chapter不定積分小結(jié)PPT課件

1、第1頁/共30頁積分法原 函 數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法 第二換元法直接積分法分部積分法不 定 積 分幾種特殊類型函數(shù)的積分主要內(nèi)容第2頁/共30頁一. 基本概念與性質(zhì) 1. 原函數(shù)與不定積分 ,內(nèi)內(nèi)若在若在I.)()(內(nèi)的一個原函數(shù)內(nèi)的一個原函數(shù)在在為為則稱則稱IxfxF函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)全體, 稱為f(x)在I上的不定積分. 記為CxFdxxfxfxF )()(),()(則則若若2. 不定積分的基本性質(zhì) ),()( ) 1 (xfdxxfdxd 第3頁/共30頁,)()( )2( CxFdxxF dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()( )3(2121二.

2、 基本積分公式 三. 換元法與分部積分法 1. 第一換元法(湊微分法) dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 第4頁/共30頁常見的一些湊微分形式:)()(1)(baxdbaxfadxbaxf nnnndxxfndxxxf )(1)(1)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sinxdxfdxxxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf )(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf 第5頁/共30頁)(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf

3、)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf )(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf xxxxdeefdxeef )()(利用三角函數(shù)公式: 倍角公式與積化和差第6頁/共30頁2. 第二換元法 dtttfdxxftx )()()()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (1)一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有22)(xaa 可令;sintax 22)(xab 可令;tantax 22)(axc 可令.sectax .,22222222dxxaxaxaxxa 如如也可湊微分也可湊微分用三角代換用三角代換的積分都的積分都并不是所

4、有含并不是所有含第7頁/共30頁(2)當分母的階較高時, 可采用倒代換(3)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時,可采用令 (其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)) lkxx,ntx n3. 分部積分法 選擇u的有效方法:LIATE選擇法L-對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；哪個在前哪個選作u.第8頁/共30頁注意: (1)分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分.(2)用分部積分法計算的不定積分類型常見的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk .sindxbxex (3)分部積分法與換元法經(jīng)常穿插

5、著使用.(4)分部積分法常用來推導遞推公式.第9頁/共30頁四. 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分 1. 有理函數(shù)的積分 先把被積函數(shù)化為部分分式之和(利用待定系數(shù)法),然后積分.即將).,;,;0, 0()()(00110110為非負整數(shù)為非負整數(shù)nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn 化為已知的四種積分來作：.)(IV. ;III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA 第10頁/共30頁2. 三角函數(shù)有理式的積分 dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx co

6、scos 或或方法:用積化和差公式進行恒等變形后,再湊微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法: ;,1cossin,22再湊微分再湊微分變形后變形后用用為奇數(shù)時為奇數(shù)時當當 xxm.,再湊微分再湊微分用倍角公式降冪后用倍角公式降冪后為偶數(shù)時為偶數(shù)時當當m第11頁/共30頁xdxxdxxxRnmcossin)cos,(sin (3) 方法: ;,1cossin,22的積分的積分再湊微分化為有理函數(shù)再湊微分化為有理函數(shù)變形后變形后用用中有一個為奇數(shù)時中有一個為奇數(shù)時當當 xxnm.,再湊微分再湊微分用倍角公式降冪后用倍角公式降冪后都是偶數(shù)時都是偶數(shù)時當

7、當nmdxxxR )cos,(sin (4)方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu 第12頁/共30頁3. 簡單無理函數(shù)的積分 通過運用變量代換將根號去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 taxtaxtaxtaxtaxtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為令令nmptxtbaxpn第13頁/共30頁 dxcbxaxxdxcbxaxx22211)3(tx1 令令dxbaxxRn ),()4(tbaxn 令令

8、dxdcxbaxxRn ),()5(tdcxbaxn 令令第14頁/共30頁五. 常見題型舉例注意: 不是所有初等函數(shù)的不定積分或原函數(shù)(即便存在)都是初等函數(shù). 例如 421 ,sin ,sin , ,ln2xdxdxxdxxxdxexdxx等都不能用初等函數(shù)表示, 或者習慣地說“積不出來”.“積出來”的只是很小的一部分, 而且形式變化多樣, 有的技巧性也很強. 因此我們沒有必要做太繁或者難的計算不定積分的題目, 應(yīng)該掌握不定積分的基本計算法. 第15頁/共30頁.)35(. 131 dxxxex 計算計算Solution. dxxx31)35(3)35(51原式原式 )35()35(3)3

9、5(25131xdxx )35()35(253)35()35(2513134xdxxdx.)35(43253)35(732513437Cxx 第16頁/共30頁.11. 264 dxxxex計算計算Solution. dxxx1)(1324原式原式 dxxxxxxx)1)(1()1(242224 dxxxdxx111622 32321)(13111dxxdxx.arctan31arctan3Cxx 第17頁/共30頁.11. 342 dxxxex計算計算Solution. dxxxx222111原式原式 )1(2)1(12xxdxx.21arctan21Cxx 第18頁/共30頁.1. 424

10、3 dxeeeeexxxxx計算計算Solution. dxeeeexxxx221原式原式 xxxxeeeed221)( 1)()(2xxxxeeeed.)arctan(Ceexx 第19頁/共30頁.)()()()()(. 532 dxxfxfxfxfxfex 計算計算Solution. dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22原式原式 dxxfxfxfxf)()()()( )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 第20頁/共30頁.11. 642 dxxxxex 計算計算Solution. xdxxxx42211原式原式 24221121dxxxx d

11、tttttx211212 dtttdtt2211211121 duuttutsin121)1ln(212tanCuutt cotcscln21)1ln(212. 第21頁/共30頁.tan. 74 xdxex 計算計算Solution. dxxx)1(sectan22原式原式 xdxxdxx222tansectan dxxxxd)1(sectantan22.tantan313Cxxx 第22頁/共30頁.)1(. 828 xxdxex 計算計算Solution. dttttx 1281原式原式 dttttttttt11122244668 dttttt)111(2246Cttttt arctan

12、315171357.1arctan1315171357Cxxxxx 第23頁/共30頁.sincos1. 92222 dxxbxaex 計算計算Solution. ,0, 0時時當當 ba dxxb22sin1原式原式 xdxb22csc1.cot12Cxb ,0, 0時時當當 ba dxxa22cos1原式原式 xdxa22sec1.tan12Cxa 第24頁/共30頁,0, 0時時當當 ba dxxbxa2222sincos1原式原式 dxxbax2222tansec xdxbatantan1222 )tan()tan(1122xbdxbab.tanarctan1Caxbab 第25頁/共

13、30頁)( .ln.10為常數(shù)為常數(shù)計算計算 xdxxexSolution. ,1時時當當 dxxxln原式原式 xxd lnln.)(ln212Cx ,1時時當當 xdxx ln 原式原式 )1(ln1 xxd xdxxxln1ln111 dxxxx1ln11 Cxxx 211)1(ln1 第26頁/共30頁)0, 0( .sincoscos.11 badxxbxaxIex計算計算Solution. dxxbxaxJsincossin記記 dxxbxaxbxabJaIsincossincos1Cx dxxbxaxaxbaJbIsincossincos2sincoslnCxbxa .sincosln122CxbxabaxbaI 第27頁/共30頁.)(,sin)(.12 dxxfxxxxfex求求的原函數(shù)為的原函數(shù)為設(shè)設(shè)Solution. ,)(sin的原函數(shù)的原函數(shù)是是xfxx,sincossin)(2xxxxxxxf ,sin)(1Cxxdxxf )()(xxdfdxxfx從而從而 dxxfxxf)()(.sinsincosCxxxxxx 第28頁/