【知識點(diǎn)歸納】高中數(shù)學(xué)選修1-1知識點(diǎn)總結(jié)歸納

1、高中數(shù)學(xué)選修1-1知識點(diǎn)總結(jié)歸納常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 命題1、 命題：一般地，在數(shù)學(xué)中我們把語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。2、 命題的構(gòu)成：在數(shù)學(xué)中，命題通常寫成“若，則”的形式。其中叫做命題的條件，叫做命題的結(jié)論。 1.1.2 四種命題3、 互逆命題：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題。如果原命題為“若，則”，則它的逆命題為“若，則”.4、 互否命題：一般地，對于

2、兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題。如果原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.5、 互逆否命題：一般地，對于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆否命題。如果原命題為“若，則”，則它的逆否命題為“若，則”.互 逆若，則若，則6、 以上總結(jié)概括：原命題若，則逆命題若，則否命題互 否若，則逆否命題若，則逆否互為否逆為互互 否逆

3、命題原命題逆否命題否命題 1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系若，則若，則互 逆7、 四種命題間的相互關(guān)系：一般地，原命題、逆命題、否命題與逆否命題這四種命題之間的相互關(guān)系：8、 四種命題的真假性：一般地，四種命題的真假性之間的關(guān)系：（1）兩個(gè)命題和互否命題，它們有相同的真假性；原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假（2）兩個(gè)命題為互逆否命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。 1.2 充要條件與必要條件 1.2.1 充分條件與必要條件1、 充要條件與必要條件：一般地，“若，則”為真命題，是指由通過推理可以得出.這時(shí)，我們就說，由可推出，記作，并且說是的充分條件，是的必要條件。如

4、果“若，則為假命題”，那么由推不出，此時(shí)我們就說不是的充分條件，不是的必要條件。 1.2.2 充要條件2、 一般地，如果既有，又有，就記作.此時(shí)，我們說，是的充分必要條件，簡稱充要條件。 1.2內(nèi)容總結(jié)條件與結(jié)論的關(guān)系結(jié)論用集合表示p：A，q：B是的充分條件是的必要條件且是的充分不必要條件且是的必要不充分條件是的充要條件且是的既不充分也不必要條件且 1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)構(gòu) 1.3.1 且（and）1、 且定義：一般地，用關(guān)聯(lián)詞“且”把命題和命題連接起來，就得到一個(gè)新命題，記作，讀作“且”.與集合且相關(guān)。2、 且的真假：當(dāng)，都是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)，兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，是假命題。

5、簡記為：一假則假，同真則真。 1.3.2 或（or）3、 或定義：一般地，用關(guān)聯(lián)詞“或”把命題和命題連接起來，就得到一個(gè)新命題，記作，讀作“或”.與集合或相關(guān)。4、 或的真假：當(dāng)，兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)，兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，是假命題。簡記為：一真則真，同假則假。 1.3.3 非（not）5、 非定義：一般地，對一個(gè)命題全盤否定，就得到一個(gè)新命題，記作，讀作“非”或“的否定”.與集合且6、 非的真假：若是真命題，必是假命題；若是假命題，則必是真命題。簡記為：與真假性相反。 1.4 全稱量詞與存在量詞 1.4.1 全稱量詞1、 定義：短語“對所有的”“對任意一個(gè)”在邏輯中通

6、常叫做全稱量詞，并用符號“”表示。含有全程量詞的命題，叫做全稱命題。2、 表述形式：對中任意一個(gè)，有成立。符號簡記為，. 1.4.2 存在量詞3、定義：短語“存在一個(gè)”“至有少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。4、表述形式：存在中的一個(gè)，是成立。符號簡記為，. 1.4.3 含有一個(gè)量詞的命題的否定5、 全稱命題的否定：一般地，對于含有一個(gè)量詞的全程命題的否定，有下面的結(jié)論： 全稱命題：，它的否定：，. 全稱命題的否定是特稱命題。6、 特定命題的否定：一般地，對于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論： 特稱命題：，它的否定：，. 特稱命題的

7、否定是全稱命題。第2章 圓錐曲線與方程 2.1 橢圓 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1、 橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。用集合語言表示：2、 橢圓的滿足條件：當(dāng)時(shí)，的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，的軌跡為，為端點(diǎn)的線段；當(dāng)時(shí)，的軌跡不存在。3、 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上：我們把這樣的方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，這里.焦點(diǎn)在軸上：兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，.當(dāng)焦點(diǎn)不確定可設(shè)為： 2.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為）4、范圍：由圖可知，橢圓上點(diǎn)為長軸，橫坐標(biāo)的范圍是（為長半軸長）。為短軸，縱

8、坐標(biāo)的范圍是（為短半軸長）。5、 對稱軸：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。6、 頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸有四個(gè)焦點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。線段的長等于，線段的長等于.7、 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，常用表示，即，離心率的范圍：.越接近于，從而越小，因此橢圓越扁；反之，當(dāng)越接近時(shí)，接近于0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為 橢圓補(bǔ)充內(nèi)容8、 離心率公式推導(dǎo)：在軸上：不在軸上：9、交點(diǎn)三角形面積公式：周長公式：10、橢圓的第二定義：平面內(nèi)，若動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，則的軌跡是一個(gè)橢圓。 注：

9、常數(shù)為離心率，定直線為橢圓的準(zhǔn)線 焦半徑：設(shè). 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，左=，右. 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，下=，上.11、直線與橢圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系的判定：聯(lián)立 消去或消去解方程。當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相交，即；當(dāng)直線與橢圓有一個(gè)焦點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相切，即；當(dāng)直線與橢圓無焦點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相離，即.12、弦長公式 設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則弦長公式為：13、中點(diǎn)弦長公式（點(diǎn)在弦的中點(diǎn)）焦點(diǎn)在軸上：；焦點(diǎn)在軸上：. 2.2 雙曲線 2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1、 雙曲線的定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。兩個(gè)定點(diǎn)，叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩

10、焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。用符號表示：.2、 雙曲線的軌跡：當(dāng)時(shí)，的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡以或?yàn)槎它c(diǎn)的射線；當(dāng)，則動點(diǎn)軌跡不存在。3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上：.我們把這樣的方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，的雙曲線，這里.焦點(diǎn)在軸上：.兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，.當(dāng)焦點(diǎn)不確定可設(shè)為： 2.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）4、 范圍：雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內(nèi)，而在之間沒有圖像。5、 對稱軸：雙曲線既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。6、 頂點(diǎn)：雙曲線和它的對稱軸有兩個(gè)焦點(diǎn)，他們叫做雙曲線的頂點(diǎn)。 線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度等于，叫做雙曲線的實(shí)半軸長；線段

11、叫做雙曲線的虛軸，它的長度等于，叫做雙曲線的半虛軸長。7、 （1）漸近線的意義：雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線。當(dāng)在軸上時(shí)，矩形的兩條對角線所在直線的方程式；當(dāng)在軸上時(shí)，矩形的兩條對角線所在直線的方程式.（2） 等軸雙曲線：如果，那么雙曲線的方程為，它的實(shí)軸與虛軸的長都等于，它的一般形式：（，在軸；，在軸）；漸近線方程為；離心率：8、 離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率，因?yàn)?，所以雙曲線的離心率.越接近于，雙曲線開口越小。 雙曲線補(bǔ)充內(nèi)容9、 離心率公式推導(dǎo)：，10、 焦點(diǎn)三角形面積公式：11、 雙曲線的第二定義：動點(diǎn)到定點(diǎn)的距

12、離與它到定直線的距離之比是常數(shù).12、 直線與雙曲線的位置關(guān)系位置關(guān)系的判定：聯(lián)立直線與雙曲線： 消帶入雙曲線可解。（1） 當(dāng)，若，方程有一根，直線與雙曲線有一焦點(diǎn)，此時(shí)直線平行于漸近線；若，方程無根，直線與雙曲線無焦點(diǎn)，該直線就是漸近線。（2） 當(dāng)，時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)相異焦點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線相切，有一個(gè)焦點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)。13、 弦長公式設(shè)直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則弦長公式為：14、 中點(diǎn)弦公式已知，是雙曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則15、 共軛雙曲線（以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線）與 有共同的漸近線； 2.3 拋物線 2.3.1 拋物線及其

13、標(biāo)準(zhǔn)方程1、 定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。2、 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程交點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)在一次項(xiàng)所含未知數(shù)的軸上，開口由一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)決定，焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的. 2.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程）3、范圍：因?yàn)?，由方程可知，對于拋物線，所以這條拋物線在軸的右側(cè)，開口方向與軸正向相同；當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。4、對稱軸：拋物線對稱軸是以軸為對稱軸的軸對稱圖形。5、頂點(diǎn)：拋物線和它軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。6、離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的

14、距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，用表示。由定義可知： 拋物線補(bǔ)充內(nèi)容7、 拋物線與直線的位置關(guān)系 設(shè)直線與拋物線，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方組 不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)。當(dāng)，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)。特別地，設(shè)，則當(dāng)時(shí)直線的斜率不存在時(shí)，與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與拋物線相離，無公共點(diǎn)。8、 弦長公式 設(shè)，是直線與拋物線的交點(diǎn)，則弦長公式為：9、 中點(diǎn)弦 設(shè)，是拋物線上的點(diǎn)，中點(diǎn)，則的斜率為，則第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 變化率與

15、導(dǎo)數(shù) 3.1.1 變化率問題1、 平均變化率：設(shè)，是函數(shù)定義域內(nèi)兩個(gè)不同的數(shù)，把式子稱為函數(shù)從到的平均變化率。習(xí)慣上用表示，也可把看作是相對于的一個(gè)“增量”，可用代替；類似地，.于是，平均變化率可以表示為 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念2、 瞬時(shí)速度 把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。一般地，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即 3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、 切線方程：求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。 3.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 3.2.1 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.2、 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3、 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：4、 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 3.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

16、式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則5、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）若，則；（2）若，則；（3） 若，則；（4）若，則；（5） 若，則；（6）若，則；（7） 若，則（，且）；（8） 若，則；（9）若，則.6、 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（10） ；（11）；（12）；（13）.推導(dǎo)：（14）（15） 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1、 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。若在單調(diào)遞增，則在恒成立。 注意：原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)；越大，越大。2、求單調(diào)區(qū)間的一般步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)； 在定義域內(nèi)解不等式與；決定函數(shù)的單調(diào)期間。 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)3、 函數(shù)的極大值：如果對附近的所有點(diǎn)都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作極大值=，是極大值點(diǎn)。4、 函數(shù)的極小值：如果對附近的所有點(diǎn)都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作極小值=，是極小值點(diǎn)。5、 極值：極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。6、 函數(shù)極值的判斷方法（1） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則（2） 設(shè)函數(shù)且，如果在附近左側(cè)，右側(cè)，那么在處取得極大值；如果在附近左側(cè)，右側(cè)，那么在處取得極小值；如果在在左右兩側(cè)的符號不變，那么在處不取得極值。7、 求函數(shù)極值的步驟