實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明

1、實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明 摘 要:循環(huán)論證了實(shí)數(shù)系的6個(gè)基本定理,并最終形成所有完美的論證環(huán),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)論證之美.關(guān)鍵詞: 實(shí)數(shù) 完備性 單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 聚點(diǎn)定理 柯西收斂準(zhǔn)則 確界原理 (單調(diào)有界定理)任何單調(diào)有界數(shù)列必定收斂(區(qū)間套定理）設(shè)為一曲間套：1.2.則存在唯一一點(diǎn)(有限覆蓋定理)設(shè)是閉區(qū)間的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，即中每一點(diǎn)都含于中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)則在中必存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，它們構(gòu)成的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋(聚點(diǎn)定理)直線(xiàn)上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)（本身可以屬于，也可以不屬于）(柯西準(zhǔn)則)數(shù)列收斂的充要條件是：N，

2、0;, 恒有（后者又稱(chēng)為柯西（Cauchy）條件，滿(mǎn)足柯西條件的數(shù)列又稱(chēng)為柯西列，或基本列）(確界原理) 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .單調(diào)有界定理對(duì)其它定理的證明1用單調(diào)有界定理證明閉區(qū)間套定理證 由區(qū)間套定義,為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理, 有極限,且有n=1,2, (1) 同理,遞減有界數(shù)列也有極限,并按區(qū)間套的條件有= (2)且 ，n=1,2, (3)聯(lián)合(1) (3)即得式. 最后證明滿(mǎn)足的的是唯一的,設(shè)數(shù)也滿(mǎn)足 ，n=1,2, 則由式有 |- | - ，n=1,2, 由區(qū)間套的條件得 |- |，故有= 2用單調(diào)有界定理證明確界原理證 我們不妨證明非空有上

3、界的數(shù)集必有上確界.1.欲求一實(shí)數(shù)使它是非空數(shù)集的上確界.利用非空有上界的數(shù)集,構(gòu)造一數(shù)列使其極限為我們所要求的實(shí)數(shù). 選取性質(zhì):不小于數(shù)集中的任一數(shù)的有理數(shù). 將具有性質(zhì)的所有有理數(shù)排成一個(gè)數(shù)列 ,并令 =max,則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列;2.由單調(diào)有界定理得,且對(duì)任意的自然數(shù)n 有;3.是數(shù)集S的上確界.用反證法.若有數(shù) 使,取,由3.一定存在一個(gè)有理數(shù) ,使<+,從而<,這與是數(shù)集的上界矛盾.所以對(duì)一切S,都有,即是數(shù)集S 的上界. 任給>0,若S,都有-,則存在有理數(shù),使-<<,即-< < .這與3.矛盾,所以存在 ,使>-.即是數(shù)集的最

4、小上界. 于是,我們證明了所需結(jié)論.3用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理證 1.設(shè)有理數(shù)(, ,使區(qū)間,能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.把,上的這種有理數(shù)的全體排成一個(gè)數(shù)列.因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)開(kāi)區(qū)間(,)使(,),在(,),內(nèi)含有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù),所以是存在的; 2.將數(shù)列單調(diào)化,取=max,則數(shù)列單調(diào)遞增有上界; 3.由單調(diào)有界定理得, =, 且，n=1,2,; 4.因, n=1,2, ,由3.得,故必在中的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(,)中.再由3.,一定有 ,使<.又由1.,能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.故只需把(,) 加進(jìn)去. , 能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋. 若=,則說(shuō)明,能被H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.用反證法.若<,由

5、于內(nèi),的有理數(shù)在上處,處稠密,故一定存在有理數(shù),使得<<min, ,這樣一來(lái), , 能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.故 ,與3.矛盾.所以=.4.用單調(diào)有界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 若收斂，設(shè)則有對(duì)，當(dāng)時(shí)有 任取，則有從而即是列 設(shè)是列(i) 則對(duì)，當(dāng)時(shí)有 從而 取， 從而 取， 從而即得對(duì)有，由的任意性有 (ii)由列的定義，任取，則，當(dāng)時(shí)有 取則 所以為有界序列 由有為有界序列 由有界單調(diào)收斂定理有收斂，設(shè) (iii)下證 因?yàn)閷?duì)，當(dāng)時(shí)有 由是列有 當(dāng)時(shí)有 所以+ 所以收斂，且 證畢5.單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理證 設(shè)是以有界無(wú)限點(diǎn)集 ,則在中選取一個(gè)由可數(shù)多個(gè)互不相同的點(diǎn)組成的數(shù)列 ,顯

6、然數(shù)列是有界的. 下面我們從中抽取一個(gè)單調(diào)子列, 從而由單調(diào)有界定理該子列收斂, 最后我們證明該子列的極限值 ,就是有界無(wú)限點(diǎn)集的聚點(diǎn) .分兩種情況來(lái)討論. 1)如果在的任意一項(xiàng)之后 ,總存在最大的項(xiàng)( 因是有界的且,這是可能的). 設(shè) 后的最大項(xiàng)是; 后的最大項(xiàng)是且顯然; 一般地, 后的最大項(xiàng)記為 ,(=1,2,). 這樣,就得到了的 一個(gè)單調(diào)遞減的子數(shù)列,因?yàn)橛薪?根單調(diào)有界定理知,收斂.2)如果1)不成立. 即從某一項(xiàng)后, 任何一項(xiàng)都不是最大的 (為證明書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn) ,不妨設(shè)從第一項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不是最大項(xiàng)). 于是, 取=, 因不是最大項(xiàng), 所以必存在另一項(xiàng)>(>).又因?yàn)橐?/p>

7、不是最大項(xiàng), 所以又有>( >), 這樣一直下去,就得到的一個(gè)單調(diào)遞增的子列 且有上界 單調(diào)有界定理知, 收斂。 總之不論屬于情形 1）還是情形 2）都可作出的一個(gè)單調(diào)收斂的子列. 設(shè)=,今證是的聚點(diǎn) .對(duì)>0,存在自然數(shù),使得時(shí)>時(shí)， - < < +, 若這時(shí)單調(diào)遞減 , < +( >) 且 , 即的領(lǐng)域內(nèi)含有中異于的點(diǎn),故是 的聚點(diǎn). 單調(diào)遞增時(shí),類(lèi)似可證區(qū)間套定理對(duì)其它定理的證明1.用區(qū)間套定理證明數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證 必要性 設(shè)= A.由數(shù)列極限定義,對(duì)任給的>0,存在>0,當(dāng)m,n>時(shí)有 |-A|< , |-A|

8、< , 因而 | -| |-A|+ |-A|< + =. 充分性 按假設(shè),對(duì)任給的>0,存在>0,使得對(duì)一切有|-| ,即在區(qū)間-,+ 內(nèi)含有中幾乎所有的項(xiàng)(這里及以下,為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們用“ 中幾乎所有的項(xiàng)”表示“ 中除有限項(xiàng)外的所有項(xiàng)”) 據(jù)此,令= ,則存在,在區(qū)間-, + 內(nèi)含有中幾乎所有的項(xiàng).記這個(gè)區(qū)間為,. 再令=,則存在(>) ,在區(qū)間-,+內(nèi)含有中幾乎所有的項(xiàng).記 ,=-,+, 它也含有 中幾乎所有的項(xiàng),且滿(mǎn)足繼續(xù)依次令=, , , ,照以上方法得一閉區(qū)間列,其中每個(gè)區(qū)間都含有 中幾乎所有的項(xiàng),且滿(mǎn)足 ,n=1,2, , -0 (n), 即,是區(qū)

9、間套,由區(qū)間套定理,存在唯一的一個(gè)數(shù),( n=1,2,). . 現(xiàn)在證明就是數(shù)列的極限.事實(shí)上,對(duì)任給的>0 ,存在>0 ,使得當(dāng)> 時(shí)有 ,U(;).因此在U(;)內(nèi)含有 中除有限項(xiàng)外的所有項(xiàng),這就證得= .2用區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理證 因?yàn)橛薪琰c(diǎn)集,故存在,使得,記,= . 現(xiàn)將,等分為兩個(gè)子區(qū)間,因?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)集,故兩個(gè)子區(qū)間至少有一個(gè)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),記此子區(qū)間為, ,則, ,且 -=(-)=M. 再將,等分為兩個(gè)子區(qū)間,則其中至少有一個(gè)子區(qū)間含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),取出這樣的一個(gè)子區(qū)間,記為, ,則, ,且 -=(-)=. 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去,得到一個(gè)區(qū)間列,

10、 ,它滿(mǎn)足 ,n=1,2, , -=0 (n),即,是區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn).由區(qū)間套定理,存在唯一的一點(diǎn), , n=1,2,.于是對(duì)任給的>0,存在>0 ,當(dāng)>時(shí)有,U(;).從而U(;)內(nèi)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn), 為的一個(gè)聚點(diǎn).3用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理證 用反證法 假設(shè)定理的結(jié)論不成立,即不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋 . 將,等分為兩個(gè)子區(qū)間,則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為, ,則, ,且 -= (-). 再將,等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋, 記這個(gè)子區(qū)間為,則,，且-=(-)

11、.重復(fù)上述步驟并不斷地進(jìn)行下去,則得到一個(gè)閉區(qū)間列, ,它滿(mǎn)足 ,n=1,2, -=(-)0 (n),即,是區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋.由區(qū)間套定理,存在唯一的一點(diǎn), =1,2,. 由于是, 的一個(gè)開(kāi)覆蓋,故存在開(kāi)區(qū)間(,),使(,).于是,當(dāng)充分大時(shí)有 ,(,).這表明,只須用中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間(,)就能覆蓋,與挑選,時(shí)的假設(shè)“不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋”相矛盾.從而證得必存在屬于的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間能覆蓋,. 4.用區(qū)間套定理證明確界原理證 僅證明非空有上界的數(shù)集必有上確界. 1.要找一數(shù),使其是數(shù)集上的上確界. 是的上確界就要滿(mǎn)足上確界定義中的兩個(gè)條件:大于 的數(shù)不在中

12、, 的任何領(lǐng)域內(nèi)有中的點(diǎn).這兩條即為性質(zhì). 如果在閉區(qū),間中,則閉區(qū)間應(yīng)有性質(zhì),:任何小于的數(shù)不在中, ,中至少含有中的一個(gè)點(diǎn),該性質(zhì)即為.取的上界為,且 b,取,則閉區(qū)間有性質(zhì); 2. 將閉區(qū)間,等分為兩個(gè)閉區(qū)間,則至少有一個(gè)閉區(qū)間,也有性質(zhì).如此繼續(xù)得一閉區(qū)間列,滿(mǎn)足 ,; =0 3. 由閉區(qū)間套定理得屬于所有的閉區(qū)間,n=1,2, , 并且每個(gè)閉區(qū)間,有性質(zhì) ; 4. 因?yàn)? n=1,2, , 且=0,故 =,由于對(duì),有,從而=;又對(duì)>0,總存在,使得- < ,故存在, , 于是>- .因而=sup.5用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理證 設(shè)是單調(diào)有界數(shù)列 ,不妨設(shè)其為單調(diào)遞

13、增且有上界,現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造以個(gè)閉區(qū)間套. 在中任取一項(xiàng)記作, 這時(shí)<于是,以,為端點(diǎn)的閉區(qū)間,內(nèi)一定含有數(shù)列中的無(wú)限多項(xiàng),將區(qū)間,二等分,得閉區(qū)間,.由于單調(diào)遞增，故,和，中只有一個(gè)包含的無(wú)限多項(xiàng)，記該區(qū)間為,.再將,二等分，在所得區(qū)間中只有一個(gè)包含的無(wú)限多項(xiàng)，記該區(qū)間為,如此繼續(xù)，得一閉區(qū)間列： ,，,，,，滿(mǎn)足 ,(=1,2,); =0故是一個(gè)閉區(qū)間套,由閉區(qū)間套定理,存在唯一實(shí)數(shù)使得,(=1,2,).現(xiàn)在證明因=.因=0,故對(duì)>0存在自然數(shù),當(dāng)> 時(shí), -<另外,由于,包含遞增數(shù)列的 無(wú)限多項(xiàng),所以必存在,當(dāng)> 時(shí),有 ,取=max, ,當(dāng)> 時(shí)有 -&l

14、t;-<,此即=.柯西收斂準(zhǔn)則對(duì)其它定理的證明1.用柯西數(shù)列的收斂準(zhǔn)則證明確界原理證 設(shè)為非空有上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性,對(duì)任何正數(shù),存在整數(shù),使得= 為的上界,而- =(-1) 不是S的上界,即存在,使得 >(-1) . . 分別取= ，=1,2,則對(duì)每一個(gè)正整數(shù),存在相應(yīng)的 ,使得為的上界,而- 不是的上界,故存在,使得 >-. (1)又對(duì)正整數(shù),是的上界,故有.結(jié)合(1)式得-< ;同理有-< .從而得 | -|<max(,).于是,對(duì)任給的>0 ,存在>0 ,使得當(dāng),>時(shí)有 | -|<.由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列 收斂.記 =

15、(2) 現(xiàn)在證明就是的上確界.首先,對(duì)任何和正整數(shù)有,由(2)式得,即是的一個(gè)上確界.其次,對(duì)任何>0 ,由0()及(2)式,對(duì)充分大的同時(shí)有 <,>-.又因- 不是的上界,故存在,使得>- .結(jié)合上式得 >-=-.這說(shuō)明為的上確界. 同理可證:若為非空有下界數(shù)集,則必存在下確界.2.用柯西收斂準(zhǔn)則證明聚點(diǎn)定理 證 1.取為的下界,對(duì)任意固定的自然數(shù)，存在自然數(shù), 使=+ 滿(mǎn)足： 1） 至多為有限點(diǎn)集； 2）為無(wú)限點(diǎn)集. 2由1.對(duì)任意的自然數(shù), < , 這是因?yàn)?，若存在n,使, 則 這與1），2）矛盾.從而 |-|max,因此滿(mǎn)足柯西收斂準(zhǔn)則； 3由柯西收

16、斂準(zhǔn)則得，=; 4對(duì)>0, 由于=,所以存在使得 , -(-,+),從 ,有2）得是無(wú)限點(diǎn)集；又 ,由1）得至多是有限點(diǎn)集.因此 (-,+),是無(wú)限點(diǎn)集,即是的聚點(diǎn).3.用柯西收斂準(zhǔn)則證明有限覆蓋定理證 1.在,上選取一數(shù)列，使得-,+, 具有性質(zhì):閉區(qū)間能,被H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，相反的性質(zhì):閉區(qū)間,不能被H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋；若,具有性質(zhì),則,使(-1, +1) ,具有性質(zhì).否則, ,具有性質(zhì),如此繼續(xù),得一數(shù)列,使 ,具有性質(zhì). 2因?yàn)?|-|<max(,)所以，數(shù)列滿(mǎn)足柯西收斂準(zhǔn)則的條件； 3由柯西收斂準(zhǔn)則得， = ； 4顯然, ,.存在開(kāi)區(qū)間(,),使(,).又由=,存在

17、,使(-,+ ) (,).這與(-,+ )具有性質(zhì)矛盾.4.用柯西收斂準(zhǔn)則證明閉區(qū)間套定理證 不妨設(shè)是一列閉區(qū)間,滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件:1) 2)設(shè).則,所以數(shù)列是一基本數(shù)列.從而由柯西收斂準(zhǔn)則得: .由于數(shù)列單調(diào)增加,數(shù)列單調(diào)減少,可知是屬于所有閉區(qū)間 的唯一實(shí)數(shù),從而區(qū)間套定理得證.下面證明閉區(qū)間套的公共點(diǎn)是唯一的 若也屬于所有的閉區(qū)間,則,當(dāng)時(shí), ,這與閉區(qū)間套的條件矛盾,即區(qū)間套的公共點(diǎn)是唯一的.5.用柯西收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理證 設(shè)為一遞增且有上界M的數(shù)列用反證法（ 借助柯西準(zhǔn)則 ）可以證明：倘若無(wú)極限，則可找到一個(gè)子列以為廣義極限，從而與有上界相矛盾現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造這樣的對(duì)于單調(diào)數(shù)列，柯西

18、條件可改述為：“,當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足”這是因?yàn)樗瑫r(shí)保證了對(duì)一切，恒有 倘若不收斂，由上述柯西條件的否定陳述：，對(duì)一切，使依次取把它們相加,得到故當(dāng)時(shí)，可使，矛盾所以單調(diào)有界數(shù)列必定有極限 確界原理對(duì)其它定理的證明1.用確界原理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 必要性是常規(guī)證法,故從略.只證充分性. 1構(gòu)造非空有界數(shù)集,因?yàn)橛C明數(shù)列收斂，故數(shù)集必須含有數(shù)列中的無(wú)限多個(gè)數(shù),為此，令 = |(-, )是空集或有限點(diǎn)集; 2由于滿(mǎn)足柯西收斂準(zhǔn)則充分條件的數(shù)列是有界的,故知數(shù)列的下界,上界也是的上界.所以是非空有上界的數(shù)集.由確界原理數(shù)集有上確界=sup; 3對(duì)>0, (-,) 是無(wú)限點(diǎn)集,否則,就與=sup.矛盾

19、.因(-,+)至多含有的有限多個(gè)點(diǎn).故(-,+)含有的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).設(shè)(-,+),k= 1,2,且< < . 取=maxN, , 則當(dāng)n>時(shí),總存在>使 |-| |- | + |-|<2因此= . 2用確界定理證明有限覆蓋定理證 1.令= |<, 能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋; 2.顯然有上界.因覆蓋閉區(qū)間,所以,存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(,)使(,) .取(,) ,則,能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.從而,故非空; 3.由確界原理存在=sup; 4.現(xiàn)證=. 用反證法.若,則<< .由H 覆蓋閉區(qū)間, ,一定存在(,) ,使(,).取,使<<<<

20、,且. 則, 能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把(,)加進(jìn)去,就推得這與=sup矛盾,故=,即定理結(jié)論成立.3. 用確界原理證明閉區(qū)間套定理證 存在唯一的實(shí)數(shù)使得,(=1,2,) 令= 顯然非空且有上界( 任一都是其上界) 據(jù)確界原理 , 有上確界.設(shè)sup= 現(xiàn)在證明屬于每個(gè)閉區(qū)間,(=1,2,)顯然(=1,2,),所以只需證明對(duì)一切自然數(shù),都有. 實(shí)事上,對(duì)一切自然數(shù)，都是的上界, 而上確界是上界中的最小者,因此必有,故證明了存在一實(shí)數(shù) 使得,(=1,2,).4.用確界原理證明聚點(diǎn)定理證 設(shè)為有界無(wú)限點(diǎn)集。構(gòu)造數(shù)集.易見(jiàn)數(shù)集非空有上界,由確界原理,有上確界.設(shè)sup.則對(duì),由不是的上界, 中大于的

21、點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè);由是的上界, 中大于的點(diǎn)僅有有限個(gè).于是,在內(nèi)有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),即是的一個(gè)聚點(diǎn).5.用確界原理證明單調(diào)有界定理證 設(shè)單調(diào)上升,即有上界,即,使得.考慮集合,它非空,有界,推出它有上確界,記為.我們驗(yàn)證.,由上確界的性質(zhì),使得,當(dāng)時(shí),由序列單調(diào)上升得,再由上確界定義,有,即 ,也就是說(shuō). 同理可證若單調(diào)下降,有下界,也存在極限,且.若集合無(wú)上界,記作；若集合無(wú)下界,記作,這樣一來(lái),由于單調(diào)上升（下降）有上界（下界）的序列,必有極限的定理現(xiàn)在有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)了.且對(duì)單調(diào)上升（下降）序列,總有 . 證閉.聚點(diǎn)定理對(duì)其它定理的證明 1.用聚點(diǎn)定理證明區(qū)間套定理證 設(shè)=. 則 S是有界無(wú)限

22、點(diǎn)集.由聚點(diǎn)定理得數(shù)集聚點(diǎn).若存在一個(gè), 使>>( n=1,2,).再取=( -), 由的單調(diào)性,當(dāng)n>N時(shí), >>+.這樣,(-, +) 內(nèi)至多有S中的有限多個(gè)點(diǎn).這與是聚點(diǎn)矛盾,于是得到( n=1,2,). 同理可證, ( n=1,2,).因此,有. 唯一性的證明從略.2.用聚點(diǎn)定理證明有限覆蓋定理證 1.找一個(gè)使它具有與性質(zhì)相反的性質(zhì)的數(shù)集 ;為此我們先證明>0， ,有開(kāi)區(qū)間(,),使(-,-)(,). 否則 ,.對(duì)任意的 (,),都有(-1, +1) (,). ,-，對(duì)任意的(,),都有(-,+)(,).如此繼續(xù)得一數(shù)列, ,-,對(duì)任意的(,),都有

23、 (-,+)(,). 2顯然數(shù)集是有界無(wú)限點(diǎn)集； 3由聚點(diǎn)定理，數(shù)列有聚點(diǎn); 4由,得 , . 故存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(,)H ,使 (,).令=min- ,- ,則存在自然數(shù),使> , ().從而，(-,+) (,) 矛盾. 現(xiàn)在，我們?nèi)=+1, =+ (- ), =0, 1,2,.設(shè)(-,+)(,)H, =0, 1,2,.則 (,) (-,+), , 因此所需結(jié)論成立.3.用聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 設(shè)是一 列 柯西列，則知是有界的.若中只有有限 多個(gè)項(xiàng)不相同,那么必有一項(xiàng)譬如出現(xiàn)無(wú)限多次, 這時(shí) 就得到的一個(gè)收斂的子列. 又因?yàn)槭强挛髁?，故?duì)>0，存在自然數(shù), 當(dāng)>>

24、;時(shí) -<.特別地 , 當(dāng)>, >時(shí)由于> > , 從而 -<, 令,得-.即=. 若中有無(wú)限 多項(xiàng)互不相同, 數(shù)集= 是一有界無(wú)限點(diǎn)集.根據(jù)聚點(diǎn)定理 , 至少有一 聚點(diǎn), 由聚點(diǎn)的定義 ,對(duì)任意的自然數(shù),在中, 必含有的 無(wú)限多項(xiàng), 從而在中可選出一項(xiàng),且,由于的任意性，所以 .同上可知.4.用聚點(diǎn)定理證明單調(diào)有界定理證 設(shè)是一單調(diào)有界數(shù)列,下證收斂,不失一般性.由聚點(diǎn)定理可知至少有一個(gè)聚點(diǎn),假設(shè)都是的聚點(diǎn)則,使得.使得. 因?yàn)樗匀?則至多含有中的項(xiàng),矛盾從而中只有一個(gè)聚點(diǎn),記該點(diǎn)為.下證.因?yàn)槭堑木埸c(diǎn),所以對(duì)是無(wú)窮點(diǎn)集,且.所以.由的單調(diào)性,取,則當(dāng)時(shí)

25、有所以5.用聚點(diǎn)定理證明確界原理證 設(shè)為一有上界點(diǎn)集,若為有限點(diǎn)集 則必有上確界,且sup=max.若為無(wú)限點(diǎn)集,設(shè)為的任一上界,任取將二等分,若,則令,.否則,.再將二等分,若則記,.否則,.這樣重復(fù)下去,可得兩數(shù)列, 其中是的上界,且有 由聚點(diǎn)定理可知,有聚點(diǎn),由聚點(diǎn)唯一,記為.下證為的上確界.1)對(duì),有,即2)對(duì),由的構(gòu)造可知,使得因?yàn)?所以為的上確界 有限覆蓋定理對(duì)其它定理的證明1.用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理證 不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增有上界.且若中有最大值，則易知收斂于某常數(shù)，從而定理得證.以下假設(shè)中沒(méi)有最大值，我們用反證法來(lái)證明. 1.設(shè)沒(méi)有極限.對(duì)任意取定自然數(shù)有.下面作閉區(qū)間,的

26、開(kāi)覆蓋H. 設(shè), 1）若=,(是自然數(shù))因中沒(méi)有最大值，所以至少存在某一個(gè)自然數(shù),使,這時(shí)取=- ,得的領(lǐng)域(-,+); 2）若且不是的上界,同樣存在 ,使<,取=-,得的領(lǐng)域(-,+); 3）若= 且是的上界.因不存在,故必存在的領(lǐng)域(-,+),使得它不含有中的任何項(xiàng).于是們得到了閉區(qū)間,的一個(gè)開(kāi)覆蓋. 2.由有限覆蓋定理，選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間： (-,+),( -,-)也能覆蓋必區(qū)間,. 3.將這有限個(gè)開(kāi)區(qū)間分成兩類(lèi)：若(-,+ )是第3）中情形，則稱(chēng)之為第一類(lèi)；否則稱(chēng)為第二類(lèi)。 顯然所屬的領(lǐng)域是第一類(lèi).所屬的領(lǐng)域是第二類(lèi).但因 (-,+),( -,-)覆蓋了,所以至少有一個(gè)第一類(lèi)開(kāi)區(qū)間

27、與某個(gè)第二類(lèi)開(kāi)區(qū)間相交，這是不可能的.2.用有限覆蓋定理證明閉區(qū)間套定理 證 用反證法證明. 1.假設(shè) ,=1,2, ,沒(méi)有公共點(diǎn)，則,上的任何一點(diǎn)都不是 ,的公共點(diǎn).從而，總存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(-,+) ,使得(-,+)不與所有的,相交.即存在,使 ,(-,+)= 現(xiàn)讓取遍,上的所有點(diǎn)，就得到一個(gè)開(kāi)區(qū)間集： =(-,+):取遍 上,的所有點(diǎn). 2由有限覆蓋定理，選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間 ： =(-,+):=1,2,覆蓋閉區(qū)間,其中(-,+),=; 3因?yàn)?只有有限個(gè)，由閉區(qū)間套定理的條件，它們是一個(gè)包含著一個(gè)，因此其中一定有一個(gè)最小區(qū)間，設(shè)為 , ,這時(shí)， , (-,+)=.從而， , =.這就與 ,

28、,矛盾.所以, ,=1,2,應(yīng)有公共點(diǎn).3.用有限覆蓋定理證明確界原理證 設(shè)為非空有上界的數(shù)集,我們證明有上確界. 不妨設(shè)沒(méi)有最大值,設(shè)為的一個(gè)上界,下面用反證法來(lái)證明sup=存在 假設(shè)sup不存在,取對(duì)任一,依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的領(lǐng)域. 1) 若,因 中 沒(méi)有最大值 ,所以至少存在一點(diǎn) ,使 , 這時(shí)取; 2)若且不是的上界.同樣存在,使,這時(shí)取; 3)若 且是的上界.因sup存在,故有,使得 中的點(diǎn)都是的上界. 于是我們得到了的一個(gè)開(kāi)覆蓋:.根據(jù)有限覆蓋定理, 有有限子覆蓋: . 將分為兩類(lèi).若是3)中所確定的開(kāi)區(qū)間 ,我們把稱(chēng)為是第二類(lèi),否則稱(chēng)為第一類(lèi)的.顯然所屬的領(lǐng)域 是第一類(lèi)的,所屬的領(lǐng)域是 第二類(lèi)的.所以至少有一個(gè)第一類(lèi)領(lǐng)域與某個(gè)第二類(lèi)領(lǐng)域相交,這是不可能的 .(總體來(lái)說(shuō),用實(shí)數(shù)完備性證明的問(wèn)題可以分為兩類(lèi): 第一類(lèi)是尋找一個(gè)具有某種性質(zhì)的數(shù);第二類(lèi)是證明一區(qū)間(一般是閉區(qū)間)上具有某種整體性質(zhì))4.用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證 設(shè)為實(shí)軸上的有界無(wú)限點(diǎn)集，并設(shè) 1.由反證法假設(shè)來(lái)構(gòu)造的一