通量與與散度散度第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 高斯高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德國數(shù)學家、物理學家、天文學家德國數(shù)學家、物理學家、天文學家2 格林公式格林公式把平面上的把平面上的閉曲線積分閉曲線積分與與本節(jié)的本節(jié)的高斯公式高斯公式表達了空間閉曲面表達了空間閉曲面上的上的曲面積分曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的與曲面所圍空間區(qū)域上的三重積分三重積分的關系的關系.所圍區(qū)域的所圍區(qū)域的二重積

2、分二重積分聯(lián)系聯(lián)系起來起來. 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度3一、高一、高 斯斯 公公 式式vzRyQxPd)( ,圍成圍成由分片光滑的閉曲面由分片光滑的閉曲面設空間閉區(qū)域設空間閉區(qū)域 上上在在、函數(shù)函數(shù) ),(),(),(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos( yxRxzQzyPdddddd高斯公式也稱為奧高公式高斯公式也稱為奧高公式,或奧斯特洛格拉斯或奧斯特洛格拉斯基公式基公式.(俄俄)1801 1861具有具有則有公式則有公式一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), ,或或 高斯公式高斯公式的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的是是這這里里 ,cos,cos .)

3、,(cos處的法向量的方向余弦處的法向量的方向余弦上點上點是是zyx 外側(cè)外側(cè), ,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度4 證明思路證明思路vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 分別證明以下三式分別證明以下三式,從而完成定理證明從而完成定理證明. yxzyxRvzRdd),(d zyzyxPvxPdd),(d xzzyxQvyQdd),(d只證其中第三式只證其中第三式,其它兩式可完全類似地證明其它兩式可完全類似地證明.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度5xyzOxyzO證證),(:22yxzz :3 xyDyxyxzzyxz ),(),(),(

4、:21 設空間區(qū)域設空間區(qū)域母線平行于母線平行于z軸的柱面軸的柱面.),(:11yxzz vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd即邊界面即邊界面321, 由由三部分組成三部分組成:xyDxoy面上的投影域為面上的投影域為在在xyD(取下側(cè)取下側(cè))(取上側(cè)取上側(cè))(取外側(cè)取外側(cè))nn柱柱面面 坐標軸坐標軸的邊界曲面與任一平行的邊界曲面與任一平行假設域假設域 .的直線至多相交于兩點的直線至多相交于兩點高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度n6xyzO xyDnnn由由三重積分三重積分的計算法的計算法 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd

5、),(),(21dyxzyxzzzR yxxyDdd yxzyxRxyDyxzyxzdd),(),(),(21 yxzyxRvzRdd),(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度7xyzOxyDnnn 由由曲面積分曲面積分的計算法的計算法 yxzyxRdd),( 1 取取下下側(cè)側(cè),2 取取上上側(cè)側(cè),3 取取外外側(cè)側(cè) xyDyxyxzyxRdd),(,1 yxzyxRdd),( yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(,2 01 2 3 ),(:22yxzz ),(:11yxzz yxzyxRvzRdd),(dyxzyx

6、Rdd),(321 yxzyxRdd),( 一投一投,二代二代,三定號三定號高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度8 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 yxzyxRdd),( yxzyxRvzRdd),(d于是于是 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度9 zyzyxPvxPdd),(d同理同理 xzzyxQvyQdd),(d vzRyQxPd)( 合并以上三式得合并以上三式得自己證自己證 yxzyxRvzRdd),(d高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddddd高斯高

7、斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度10高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度若區(qū)域若區(qū)域的邊界曲面的邊界曲面 與任一平行于坐標軸與任一平行于坐標軸的直線的交點多于兩點時的直線的交點多于兩點時,可以引進幾張輔助的可以引進幾張輔助的曲面把曲面把分為有限個閉區(qū)域分為有限個閉區(qū)域,使得每個閉區(qū)域滿使得每個閉區(qū)域滿足假設條件足假設條件,并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反個曲面積分的絕對值相等而符號相反,相加時正相加時正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正確的確的.11vzRyQ

8、xPd)( 由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知 SRQPd)coscoscos(高斯公式為計算高斯公式為計算(閉閉)曲面積分提供了曲面積分提供了它能簡化曲面積分的計算它能簡化曲面積分的計算.一個新途徑一個新途徑,表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度Gauss公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)12高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度使用使用Guass公式時應注意公式時應注意:使用使用Guass公式時易出的差錯公式時易出的差錯: :(1)

9、 搞不清搞不清是對什么變量求偏導是對什么變量求偏導;RQP,(2) 不滿足高斯公式的條件不滿足高斯公式的條件, 用公式計算用公式計算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取閉曲面的取閉曲面的外側(cè)外側(cè). . vzRyQxPd)( 高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddddd二、簡單的應用二、簡單的應用例例1 1 計算曲面積分計算曲面積分xdydzzydxdyyx)()( 其中為柱面其中為柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所圍成的空間閉所圍成的空間閉區(qū)域區(qū)域 的整個邊界曲面的外側(cè)的整個邊界曲面的外側(cè). .xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRy

10、QzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 xozy113 301020)(sinrdzzrdrd15xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004 球球 例例2 ,dddddd333yxzxzyzyxI計算計算的的為球面為球面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR 5512R 外側(cè)外側(cè). . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( 因因是閉曲面是閉曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式計算計算.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度16xyzO

11、n例例3,dddddd222 zyxyxzxzyzyxI計計算算解解 I zyxaddd3234343aaa 的的為球面為球面2222azyx 外側(cè)外側(cè). . yxzxzyzyxdddddda1能否直接用能否直接用點點(x,y,z)在曲面上在曲面上,然后再用然后再用高斯公式高斯公式. .可先用曲可先用曲面方程將被積面方程將被積因被積函數(shù)中的因被積函數(shù)中的函數(shù)化簡，函數(shù)化簡，高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度17有時可作有時可作輔助面輔助面,(將輔助面上的積分減去將輔助面上的積分減去).化為閉曲面的曲面積分化為閉曲面的曲面積分, 然后利用然后利用高斯公式高斯公式

12、.對有的對有的 非閉曲面非閉曲面的曲面積分的曲面積分,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度18 coscoscos、,d)coscoscos(222Szyx )0(0222 hhzzzyx及及介于平面介于平面錐面錐面例例4 計算曲面積分計算曲面積分之間之間下側(cè)下側(cè). .的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.處處在在是是),(zyx 為為其中其中 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度部分的部分的解解 空間曲面空間曲面在在xOy面上的面上的,xyD曲面曲面 不是不是 為利用高斯公式為利用高斯公式投影域為投影域為xyzOnxyD h)(,:2221hyxhz ,1取取

13、上上側(cè)側(cè) 1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域 上上在在 補補構(gòu)成構(gòu)成封閉曲面封閉曲面, ,使用使用高斯公式高斯公式.封閉曲面封閉曲面, 1 n19)ddd(2 vzvyvx vzyxd)(2由對稱性由對稱性Szyxd)coscoscos(2221 0 ,),( 222hzzyxzyx zDyxddzzzhd220 vzd2zzhd203 42h 0 0 SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度1 n nxyzOhxyD先二后一法先二后一法20 1d)coscoscos(222 Szyx xyDyxhdd24h 故所求

14、積分為故所求積分為 Szyxd)coscoscos(222.214h 1cos, 0cos, 0cos 1d2 Sz)( ,:2221hyxhz 11 4421hh 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度1 n nxyzOhxyD4211h yxyxSdddd001d 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度證證,coscoscos zvyvxvnv dSnvu dSzvyvxvu)coscoscos( dSzvuyvuxvucos)(cos)(cos)( 利用高斯公式，即得利用高斯公式，即得 dSnvu ,)()()(dxdydzzvuzyvuyxvux高斯高斯(G

15、auss)公式公式 通量與散度通量與散度符符號號222222zyx ，稱稱為為拉拉普普拉拉斯斯( (L La ap pl la ac ce e) )算算子子，這這個個公公式式叫叫做做格格林林第第一一公公式式 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度沿沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件任意閉曲面的曲面積分為零的條件的邊界曲線？的邊界曲線？無關而只取決于無關而只取決于與曲面與曲面，曲面積分，曲面積分問題：在怎樣的條件下問題：在怎樣的條件下 RdxdyQdzdxP

16、dydz為為零零？任任意意閉閉曲曲面面的的曲曲面面積積分分即即在在怎怎樣樣的的條條件件下下，沿沿高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在是是等等式式件件分分為為零零）的的充充分分必必要要條條內(nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲面面的的曲曲面面積積的的邊邊界界曲曲線線（或或沿沿無無關關而而只只取取決決于于取取曲曲面面內(nèi)內(nèi)與與所所在在則則曲曲面面積積分分，內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在、，是是空空間間二二維維單單連連通通區(qū)區(qū)域域設設定定理理GzRyQxPGGRdxdyQdzdxPdydzGzyxRzyxQzyxPG0),(),(),(2 我們有以下結(jié)論：我們有以下結(jié)論

17、：高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度26利用利用高斯公式高斯公式計算三重積分計算三重積分vzxyzxyId)( 提示提示zRyQxP ,由由于于, 0 QP則則zxyzxyzR 222121xzyzxyzR ,的邊界面的邊界面 取取以及以及是由平面是由平面其中其中1, 0, 0, 0 zzyx .122圍在第一掛限內(nèi)的立體圍在第一掛限內(nèi)的立體圓柱面圓柱面 yx高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度考慮到考慮到選取相當自由，選取相當自由，27vzxyzxyId)( 由高斯公式由高斯公式 外外 yxzyxxyzdd)(212)(外外的側(cè)面的側(cè)面由由 ),(0:1下下

18、底面底面 z 故故 10220d)cos(sin21cossind .2411 )(軸的柱面軸的柱面母線平行于母線平行于z,)( 1:2構(gòu)構(gòu)成成上上和和上上面面 z1 )(21yx 21 yxdd I極坐標極坐標, 0 QP222121xzyzxyzR xyDxy高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度28 被積函數(shù)中有抽象函數(shù)被積函數(shù)中有抽象函數(shù),故無法直接計算故無法直接計算. 如直接計算如直接計算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是錐面是錐面22zyx 4222 zyx所圍立體的表面所圍立體的表面1222 zyx計

19、算設計算設f(u)是有連續(xù)的導數(shù)是有連續(xù)的導數(shù),計算計算和球面和球面及及外側(cè)外側(cè). .高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度xyzO29解解 由于由于,3xP ,32xxP ,3122yzyfzyQ 2231zzyfzzR 故由故由高斯公式高斯公式vzyxId)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球球,13yzyfzQ ,13zzyfyR 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度xyzO30 xyzO解解( (如圖如圖) )221xzy yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 )31(01 y

20、xyz是曲線是曲線其中其中 .2 恒大于恒大于計算曲面積分計算曲面積分 1987年研究生考題年研究生考題,計算計算(10分分)繞繞y軸旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)曲面方程為一周所成的曲面一周所成的曲面, 它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角軸正向的夾角 01xyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度n31xyzOzyxzRyQxPddd1 zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 欲求欲求 vd:1 補補取右側(cè)取右側(cè). 11 I221xzy 有有nn, 3 y 高斯公式高斯公式 3120202ddd y xzDxzyzx

21、3122ddd222)2(: zxDzx柱坐標柱坐標高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度 203d)2(2 .2 32 )32(2 34yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(12 求求, 3:1 y 補補取右側(cè)取右側(cè) 1 zxDxzdd162)2(16 2 222)2(: zxDzx00zxDxzdd)1( 23故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度 21 11 I1. 通量通量 為向量場為向量場 設有一向量場設有一向量場kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 則稱沿則稱沿場中場中有向曲面有向曲面某一側(cè)的曲面積分某一側(cè)的曲面積分:通

22、量通量. . flux divergence穿過曲面穿過曲面這這一側(cè)的一側(cè)的),(zyxASAd 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度二、物理意義二、物理意義 通量通量與與散度散度通量的計算公式通量的計算公式 yxRxzQzyPdddddd kyxjxzizySddddddd 2. .散度散度設有向量場設有向量場),(zyxA為場中任一點為場中任一點,),(zyxP在在P點的某鄰域內(nèi)作一包含點的某鄰域內(nèi)作一包含P點在其內(nèi)的閉曲面點在其內(nèi)的閉曲面,它所圍成的小區(qū)域及其體積記為它所圍成的小區(qū)域及其體積記為,V 以以表示表示從從內(nèi)穿出的通內(nèi)穿出的通量量,若當若當, 0V V 即即縮成

23、縮成P點時點時, 極限極限 VV 0limVSAV dlim0高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度記為記為,div A散度散度. .存在存在,則該極限值就稱為向量場則該極限值就稱為向量場在在P點處的點處的A即即 Adiv VV 0limVSAV dlim0SAd 散度在直角坐標系下的形式散度在直角坐標系下的形式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim積分中值定理積分中值定理,兩邊取極限兩邊取極限,zRyQxPAdiv 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度散度的計算公

24、式散度的計算公式kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 設設RQP,均可導均可導,),(zyxA在在則則點處的散度為點處的散度為zRyQxPA div高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度高斯公式高斯公式可寫成可寫成 SAvAndddiv)coscoscos( RQPnAAn .的邊界曲面的邊界曲面是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域其中其中 .的外側(cè)法向量上的投影的外側(cè)法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn例例 向量場向量場kzxjyeixyAz)1ln(22 ).(div)0 , 1 , 1( AP的散度的散度在點在點 1989年研究生考題年研究生考題,填空填空(3分

25、分)解解,),(2xyzyxP ,),(zyezyxQ )1ln(),(2zxzyxR PxP PyQ PzR Adiv2)( PzRyQxP, 12 Py2, 1 Pze0122 PzxzzRyQxPA div高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度設設數(shù)量場數(shù)量場,ln222zyxu ).()grad(div u則則2221zyx 解解222lnzyxu )ln(21222zyx 先求梯度先求梯度.gradu222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu 222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度

26、再求再求ugrad的散度的散度.,222zyxxP ,222zyxyQ 222zyxzR ,)(2222222zyxxzyxP ,)(2222222zyxyzxyQ 2222222)(zyxzyxzR 2221)grad(divzyxu 故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu 設設數(shù)量場數(shù)量場,ln222zyxu ).()grad(div u則則四、小結(jié)四、小結(jié) dSAdvAdivn3物理意義物理意義2高斯公式的實質(zhì)高斯公式的實質(zhì)1高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(注意使用的條件注意使用的條件)表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度思考題思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度思考題解答思考題解答曲面應是分片光滑的曲面應是分片光滑的閉閉曲面曲面.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度一、一、 利用高斯公式計算曲