2019高考數(shù)學(xué)常考題型專題05導(dǎo)數(shù)壓軸題的零點及恒成立、有解問題理_第1頁
2019高考數(shù)學(xué)常考題型專題05導(dǎo)數(shù)壓軸題的零點及恒成立、有解問題理_第2頁
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1、4專題05導(dǎo)數(shù)壓軸題的零點及恒成立、有解問題1 1.( 20182018 新課標(biāo)全國 n 理科)已知函數(shù) f(x)=ef(x)=ex x-ax-ax2.(1) 若 a a= =1 1,證明:當(dāng) x x _0_0 時,f f (x)(x) _1_1 ;(2) 若 f(x)f(x)在(0,(0,;)只有一個零點,求a.【解析】(1 1)當(dāng)a=1時,f (x) _1等價于(x2 1)e-10.設(shè)函數(shù)g(x) =(x21)e-1,則g(x)二-(X2-2x 1)e二-(x-1)2e.當(dāng)x=1時,g(x) : 0,所以g(x)在(0,r)單調(diào)遞減.而g(0) =0,故當(dāng)x _0時,g(x)乞0,即f (

2、x) _ 1.(2)設(shè)MA(x) = l-e-J.在(Q他)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)鳳在(Q十力)只有一個零點(i)當(dāng)0時,內(nèi)(沒有零點;(ii)當(dāng)GAO時,葉(力=c(x2尢7 .當(dāng)施(0,2)時,h hr r(x)(x) 0 .所漢鳳力在(2)單調(diào)遞減,在柯)單調(diào)遞増.故h(2) = 1 .是h(x)h(x)在Q七的最小值.e21若h(2)0,即 a a: ,h(x)在(0,:)沒有零點;4e22若h(2) =0,即a - ,h(x)在(0,;)只有一個零點;22若h(2):0,即a .,由于h(0) =1,所以h(x)在(0,2)有一個零點,4故h(x)在(2,4 a)有一個零點,因此h(x

3、)在(0, :)有兩個零點.2綜上,f(x)在(0,二)只有一個零點時,a二乞.42 2. ( 20172017 新課標(biāo)全國 I 理科)已知函數(shù)f (x) = ae2x亠(a 2)ex x. .(1)討論f (x)的單調(diào)性;(2(2)若f (x)有兩個零點,求a的取值范圍. .【解析】(1 1)f (x)的定義域為(-:),f (x) =2ae2x (a-2)ex-1 r(aex-1)(2ex 1),(i)若a豈0,則f (x):0,所以f(x)在單調(diào)遞減. .(ii)若a 0,則由f (x) =0得x = -1 n a. .當(dāng)x(-:,一1 n a)時,f (x):0;當(dāng)x (-1 na,:

4、)時,f (x) 0,所以f (x)在(-:,-1 na)單調(diào)遞減,在(-1 na, :)單調(diào)遞增. .(1 )若必0,由知,耳至多有一個零點一ii)若GAO,由(1)知,當(dāng)兀=-lw時,兀工)取得最小值,最小值淘/(一= l-丄+a當(dāng)口=1時,由T/(-ho)=oJ故于00只有一個霧點寸,由故/(力浚有零點;a當(dāng)口 時,1一丄+1D0,即/(-h c) 0.一-4-2-2又f(-2) =ae(a-2)e2-2e2 0,故f(x)在(:,Tn a)有一個零點. .設(shè)正整數(shù)n0滿足n0 In(3-1),則f(n)= en0(aen0,a -2) - ne%- n 2% - n0. .a3由于ln

5、( 1) T na,因此f (x)在(T na,=:)有一個零點. .a由(1 1 )知,當(dāng)x 0時,ex x2,所以h(4a) =116a34ae=116a3/ 2a 2(e )16a31荷蔦03綜上,a的取值范圍為(0,1). .【名師點睛】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實數(shù)根問題相互轉(zhuǎn)化 已知函數(shù)f (x)有 2 2 個零點求參數(shù)a的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷y=a與其交點的個數(shù),從而求出a的取值范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究, 研究其 單調(diào)性、極值、最值,注意點是若f (x)有 2 2 個零點,且函數(shù)先減后增,則只

6、需其最小值小于0 0,且后面還需驗證最小值兩邊存在大于 0 0 的點 3 3.( 20152015 新課標(biāo)全國 n理科)設(shè)函數(shù)f (x) = emx x2- mx.(I)證明:f (x)在(-:,0)單調(diào)遞減,在(0, :)單調(diào)遞增;(n)若對于任意x1, x2 -1,1,都有| f(為)-f區(qū))|乞e-1,求m的取值范圍.【解析】(I )稱(產(chǎn) T)十2JC 若朋工0,貝I呂工己(4)時,廣(蠱)弋0$當(dāng)兀E(a燉”寸,廣 若朋0,貝時,廣(刃弋0?當(dāng)兀燉H寸,廣 所悅 丿在(YOQ 單調(diào)遞減,在9+X)單調(diào)遞増.( (n) )由( (I) )知,對任意的m,f(x)在-1,0單調(diào)遞減,在0

7、,1單調(diào)遞增,故f (x)在x =0處取得最小值.所以對于任意xx2 -1,1,|f(xj-f(X2)|e-1的充要條件是f-fg 1即1f(1)f (0)蘭e1,g(t)0.故g(t)在(-=0)單調(diào)遞減,在(0, V)單調(diào)遞增.又g(1) = 0,g(-1) 2-eV 0,故當(dāng)t -1,1時,g(t)乞0.當(dāng)m -1,1時,g(m)E0,g(-m)0,即式成立;當(dāng)m 1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m) 0,即em-m e -1;當(dāng)m:-1時,g(-m) 0,即e知+m e -1.綜上可知,m的取值范圍是-1,1.【名師點睛】(I)先求導(dǎo)函數(shù)f(x)二m(emx-1) 2x,根據(jù)m的取值范圍

8、討論導(dǎo)函數(shù)在(:,0)和(0,r)的符號即可;(n)f(音)-f化)|e-1恒成立,等價于|f (xj - f區(qū))max乞e-1.由為必是emm e1,e+m e1,設(shè)函數(shù)g(t) =7 -e 1,則g二dT.當(dāng)t:0時,g(t) : 0; 當(dāng)t 0時,兩個獨立的變量,可研究f(x)的值域,由( (I) )可得最小值為f(0) =1,最大值可能是f(一1)或f (1),X4f(1)f(0)蘭e1,故只需,從而得關(guān)于m的不等式,因不易解出,故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號,廿(1) f(0)蘭e1,從而得解.1 1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,一般出現(xiàn)在解答題的壓軸題中,難度較大,這類零點一般都不能

9、直接求 出數(shù)值,而是利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化思想和分離變量等求零點的個數(shù)或根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)的 取值范圍 2 2 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題或有解問題是近年來高考的熱點問題,這類問題往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等 式等知識于一體,以函數(shù)知識為載體,禾U用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值、最值,綜合性 強,很好地考查了考生的分析問題和解決問題的能力,解決這類問題的關(guān)鍵是運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及 整體構(gòu)造法和參數(shù)分離法 B指點 1 1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題對于含參數(shù)的函數(shù)零點的個數(shù)問題,由函數(shù)y二f (x)有n個零點=方程f(x) =0有n個實數(shù)根=函數(shù)y二f (x)與x軸有n個交點可

10、轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題,若能分離參數(shù),可將參數(shù)分離出來,再作出函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)的圖象特征從而求出參數(shù)的取值范圍 也可以根據(jù)函數(shù)的最值或極值的符號,即利用函數(shù)的性質(zhì)去確定函數(shù)零點的個數(shù),此方法主要是通過數(shù)形結(jié)合的方法確定存在零點的條件【例 1 1】設(shè)函數(shù)f(x) =ex -alnx, ,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1 1 )若a =1, ,求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若0乞ae, ,求證:f (x)無零點.令 心)二討i _ L(址Q)貝 y y 匸&) = O O + +亟 0)當(dāng)巨迥時,陋鞏即回單調(diào)遞增,又 F F二,【解析】(1 1)若旦 I,I,則血城心 0)0)xerw =

11、 -5fa)=耳 3 +咔 貝貝(町=:丸 2 十巾2 =Sx02+m;2 =-2x0當(dāng)醫(yī)匹時.|l(刈OfQO吒0/(旬|單調(diào)遞減,當(dāng)嚇 億+8刀時,p(x) A 0,廠工)乏0J(町|單調(diào)遞增.的單調(diào)遞減區(qū)間為只陰,單調(diào)遞增區(qū)間為匚 (2)當(dāng)叵衛(wèi)時,F(#)丙,顯然冋無零點.當(dāng)卩 V蘭耳時,(i)當(dāng)卩 V 尤玉1|時,1 -列,顯然凹無零點(ii)當(dāng)巨H時,易證0吒1口尤吒*刁,.吒口(乂一1)蘭已O1),.f(K)=芒丁 1 _ 仇 I 譏耳: 亡”令肝鬥=于i_鞏篦_1)|,貝y gYx) = exe,令g x = 0,得x =2,當(dāng)仁:x:2時,g (x) 0;當(dāng)x 2時,g(x)

12、. 0,故g(x)min= g(2) = 0,從而f)AO,顯然空無零點.綜上,回?zé)o零點.指點2:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立、有解問題利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題、有解問題,通常采用分類討論思想或分離參變量的方法,通過函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值,利用最值去研究恒成立問題、有解問題,此類問題最后都化歸為與函數(shù)最值有關(guān)的問題一般地,若f(X)_a恒成立,只需f(x)min-a即可;若f(X)乞a恒成立,只需f(x)max乞a即可若存在x,使得f(x) _a成立,只需f(x)max_a即可;若存在x,使得f(x)乞a成立,只需f(x)min乞a即可.【例2】已知函數(shù)Rx)=點+皿彳b=7,不.(1) 若曲線亙

13、回與曲線叵回在它們的交點處的公共切線為巨互壬目,求回,冋,目的值;(2)_ 當(dāng)=1時,若W*二,求L的取值范圍【解析】(1)設(shè)它們的公共交點的橫坐標(biāo)為1_1,貝貝上町十用北口 =_龍。?十葉=2龍口 +q(*)則_由得6將恂=_1|=_1|, ,趴二_1 1代入冋得十心=0|0|, ,二 ”=1|=1|, ,. .(2)由町 幾得* +巾疋 V加十12 舁 1( F 龍空)護十)(龍 +1)( 2玄十 x lj22 2其中_ 2/ + x -1 0,.f(x)在2J上單調(diào)遞增,f(x)min= f(2) =3.h*(Q= 1 - 2 玄-/ f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是故的取值范713要使關(guān)于x

14、的不等式f(x) f (x)min=3,即卩mt m3 mlnm對任意m匸(0,2恒成立,2 21812只需t m -Inm在m (0,2上恒成立. .212設(shè)h(m) mlnm,2當(dāng)(0,2時,h(m)在0,1上單調(diào)遞減,在1,2 上單調(diào)遞增,12要使t m -Inm在m (0,2上恒成立,只需t:h(m)min,2一1故t的取值范圍是22 2 .已知函數(shù)f(x) =(x -1)ex.(2(2)當(dāng)k 0時,討論關(guān)于 x x 的方程2f(x)_kx2=0的根的個數(shù).【解析】依題青,要證兀 g 斗一1,即證(丸一1心斗一1,即證(1)*-斗+40,山令鞏兀)=(x-l)eI- + l1x0,貝(

15、JFr(x) = jce1-x = (es-l)x,X-當(dāng)xcO時,F(xiàn)x)OfF(功單調(diào)遞増,所以F(力巫=F(0) = 0,所以F(力二0,艮卩(x-l)e1 + 10,2故當(dāng)xetO.+x)時(2(2)當(dāng)X=0時,易得關(guān)于 x x 的方程2f(x)-kx2=0不成立;x當(dāng)x=0時,由2f(x)-kx2=0可得k二2,即k=2(x)ex2(x T)ex令g(x)2,x=0,則問題可轉(zhuǎn)化為討論直線y = k與函數(shù)g(x)的圖象的交點個數(shù) 時,g (x):0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x 0時,g (x)0,g(x)單調(diào)遞增,又易知當(dāng)x:0時,g(x):0恒成立,且g(1)=0.m (0,2,則h (

16、m)二m1 (m)(mm(1)證明:當(dāng)x 0,:)時,2xf(x) 1;2x由g(x)=2(x21)e,可得g (x)=2(x2-2x 2)ex,易知(x2-2x 2)ex0恒成立,所以當(dāng)x:x219所以當(dāng)k 0時,直線y二k與函數(shù)g(x)的圖象有且只有一個交點,即關(guān)于x的方程2f(x)-kx2且只有一個實數(shù)根 10- l 血)- - -lnxtmE E /?/?3 3 .設(shè)函數(shù)_ . .(1) 討論函數(shù)阿的單調(diào)性;(2) 若穴丘,且0)40)4 在區(qū)間冋上恒成立,求冋的取值范圍一疋+1 1,函數(shù)回在區(qū)間 函上單調(diào)遞增,在區(qū)間 巨王辺上單調(diào)遞減;【解析】(1 1)函數(shù)回的定義域為匹壬巴當(dāng)皿=(I(I 時,當(dāng) m.m. 0 0時,當(dāng)二:.時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,當(dāng)空衛(wèi)時,,函數(shù)回在區(qū)間匹!3上單調(diào)遞增,在區(qū)間,函數(shù)回在區(qū)間匹切上單調(diào)

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