《通信原理》_樊昌信_(tái)曹麗娜(第六版)第3章_隨機(jī)過(guò)程

1、通信原理第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程1第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念n什么是隨機(jī)過(guò)程？u隨機(jī)過(guò)程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：u角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。2第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程【例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 p樣本函數(shù)i (t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。p隨機(jī)過(guò)程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。3第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。p在任一給定時(shí)刻t1上，每

2、一個(gè)樣本函數(shù)i (t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i (t1)，但是每個(gè)i (t1)都是不可預(yù)知的。p在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一個(gè)隨機(jī)變量，記為 (t1)。p換句話說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。p因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。p這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。4第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.1.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)u設(shè) (t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則它在任意時(shí)刻t1的值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來(lái)描述。u隨機(jī)過(guò)程 (t)的一維分布函數(shù)：u隨

3、機(jī)過(guò)程 (t)的一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf5第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u隨機(jī)過(guò)程 (t) 的二維分布函數(shù)：u隨機(jī)過(guò)程 (t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 u隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維分布函數(shù)：u隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx

4、(xxttxxFttxxf，；，；，6第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征u均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻t1的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接寫為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE7第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :dxtxxftE),()(1a (t )8第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u方差方差常記為 2( t )。這

5、里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t 。因?yàn)樗?，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻 t 對(duì)于均值a ( t )的偏離程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方9第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u相關(guān)函數(shù)式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。u協(xié)方差函數(shù)式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率

6、密度函數(shù)。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 10第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若a(t1) = a(t2)，則B(t1, t2) = R(t1, t2)u互相關(guān)函數(shù)式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR11第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

7、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n3.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義u定義：若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有則稱該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；12第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：u數(shù)字特征：可見(jiàn)，（1）其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。)(),(11111xftxf);,(),;,(212

8、21212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 13第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u數(shù)字特征：可見(jiàn)，（1）其均值與t 無(wú)關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有著很大的實(shí)際意義。 adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 14第第

9、3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性u(píng)問(wèn)題的提出：我們知道，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來(lái)決定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征呢?u回答是肯定的。平穩(wěn)過(guò)程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過(guò)程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。 u下面，我們來(lái)討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。15第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過(guò)程

10、(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa16第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過(guò)程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。u具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。在通信

11、系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。17第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u 例例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘饨狻?1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc18第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)令t2 t1 = ，得到可見(jiàn)， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。0)(

12、cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc19第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 (2) 求(t)的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa20第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)

13、過(guò)程n3.2.3 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)u平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前u平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)p (t)的平均功率p 的偶函數(shù)p R()的上界即自相關(guān)函數(shù)R()在 = 0有最大值。p (t)的直流功率p 表示平穩(wěn)過(guò)程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR21第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.2.4 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度u定義：p對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(2

14、2第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(23第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u功率譜密度的計(jì)算p維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立，即有簡(jiǎn)記為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeR

15、Pjj)(21)()()()()(fPR24第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的總功率：上式從頻域的角度給出了過(guò)程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。也就是說(shuō)，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過(guò)程的的譜特性?！咀C】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：即式中 dffPR)()0()()(RR )()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPf25第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有

16、和這與R()的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。 0)(fP)()(fPfP26第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p例例3-2 求隨機(jī)相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘饨狻吭诶?-1中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有所以，功率譜密度為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS27第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l 3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）n3.3.1 定義u如果隨機(jī)過(guò)

17、程 (t)的任意n維（n =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。u n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa28第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(29第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n 3.3.2 重要性質(zhì)u由高斯過(guò)程

18、的定義式可以看出,高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。u廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過(guò)程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。30第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡(jiǎn)化為這表明，如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。u高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后生成的過(guò)程仍是高斯過(guò)

19、程。也可以說(shuō)，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf31第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n 3.3.3 高斯隨機(jī)變量u定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：221()( )exp22xaf x32第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u性質(zhì)pf (x)對(duì)稱于直線 x = a，即p pa表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和

20、 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x33第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u正態(tài)分布函數(shù)這個(gè)積分的值無(wú)法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：p用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt34第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：式中當(dāng)x 2時(shí)，2211)(axe

21、rfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex35第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(36第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)n確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)） ：式中 vi 輸入信號(hào)， vo 輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：n隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)：u假設(shè)：i(t) 是平穩(wěn)的

22、輸入隨機(jī)過(guò)程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度；求輸出過(guò)程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(037第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u輸出過(guò)程o(t)的均值 對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：得到設(shè)輸入過(guò)程是平穩(wěn)的 ，則有 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過(guò)程的均值是一個(gè)常數(shù)。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE38第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

23、u輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)輸入過(guò)程的平穩(wěn)性，有于是 上式表明,輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。 由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 39第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度對(duì)下式進(jìn)行傅里葉變換：得出令 = + - ，代入上式，得到即結(jié)論：輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：

24、由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() )()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii40第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u輸出過(guò)程o(t)的概率分布p如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過(guò)程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和”

25、也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過(guò)程也為高斯過(guò)程。注意，與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(041第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程 n什么是窄帶隨機(jī)過(guò)程？ 若隨機(jī)過(guò)程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。 42第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n典型的窄帶隨機(jī)過(guò)程的譜密度和樣本函數(shù) 43第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示式式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位 c 中心角頻率顯然， a

26、 (t)和 (t)的變化相對(duì)于載波cos ct的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc44第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n窄帶隨機(jī)過(guò)程表示式展開(kāi)可以展開(kāi)為式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats45第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性

27、p數(shù)學(xué)期望：對(duì)下式求數(shù)學(xué)期望：得到 因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E(t) = 0 ，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，46第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而僅與有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccscc

28、c)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(47第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程因與時(shí)間t無(wú)關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樵倭?t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過(guò)程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(48第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨

29、機(jī)過(guò)程p進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR49第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程將代入下兩式得到即上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(c

30、sR)0()0()0(scRRR222sc50第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程p根據(jù)平穩(wěn)性，過(guò)程的特性與變量t無(wú)關(guān)，故由式 得到因?yàn)?t)是高斯過(guò)程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過(guò)程。p根據(jù)可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時(shí))()(,2222ttttsc時(shí)0)0(csR51第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u結(jié)論結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同

31、樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。52第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性u(píng)聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識(shí)有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff53第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程于是有式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa54第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程ua的一維

32、概率密度函數(shù)可見(jiàn)， a服從瑞利(Rayleigh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa55第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u的一維概率密度函數(shù)可見(jiàn)， 服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaff56第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有 )()(),(fafaf57第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程l3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲n正弦波加窄帶高斯噪聲的

33、表示式式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率于是有式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss58第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs59第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性u(píng)包

34、絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc60第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊際分布， 即sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzz

35、nndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(22022222061第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程由于故有式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此由上式可見(jiàn)，f (, z)與無(wú)關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 )(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn62第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程u討論p當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。p當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有這時(shí)上式近似為高斯分布，即0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnnxexIx2