2017高考一輪復(fù)習(xí)教案-函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、. .jz*第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值1函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義2函數(shù)的最值理解函數(shù)的最大值、最小值及其幾何意義知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閕.如果對(duì)于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間a上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間a上是增加的當(dāng)x1f(x2)， 那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間a上是減少的圖象描述自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是增加的或是減少的，那么稱(chēng)a為單調(diào)區(qū)間易誤提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)注意點(diǎn)：(1)單調(diào)

2、區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)樹(shù)立“定義域優(yōu)先”的原則(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)必記結(jié)論1單調(diào)函數(shù)的定義有以下若干等價(jià)形式：設(shè)x1，x2a，b，那么. .jz*f(x1)f(x2)x1x20?f(x)在a，b上是增函數(shù)；f(x1)f(x2)x1x20?f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)1在 r 上為增函數(shù)， 則a的取值范圍是( ) a3,0) b3， 2 c(， 2 d(， 0) 知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足條件對(duì)于任意xi，都

3、有f(x)m 存在x0i，使得f(x0)m對(duì)于任意xi，都有f(x)m 存在x0i，使得f(x0)m結(jié)論m為最大值m為最小值易誤提醒在求函數(shù)的值域或最值時(shí)，易忽視定義域的限制性必備方法求函數(shù)最值的五個(gè)常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(4)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值. .jz*(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值自測(cè)練習(xí) 4函數(shù)f(x

4、)11x2(xr)的值域是 ( ) a(0,1) b(0,1 c0,1) d0,1 5已知函數(shù)f(x)x22x(2x1 且xz)，則f(x)的值域是 ( ) a0,3 b1,3 c0,1,3 d1,0,3 考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷|1下列四個(gè)函數(shù)中，在(0， )上為增函數(shù)的是( ) af(x)3xbf(x)x23xcf(x)1x1df(x) |x| 給出解析式函數(shù)單調(diào)性的兩種判定方法1定義法 (基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)2導(dǎo)數(shù)法 (基本步驟為求定義域、求導(dǎo)、變形、判斷)考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法|求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)yx22|x|1；. .jz*(2)y log12(x23

5、x2)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四種求法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)y|x|(1x)在區(qū)間a上是增函數(shù)，那么區(qū)間a是( ) a(， 0) b. 0，12c0， ) d.12，考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用|函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容歸納起來(lái)， 常見(jiàn)的命題探究角度有：. .jz*1求函數(shù)的值域或最值2比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小3解函數(shù)不等式4

6、求參數(shù)的取值范圍或值探究一求函數(shù)的值域或最值1(2015 高考浙江卷 )已知函數(shù)f(x)x2x3，x1，lg(x21)，x1，則f(f(3)_，f(x)的最小值是 _探究二比較兩個(gè)函數(shù)值或兩自變量的大小2已知函數(shù)f(x)log2x11x，若x1(1,2)，x2(2， )，則 ( ) af(x1)0，f(x2)0 bf(x1)0 cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 探究三解函數(shù)不等式3(2015 西安一模 )已知函數(shù)f(x)x3，x0，ln(x1)，x0，若f(2x2)f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ( ) a(， 1)(2， ) b(， 2)(1， ) c(1,2) d(2,1) 探究

7、四利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍4(2015 江西新余期末質(zhì)檢)已知f(x)(2a)x1(x0 成立，那么a的取值范圍是( ) a.32，2b. 1，32c(1,2) d(1， ) . .jz*函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的四種類(lèi)型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f” 符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單

8、調(diào)的， 則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值1.確定抽象函數(shù)的單調(diào)性以及解含“f” 的不等式【典例】(12 分)函數(shù)f(x)對(duì)任意a，br，都有f(ab)f(a)f(b)1，且當(dāng)x0 時(shí)，有f(x)1. (1)求證：f(x)是 r 上的增函數(shù)；(2)若f(4)5，解不等式f(2t 1)f(1t)2. . .jz*思路點(diǎn)撥 (1)用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合題意，將含“f” 的不等式f(2t1)f(1t)2 轉(zhuǎn)化為f(m)0).其中值域?yàn)閞 的函數(shù)有 ( ) a1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)3若函數(shù)f(x)x2

9、2ax與函數(shù)g(x)ax1在區(qū)間 1,2 上都是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取. .jz*值范圍為 ( ) a(0,1)(0,1) b(0,1)(0,1 c(0,1) d(0,1 4已知函數(shù)f(x)x2 4x3，x0，x22x3，x0，則不等式f(a24)f(3a)的解集為 ( ) a(2,6) b(1,4) c(1,4) d(3,5) 5 (2016 浦東一模 )如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間i上是增函數(shù)， 且函數(shù)yf(x)x在區(qū)間i上是減函數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)yf(x)是區(qū)間i上的“緩增函數(shù)” ，區(qū)間i叫作 “緩增區(qū)間” 若函數(shù)f(x)12x2x32是區(qū)間i上的 “緩增函數(shù)” ， 則 “緩增區(qū)間”i為 ( )

10、a1， ) b0，3 c0,1 d1，3 6已知f(x)是定義在r 上的偶函數(shù)， 若對(duì)任意的x1，x2 0， )(x1x2)，有f(x2)f(x1)x2x10，0，x0，1，x0 且f(x)在(1， )上單調(diào)遞減，求a的取值范圍. .jz*10已知函數(shù)g(x)x1，h(x)1x3，x(3，a，其中a為常數(shù)且a0，令函數(shù)f(x)g(x)h(x)(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；(2)當(dāng)a14時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域b組高考題型專(zhuān)練1(2014 高考北京卷 )下列函數(shù)中，在區(qū)間(0， )上為增函數(shù)的是( ) ayx1 by(x1)2. .jz*cy2xdylog0.5(x 1) 2(20

11、13 高考安徽卷 )“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間 (0， )內(nèi)單調(diào)遞增”的( ) a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件3 (2015 高考福建卷 )若函數(shù)f(x)x6，x2，3logax，x2(a0， 且a1)的值域是 4， )，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _4(2015 高考湖北卷 )a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)|x2ax|在區(qū)間 0,1上的最大值記為g(a)當(dāng)a_時(shí)，g(a)的值最小. .jz*1.解析：根據(jù)函數(shù)的圖象知，函數(shù)f(x)1x在(0， )上單調(diào)遞減，故選a.答案： a 2.解析：要使ylog5(2x1)有意義，則2x10，即x12，而ylo

12、g5u為(0， )上的增函數(shù)， 當(dāng)x12時(shí)，u2x1 也為 r 上的增函數(shù)， 故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是12，.答案：12，3.解析：要使函數(shù)在r 上是增函數(shù)，則有a21，a0，1a5a，解得 3a 2，即a的取值范圍是 3， 2答案： b 4.解析：因?yàn)?x21,00 時(shí)，f(x)3x為減函數(shù)；當(dāng)x 0，32時(shí)，f(x)x23x為減函數(shù)，當(dāng)x32，時(shí)，f(x)x23x為增函數(shù)；當(dāng)x(0， )時(shí)，f(x)1x1為增函數(shù)；當(dāng)x(0， )時(shí)，f(x) |x|為減函數(shù)故選c.答案： c 2判斷函數(shù)g(x)2xx1在 (1， )上的單調(diào)性2.解：法一：定義法. .jz*任取x1，x2(1， )，且x1x2

13、，則g(x1)g(x2)2x1x1 12x2x212(x1x2)(x11)(x21)，因?yàn)?1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0，g(x)在(1， )上是增函數(shù)1.解 (1)由于yx22x1，x 0，x22x1，x0，即y(x 1)22，x0，(x 1)22，x0，則x2. 函數(shù)ylog12(x23x 2)的定義域?yàn)?(， 1)(2， )又ux23x2 的對(duì)稱(chēng)軸x32，且開(kāi)口向上ux23x 2 在(， 1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2， )上是單調(diào)增函數(shù)而ylog12u在 (0， )上是單調(diào)減函數(shù)，ylog12(x23x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2， )，單調(diào)遞增區(qū)間為

14、(， 1). .jz*解析：y|x|(1x) x(1x)(x0)，x(1x)(x0)x2x(x0)，x2x(x0)x12214(x0)，x12214(x0).畫(huà)出函數(shù)的草圖，如圖由圖易知原函數(shù)在0，12上單調(diào)遞增答案： b 1.解析：由題知，f(3)1，f(1)0，即f(f(3)0.又f(x)在(， 0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，在(2， )上單調(diào)遞增，所以f(x)minminf(0)，f(2)223. 答案： 0 223 2.解析：函數(shù)f(x)log2x11x在(1， )上為增函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x1(1,2)時(shí)，f(x1)f(2)0，即f(x1)0. 答

15、案： b 3.解析：當(dāng)x0 時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為零，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)x3為增函數(shù)， 當(dāng)x0 時(shí)，f(x)ln(x1)也是增函數(shù)， 且當(dāng)x10 時(shí)，f(x1)f(x)等價(jià)于 2x2x，即x2x20，解得 2x0，a1，(2a) 11a1.解得32a2，故. .jz*選 a. 答案： a 規(guī)范解答 (1)證明：設(shè)x1，x2r 且x10，f(x2x1)1.(2 分) 根據(jù)條件等式有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，f(x1)f(x2)，f(x)是 r 上的增函數(shù)(6 分) (2)由f(ab

16、)f(a)f(b)1，得f(ab)f(a)f(b) 1，f(2t1)f(1t)f(t2)1，(8 分) f(2t1)f(1t)2，即f(t 2)12，f(t2)3. 又f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，f(t2)3f(2)(10 分) f(x)是 r 上的增函數(shù)，t22，t0)的值域均是r，函數(shù)y1x21的值域是 (0,1，函數(shù)yx22x10 (x 1)211 的值域是 11， )，因此選 b. 答案： b 3.解析：注意到f(x) (xa)2a2；依題意得a1，a0，即 0f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即 (a1)(a4)0，解得 1a4，所以不等. .jz*式的

17、解集為 (1,4)答案： b 5.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)12x2x32的對(duì)稱(chēng)軸為x1，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間 1， )上是增函數(shù)，又當(dāng)x1 時(shí)，f(x)x12x132x，令g(x)12x132x(x1)，則g(x)1232x2x232x2，由g(x)0得 1x3，即函數(shù)f(x)x12x132x在區(qū)間 1，3上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”i為1，3答案： d 6.解析：由x1，x2(0， )時(shí)，f(x2)(x1)x2x10，f(x)在(0， )上為減函數(shù)又f(2)f(2)，12f(2)f(3)即f(1)f(2)f(3)答案：f(1)f(2)f(3) 7.解析：g(x)x2，x1，0，x 1，x2，

18、x1.如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)答案： 0,1) 8.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在 (，a)上是單調(diào)函數(shù)，所以a 1，解得a 1. 答案： (， 1 9.解： (1)證明：任設(shè)x1x20，x1x20，f(x1)0時(shí)，f(x)在(，a)，(a， )上是減函數(shù)，又f(x)在(1， )上單調(diào)遞減，00)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，14，令x1t，則x(t1)2，t 1，32，f(x)f(t)tt22t41t4t2. t4t時(shí)，t 2?1，32，又t 1，32時(shí)，t4t單調(diào)遞減，f(t)單調(diào)遞增，f(t)13，613. 即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3，613. 1.解析：y(x 1)2僅在 1， )上為增函數(shù)，排除b；y 2x12x為減函數(shù)，排除c；因?yàn)閥 log0.5t為減函數(shù)，tx1 為增函數(shù)， 所以y log0.5(x1)為減函數(shù)， 排除 d；yt和tx1 均為增函數(shù)，所以yx1為增函數(shù)，故選a. 答案： a 2.解析：由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知f(x)|(ax1)x|在(0，